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ailleurs l’origine du développement, ne feraient que faire tourner la courbe dans son plan et autour de son centre, sans altérer sa forme; donc la caractéristique est la développante d’un cercle dont le rayon égale a, et dont le centre est à l’origine, quelle que soit d’ailleurs la position de son plan déterminé par les deux arbitraires « et y, et quelle que soit la position qu'elle prenne dans son plan, en tournant autour du centre, position qui est déterminée par la troisième arbitraire y.

En regardant les trois constantes x, £, y comme susceptibles, chacune en particulier, de toutes les valeurs possibles, on aura toutes les courbes qui, prises par séries, auront pour lieu géométrique une des surfaces dont nous nous occupons dans ce paragraphe. Pour former une de ces séries, il faut établir entre les trois constantes &, 5, y, deux conditions, ce qui les réduira à une seule d’entre elles ; et le résultat de l'élimination de cette dernière entre les deux équations intégrales sera, en x, y, z, l'équation de la surface, qui sera le lieu de cette série individuelle.

Si l’on voulait former cette série de la manière la plus arbitraire, il faudrait poser 8 — 9x, y — 4, et par l'élimination de # entre

les deux équations,

arc COS —

vx 2 +y? = Z 2

ZV1+a? +0?

—- arc cos

VE pr Va? + 9

aX + YO + z —0,

on aurait en x, y, z, l'équation de la surface engendrée par le mouvement de la développante du cercle dont le rayon égale «, et dont le centre est à l’origine, le plan de la courbe étant d’ailleurs

mobile d’une manière quelconque autour de l'origine, et la courbe L 9

elle-même, constante de forme, étant mobile d’une manière quelconque dans son plan autour de l’origine.

Mais cette surface, dont l'équation comprend les deux fonctions arbitraires ® et 4, est plus générale que celle dont nous nous occupons, et pour laquelle, des deux relations à établir entre les constantes &, 5, y, iln’y en a qu'une seule de disponible, l’autre devant être déduite de la nature de la question. En effet, nous avons vu que le plan de la caractéristique doit être partout normal à la surface ; les points de cette courbe, considérée comme génératrice, doivent donc se mouvoir de manière que leurs directions soient toutes perpendiculaires à son plan : donc la spirale doit être fixée dans son propre plan; donc deux de ces spirales consécutives doivent se couper dans chacune de leurs branches ; donc enfin la forme de la fonction + n’est pas arbitraire, et doit être déterminée de manière que cette condition soit remplie.

Intégration de la méme équation aux différences ordinaires (xdx + ydy + zdz)° = a° (dx° + dy° + dz°)

considérée comme appartenant aux arétes de rebroussement.

L'arête de rebroussement est la courbe touchée par toutes les caractéristiques d’une même série : cette série doit donc être formée de manière que deux caractéristiques consécutives se coupent; par conséquent, la fonction +} ne doit pas être arbitraire, et il s'agit de déterminer sa forme. Or, en conservant les abrévia-

tions, les équations de la caractéristique, considérée comme faisant partie d’une série, sont

A ere a hz Va ee À re. COS - + Arc COS ——— "\ + Na, } u u Va? +09?

aX + Y® + 3 = 0;

et le point de contact de cette courbe avec l’arête de rebroussement est celui par lequel les +, y, z ne varient pas dans ces deux 12 . . . , / Q fe

équations quand & varie : done, si l’on différentie ces deux équa-

tions, en regardant # comme seule variable, ce qui donne

me OS (æ°+o?) AE (et pe) a (x? + o°)

L +YP —

on aura quatre équations, dans lesquelles les x, y, z sont les coordonnées du point de l’arête de rebroussement. Done, si, entre ces quatre équations, on élimine x, y, z, l'équation résultante en 4, W’ et « sera celle qui servira à déterminer la forme de la fonction +}, de manière que deux caractéristiques consécutives se coupent ; mais de la seconde et de la quatrième on tire

v(p— ap) —:9, x (go — ao’) En PTT et, par conséquent,

Mr et ee La Lit M VPN NE