NE

Donc, si l’on différentie ces deux équations, en regardant 4 comme seule variable, ce qui ne produit qu'une nouvelle équation

ddN

APE Por ae et si l’on suppose que ces trois équations aient lieu à la fois, les quantités x, y, z qu'elles renferment, appartiendront à l’arête de

rebroussement : donc les deux équations de cette courbe sont le résultat de l'élimination de # entre les trois équations

Né 0

De l'équation de la surface en différences partielles. ee .

Puisque les normales de la surface sont toutes tangentes à une même sphère dont le rayon est.«, et dont le centre est à l’origine,

il s'ensuit que la perpendiculaire, abaissée de l’origine sur une normale quelconque, est constante et égale a.

Si, les coordonnées du point de la surface étant «, y, z, celles de la normale sont x’, y’, z', les deux équations de cette droite sont

x'=— pz'+ x + pz, V=— gs + Y +

Or, si les équations d’une droite sont x/—"AZ. Lars y'= Cz' + D,

le carré de la distance de l’origine à cette droite est

BDD ERUM 1 + A° + C°

De plus, dans le cas présent, on a

À —— p, C—— 4q, B— x + pz, D— y + gqz.

Donc, mettant ces valeurs dans l'expression du carré de la distance, et l’égalant au carré du rayon, on aura pour équation de la surface

ct pa) (GET PTE équation qui, développée, peut être mise sous la forme suivante : bé: + y° Zi 72 0 a°) (1 + p° __ q°) a (z — px — TPS

équation aux différences partielles, qu’on aurait pu obtenir par la

différentiation des équations intégrales NE=0, aN\ re Actuellement, nous allons traiter cette équation comme si nous

l’avions obtenue par d’autres recherches, c’est-à-dire que nous allons l'intégrer et étudier la surface à laquelle elle appartient.

De la caractéristique de la surface à laquelle appartient l'équation aux différences partielles.

Lorsqu'une équation aux différences ordinaires à trois variables appartient à une surface courbe, à cause de la constante arbitraire comportée par son intégrale, le lieu de cette équation est indifféremment l’une quelconque d’une suite infinie de surfaces courbes, qui toutes ont la même nature, et qui ne diffèrent entre elles que par un paramètre, constant pour chacune d’elles, et variable de l’une à l’autre. Par exemple, le lieu de l'équation

xdx + ydy + zdz = 0,

dont l'intégrale est

x? ras Re (ES est l’une quelconque des surfaces sphériques dont le centre est. à l’origine; et toutes ces surfaces ne différent entre elles que par le rayon &, qui est constant pour chacune d’elles.

Les équations aux différences partielles sont d’une plus grande généralité : leur propriété est d'exprimer les générations des surfaces courbes, indépendamment des courbes qui conduisent les génératrices ; en sorte que le lieu géométrique d’une de ces équations est indifféremment l’une quelconque d’une suite infinie de surfaces