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toutes engendrées par le même procédé, maïs qui diffèrent par les courbes qui servent à la génération. Par exemple, l'équation

Pas 0e dont l'intégrale est a 0 (See

appartient non-seulement, comme la précédente, aux surfaces de toutes les sphères dont le centre est à l’origine, quel que soit le rayon ; non-seulement à toutes celles dont le centre est dans l’axe des z, quel que soit encore le rayon ; mais même à toutes les surfaces de révolution autour de cet axe des z, quelle que soit la courbe génératrice.

Les surfaces auxquelles appartient une même équation aux différences partielles diffèrent donc entre elles par quelque chose de plus considérable que ce par quoi diffèrent les lieux d’une même équation aux différences ordinaires. Néanmoins elles ont cela de commun, qu’elles peuvent être toutes regardées comme le lieu de séries infinies de lignes courbes, qui ont toutes la même équa-: tion aux différences ordinaires, et qui, par conséquent, ne diffèrent entre elles que par des paramètres; et ces surfaces ont de particulier, que pour chacune d’elles la série de ces mêmes courbes est différente. Par exemple, toutes les surfaces de révolution autour de l’axe des z sont les lieux de séries de circonférences de cercles dont les centres sont dans l’axe, dont les plans sont perpendiculaires à cet axe, et qui ne diffèrent entre elles que par le rayon; et ce que chacune de ces surfaces a de particulier, c’est que, pour elle, cette série diffère de celle de toutes les autres.

C’est à cette courbe, dont toutes les surfaces soumises à la même génération sont pour ainsi dire composées, qu’on aurait dû consacrer le nom de génératrice; mais ce mot est déjà employé dans un

sens qui n'est pas toujours le même que celui-ci : j'ai donc cru nécessaire de me servir d’un nouveau mot, et j'ai nommé cette courbe caractéristique.

Pour les équations aux différences partielles d'ordres supérieurs, il peut y avoir plusieurs caractéristiques; en général, il y en a autant qu'il y a de quantités différentes dont sont composées les fonctions arbitraires. Mais je me propose de revenir sur cette matière dans un Mémoire dont elle sera l’unique objet, lorsque cela sera devenu plus facile par l'exposition d’un plus grand nombre de générations de surfaces.

J'ai fait voir qu'ayant une équation quelconque aux différences partielles du premier ordre, en #, ÿ,z, p, q, si on la différentie aux différences ordinaires, ce qui donne un résultat de cette forme

Xdx + Ydy + Zdz + Pdp + Qdq — 0,

les équations suivantes

Pdy — Qdx — 0, (X + pZ) dqg — (Y + q2) dp — 0,

appartenaient toutes deux à la caractéristique de la surface exprimée par la proposée. Or, si l’on différentie l'équation de la surface que nous considérons, on trouve

Done, si l’on substitue ces valeurs dans les deux équations générales

me. Ve de la caractéristique, elles deviendront — (y + g2) dx + (x + pz) dy + (qx — py) dz —0, — (7 + gz) dp + (x + pz) dq = 0.

Actuellement, faisons, pour abréger,

JS

— 4, gx — py

mt à

gx —py

ce qui donne ax + ÊY+z—=0, ape PQ m0}

et introduisons ces abréviations dans les équations de la caractéristique; elles deviennent

adx + Bdy + dz=0, adp + Gdg = 0.

Or ces deux équations sont les différentielles des deux précédentes, prises en regardant « et $ comme constantes; elles ne peuvent donc subsister en même temps que les précédentes, à moins que les différentielles de ces deux-ci, prises en regardant # et comme seules variables, n’aient lieu; on aura donc aussi

xda + ydB = 0, pda + qdB = 0, équations qui ne donnent d’autre résultat différentiel que da — 0, Gier=rip

Donc, dans la surface que nous considérons, pour la même caractéristique les deux quantités + et 5 sont toutes deux constantes, et l’on aura £ = Eu.

Il suit de là que l'équation de la caractéristique adx + Bdy + dz — 0

est celle d’un plan dont l'intégrale, à cause des abréviations, ne peut être autre que

AE Cleria 0;

donc la caractéristique est une courbe plane dont le plan passe À ST toujours par l’origine.

Si l’on compare l'équation du plan de la caractéristique

adx + Bdy + dz = 0 avec

pdx + qdy — dz 0;

qui est celle de l’élément de la surface courbe considéré comme plan, on voit qu’en vertu de l'équation

ap+fg—1=0,

ces deux plans sont toujours rectangulaires; donc le plan de la caractéristique est partout normal à la surface courbe. On doit conclure de là : 1° que la surface courbe est engendrée par une courbe plane constante de forme, dont le plan, passant toujours par l'origine, roule, par conséquent, sur une surface conique dont l’origine est le sommet; 2° que, le plan de la caractéristique contenant toutes les normales à la surface engendrée qui passent par les différents points de cette courbe, elle est une des lignes de courbure de la surface.

Cette dernière conclusion peut être fournie immédiatement par l’analyse : car, pour une même caractéristique, on à

adp + fdq = 0;

LS (ea

RE mais, puisqu'on a en même temps da — 0 et d5 — o, on aura aussi ad3 — Bda = 0; éliminant # et 5 entre ces deux équations, on aura dadp + d&dq = 0,

dans laquelle, substituant pour z et £ leurs valeurs obtenues par la différentiation, on aura

dpd(y me q2z) — dqd (x + pz) ;

équation générale des lignes de courbure : donc une des deux lignes de courbure de la surface est toujours plane, et son plan passe toujours par l’origine.

Jusqu'ici nous n'avons considéré de la caractéristique que l’équation du plan qui la contient. Cette équation ne la détermine pas, et il faut y joindre celle de la surface engendrée sur laquelle elle se trouve, pour que cette courbe soit déterminée, et encore ne le serait-elle pas d’une manière abstraite, puisqu'on la considérerait alors comme étant un individu de la série dont la surface engendrée est le lieu géométrique. Mais si l’on pose les trois équations suivantes :

+ y +2 — lt + p + q°} — j2— pa —— ay};

— (7 + 92) dx + (x + pz) dy + (gx — py)dz = 0,

dz = pdx -- qdy,

dont la première est l'équation de la surface aux différences partielles, dont la seconde est celle du plan de la caractéristique, et dont la troisième contient la définition des quantités p et q, et si entre ces trois équations on élimine p et g, l'équation aux diffé-

rences ordinaires (xdx + ydy + 2dz)° = a° (dx° + dy* + dz°),

qu'on obtiendra, sera celle de la caractéristique considérée d’une manière abstraite et mdépendamment de la relation qui doit exister entre cette courbe et celles qui sont infiniment voisines, pour former la série qui doit constituer, pour ainsi dire, la surface engendrée.

Si l'équation aux différences partielles avait été linéaire en p et g, par le même procédé, nous aurions trouvé pour la caractéristique deux équations aux différences ordinaires, desquelles on aurait pu tirer celles de ses projections sur les trois plans des x, y, z. Lorsque l'équation aux différences partielles est élevée, la caractéristique n’a qu'une seule équation aux différences ordinaires, qui n'appartient pas à une surface. Mais, quoique cette équation soit unique, elle ne détermine pas moins la nature de la caractéristique d’une manière abstraite, en exprimant dans ce cas-ci, par exemple,

qu’elle est la courbe dont tous les plans normaux passent à la même distance «a de l’origine.

En effet, soient x, y, z les coordonnées des points d’une courbe quelconque considérée dans l’espace, et x’, y’,z’ les coordonnées du plan normal à la courbe en ce point; on aura l'équation de ce plan normal en différentiant l'équation

{æ— x} + (y —y") + (z— 7) = constante, sans faire varier x”, y”, z', ce qui donne, pour ce plan,

(x — x')dx + (y —y')dy + (z— 23) dz — 0, ou z'dx + y'dy + z'dz = xdx + ydy + zdz.

Or on sait que si l'équation d’un plan est Ax'+ By’ + Cz'= D, le carré de la distance de ce plan à l’origine est

Rae fe A+ B'+ C?

De plus, on a, dans le cas présent,

A — dx, Br DEEE.

D = xdx + ydy + zdz.

Done le carré de la distance du plan normal à l’origine sera

(xdx + ydy + zdz).

dx? + dy°+dz* ?

donc l'équation de la courbe pour laquelle cette distance est con-

stante, et=—="47%est (xdx + ydy + zdz) = a° (dx° + dy* + dz°),

équation qui est la même que celle que nous avons trouvée pour la

caractéristique considérée d’une manière abstraite.

De l'équation aux différences ordinaires de l'aréte de rebrousse-

ment produite par la génération.

Nous venons de voir que la surface à laquelle appartient l’équation aux différences partielles est engendrée par le mouvement d’une courbe plane, dont le plan roule autour d’un cône qui à son sommet à l’origine : ainsi, deux caractéristiques consécutives sur

he la même surface se coupent en un point, et le lieu de toutes ces intersections pour la série des caractéristiques d’une même surface est une courbe, qui est l’arête de rebroussement de la surface. Cette courbe, qui est touchée par toutes les caractéristiques de la surface, n’a aucun élément qui ne se confonde avec un élément d’une des caractéristiques, et pour lequel le plan normal ne se confonde avec celui de la caractéristique qui la touche en ce point. La propriété de cette courbe est donc aussi, que tous les plans normaux sont à la distance & de l’origine : son équation est donc encore

(xdx + ydy + zdz) = a? (dx° + dy? + dz°).

Si toutes les caractéristiques auxquelles appartient cette équation étaient sur une.même surface mdividuelle, l’arête de rebroussement qui les touche toutes, et à laquelle appartient encore la même équation aux différences ordmaires, serait l'intégrale particulière de cette équation, et elle serait unique ; mais toutes les caractéristiques qui sont sur une même surface individuelle ne composent qu’une série prise parmi toutes les courbes de ce genre qui existent dans l’espace : il peut y avoir autant de ces séries différentes entre elles, qu’il y a de surfaces coniques ayant leurs sommets à l'origine, et autour desquelles le plan générateur peut rouler ; et chacune de ces séries aura son arête de rebroussement particulière à laquelle appartiendra la même équation. Le nombre des arêtes de rebroussement exprimées par cette équation est donc infini. Il est même facile de voir que, dans le cas que nous traitons (et cela est vrai en général), la caractéristique pour laquelle l'arête de rebroussement ne semblait être d’abord que le lieu d’une intégrale particulière n’est elle-même qu'un cas particulier de l’arête de rebroussement considérée en général ; car elle n’est autre chose que ce que devient cette arête lorsque la surface conique se réduit

à un plan mené par l'origine.

L'équation (xdx + ydy + zdz)* = a° (dx° + dy* + dz°)

(et il en est de même de toutes les équations aux différences ordi-

naires qui n'appartiennent pas à des surfaces) est donc susceptible -

de deux intégrations différentes. Si l’on se propose seulement d’avoir les caractéristiques, les deux équations intégrales seront complétées par trois constantes arbitraires indépendantes ; mais si l’objet est d’avoir les arêtes de rebroussement, ces arbitraires ne sont plus des constantes: deux d’entre elles sont fonctions arbitraires de la troisième, et ces deux fonctions sont dérivées l’une de l'autre ; l’on voit donc que la première de ces intégrales n’est qu’un cas particulier de la seconde. Maïs je reviendrai sur cette matière en général, dans le Mémoire que j'ai annoncé.

Intégration de l'équation aux différences ordinaires (xdx + ydy + zdz)* = a? (dx° + dy° + dz°),

considérée comme appartenant a la caractéristique, prise d'une manière abstraite.

Nous savons que la caractéristique est dans un plan mené par l’origine, et dont l’équation peut être exprimée par