LV RIVE

dans laquelle « et 6 sont des constantes pour chaque courbe individuelle. Soit fait de plus, pour abréger,

m2? 2 2 Le 2.

il est évident que si, de ces deux équations, on tire les valeurs de

2, y, dx, dy, pour les substituer dans la proposée, on aura une

équation aux différences ordinaires entre les deux seules variables &, z.

Différentiant done, et tirant les valeurs de dx et dy, on trouve

dx (Ba — ay) = Budu +- (y — Bz) dz,

dy (BX — &7) —=— audu + (x — az) di; ce qui, en faisant, pour abréger,

I + a +fB—h?, donne

(dx°+ dy*+ dz?) (Bx—ay) = 1h? (udz— zdu) + du*[u? (a? + 6°) — h?2°]. On tire aussi des mêmes équations (Ba — ap = ut (at + fr) re.

Ainsi, on aura

h°(udz — zdu) u® (a+ GB?) —h?z?

dx + dy + dz° = du? +

substituant dans la proposée, elle deviendra

: ; , à°h”(udz — zdu) (u PT ) CURE u? (a+ (2) — h°z? ?

. ve LU :

ui. en faisant - — v, devient ? 7 Z

dv

CRE dune} perl lu Pyoi(a Gt) — 7}:

équation dans laquelle les variables sont séparées, et dont l'inté- grale est

COMENT È A NDS NAIL O COS EC COS EE — | —- y, : p Var + f)

y étant la constante arbitraire introduite par intégration. Ainsi, en remettant pour 4 ets leurs valeurs, les deux équations en quantités finies de la caractéristique considérée d’une manière abstraite sont

AC COS —————— LE PENSE Verre IV HE V +zZ —. A4 = Dre) x hz HALO COS — Vr+y°+ 2° Va? +6

équations qui sont complétées par les trois constantes arbitraires FAN CEE

La première de ces équations est compliquée et ne montre pas d'une manière facile la nature de la courbe. Pour l’étudier, considérons-la dans son propre plan. Soit abaissée d’un point quelconque de la courbe, une perpendiculaire sur l'intersection de son plan avec celui des x, y; nommons Ÿ cette perpendiculaire, et X la distance de son pied à l’origine. Cela posé, il est facile de voir que l’on aura

A Va+6 y;

on a d’ailleurs évidemment Lt +y+z = X?+{Y7.

Substituant donc ces valeurs dans l’équation intégrale, elle deviendra

a “ | ES Arc COS — mm

VX? SA SR Te COS — | X°+Y VX2+Y*}

Or cette équation est celle de la développante d’un cercle dont le rayon égale a, et dont le centre est à l’origine, et pour laquelle. la constante 7 fixe l’origine du développement : de plus, les changements qu'on pourrait apporter à la valeur de y, en transportant