POUR LA TOISE
T. si^ITie toise. •••.»•• • i toise Tant 6 pieds.
pi. — pied , I pied — i a pouces.,
po. — pouce '« . i pouce — 12 lignes. •
lig. ligne I ligne — 11 pointa.
povA LB VLOAiH DB BANQUE {^d* Amsterdam).
i, h» MgpifitflorîadebaoqM. ... i llociii àt MnqDe Tant 90 fow
* commnna on 40 deniers.
«r — MU.. t aou commun vaut a denieia de
gros on 16 penins.
^ denier x denier de groe raal 8 peidai»
POUR UB JIARC DE BANQUE (ti^ HamboUTg).
SL Wdgnifie marc de banque. x mate & banque tant 16* Mme
lobe.
tf — . aoo. X eoa ioB jnsax t% teimbiba.
^ diniOT. I ioa lob Tant a dcniera de groe.
POUR LA PISTOLE ( d^EspagUB )•
r'^^ signifie pistole 'X pistole vaut 3 a réaax de plate.
|Mx réanx ; x réal de plate vaut 34 maravédia
de plate.
m<U* maravédie x pistole vaut xo88 maravédis de
plate.
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De l'addition des nombres complexes.
104. Écanvez les nombres proposés les uns au-des* BOU4 des antres, de manière que les ôniuss de chaque espèce correspondent les unes aux autres sur un«
même colonne verticale, et soulignez le tout. Procédez eo^uite à l addition des unités de cliaque co* lonne , en commençant sur la droite par les unités de la pkia petite espèce. Si la somme ne suffit pas pour composer une unité de l'espèce immédiatement supérieure , écrivez ladite somme sous la colonne relative; si, au contraire, elle renferme une ou plusieurs unités de Tespèce immédiatement supérieure , écrivez zérpy ou le nombre qui excède ce nombrè juste d'unités , ijue TOUS retiendrez pour les ajouta aux unités semblables., etc. , et continuez de la même manière à régard des autres colonnes.
On propose d ajouter les trois noui!bnis suivant^, composés de livres, sous et deniers,
273 19 II 438 «5 lo
le commence par additionner les deniers dont la somme est 29, et comme il faut la deniers pour faire i sou, U s*ensuit qu'elle renferme 2 ^ous plùs S deniers; j'écris donc 5 deniers , et reliens a. Je passé à.'la colonne dés sous dont je trOure que lès ùnités* font a3, en y comprenant les 2 sous que je viens de
retenir^ je pose par conséquent le dernier chiffre 3 , et retiens les a dizaines pour les ajouter aux autres dizaines; ce qui me donne 5 dizaines en tout, et par conséquent a Irms plus une dizaine, puisque a dizaines de sous font i Urre; c'est pourquoi je pose cette dizaine à sa place , et retiens ces a livres pour les ^jouter à la colonne des livres, etc.
a* ^XBM«&B.
On propose d'ajouter les quatre nombre suivants , composés de pistoles, réaux, et maravédis.
84p*^ air^» aym^
27 a3 la
161 p^* Il r*« aSm""
La somme des maravëdis est 6a qui contient i réal ët a8 maravédis, puisque 34 maravédb font t réal,j écris donc ces a8 maravédis. Je passe ensuite aux réaux qui, avec celui que je viens de retenir, font et comme 3a réaux font i pistole, il s'ensuit que ces 7$ réaiût valent a pistoles pltis 11 réaux; c'est pourquoi f écris ces 1 1 réaux sous leur colonne, et je retiens ces a pistoles pour les ajouter ^vec les autres (i5).
Il est essentiel de s accoutumer à calculer tout à la Ibis les nombnes exprimés par deux chiffres. Ainsi, pour ies maravédis, par exemple, il £iut din» tout de suite: 37 et i4 font 4') 4x ^ S3 et 9
font 6a , etc. , sans quoi lopération en deviendrait d autant plus longue.
Voici deux exemples sur lesquels on pourra s'exercer :
io''8-
fonces
Qinarcs
Z)^ la soustraction des nombres complexes.
io5. Écrivez le plus petit nombre au - dessous du plus grand , en observant pour les unités de chaque espèce le même ordre que dans laddition, et soulignez le tout. Soustrayez dans chaque colonne le nombre inférieur du nombre supérieur , en commençant sur la droite , et écrivez le reste à sa place relative. Si , dans le cours de l'opération , le nombre supérieur se trouve plus petit que le nombre inférieur, il faut, pour rendre la soustraction possible, empruntei- sur l'espèce immédiatement supérieure, une unité, que l'on décompose en parties de l'espèce dont il est question , et que l'on y ajoute; en ayant égard toutefois à cet emprunt qui diminue d'une unité l'espèce immédiatement plus grande. On procédera de la même manière à l'égard des autres colonnes, etc.
l" EXEMPLE.
de 236^ 18*^ 9^
on veut soustraire. . 197 i5 11
différence. . 39** * 2^ 10^
Comme de 9 je ne puis retrancher 1 1 , j'emprunte
811^ les i8 sous I unité qvà vaut la deniers, et qui, avec les 9, font ai deniers' en tout, dont, retranchant 1 1 , il reste 10 deniers que j'écris. Je passe ensuite à la colonne des sous, et, retranchant i5 de 17 seulement qui demeurent après l'emprunt, j écris le reste a sous lès sous, et ainsi de suite (Zy).
a* BXBMVLB«
de ai9p'~ ijr r*"*aan^*"
. on veutôter.*. 194 a3 3i
différence . . 2 4 p ' ' ' ''.5 r -""^ ^ 5 nr''' .
Gomme de aa maravédis je ne saurais en soustraire Si , j'emprunte sur les 17 réaux Toisins i unité qui
vaut 34 maravédis, et qui , ayec les aa , fait iS maravédis en tout, dont, soustrayant 3i , il reste ^5 que j'écris. Je passe ensuite aux réaux , et comme je ne saurais bon plus soustraire a3 de 16 qui demeurent après l'emprunt , f emprunte encore sur les pistoles une autré unité qui vaut 3a réaux; ce qui ùàt bien 48 réaux en tout , dont , soustrayant 23 , il reste 25 que j'écris à la colonne des réaux, et je continue , etc. , etc.
Voici deux exemples sur lesquels on pourra s*exer^ cer: •
564'- af**6'** 7*** a5<î o"*'* 3*^- 4«'" iSe^""' 96 5 9 10 18 I « 7 7 . a • a3
46*7^ oP'- H^"' différence 6^ O"" 3*^"' 4»'°* l"*"'" lÔ^'""
De la preuve de V addition et de la soustraction des nombres complexes.
io6. La preuve de l'addition de ces nombres est
fondée sur les mêmes principes que celle des nombres incomplexes. Mais quand on passe aux subdivi* ' sions de Tunité, il &ut substMuer au rapport décimal celui déterminé par la valeur de cbaipie partie, à
Tégard de celle qui la suit immédiatement sur la droite. Faisons Tapplication du principe au premier exemple.
341'' iT^ 8^ • * 273 19 II
1054*^ iZ^ 5^
Après avoir opéré pour les unités entières, selon ce qui a été prescrit au n° 5i , je convertis les 2 livres en 4 dizaines de sous , qui , ajoutées à celle de la sommé , font 5 , dont je retrandie les 3 unités de • la colonne des dizaines, etf écris au-dessous le reste a qui sont' des dizainei à Fégard de la colonne sui* vante.
Je retranche de 28 le nombre 1 1 que me donne la cblonne des sous , et j'écris sous la mêmè colonne le reste a sous, qui valent a4 deniers, et qui, ajoutés aux 5 deniers de la somme, font 29 deniers en tout. C'est précisément ce nombre 29 que je dois retrouver dans l'addition de la colonne des deniers , comme parties de la plus petite espèce. En effet, 8, 11 et 10 font bien les mêmes 29 denim , et j'en oondus que mon opération est exacte. * > :
" Gomme la preuve die la sôtiÀtràctfdn alièn par l'Âddîtion , et qu'on vient d'exposer la règle relative à celle des nombres coniplexes (|o4), il serait superflu ,d'eu parler, ,\ ' ' < '
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' De la nu^ltipUça^iùm des nombres cor^
PRIHCIFB GiX](miQUB.^
107. Si les nombres proposés sont tous les deux complexes, réduisez ««les chacun à sa plus petite ea« pèce, et donnez respectivement pour çléiioininatear. à chaciin des nombres résultant de cetle réduction ; celui qui exprime combien il £iut d'unités de la plus ^ petite espèce , pour en composer une de la plus grande ; multip^ez ensuite ces deux fractions entre elles I et celle qui en résultera sera le produit cherché, dont la nature se détermine par le sens même de la, question. Enfin , réduisez ce produit én parties rela* . tives i Fespèce d'unités qu'il représente 1 en effectuant
la division. '
, Ainsi, si Ton me demande , par exemple , combien •coûteront aS p"" r*"* 17 m**'' , à raison de 14*^ 8^ la pistole, là nature de la question m'indi* quant que ce sont des fiyres que je Joîs avoir au
produit, je vois qu'il s agit de multiplier i4* 18*^ 8^ par 25 p'** 27 r*" 17*^; c'est pourquoi je réduis le multiplicande tout en deniers (67) « ce. qui me donne 3584 denier9; et comme le denier «st la a4o^ partie de la livre I j'ai à y substituer la firaction-^^j je réduis de même le mtdliplicateur tout en mararédis (56), ce qui fait 281 35 maravédis en tout; et comme il en Ikut 1088 pour faire une pistole, ce multiplicateur est représenté à son tour par une autre frac* ti<m -rr^: 4^ sorte qu'il ne s'agit plus que de multiplier de livre par ^^4^- de pistole , et la nouvelle, firâction 'V/A^V livre qui en résulte est le produit cherché; et, en affectuant la division en livres et parties de la livre (97) , le quotient 386^ 3*^ 4^ est
coât total des a5 p'" 'i^ji^^ ij m**, et par eopséquent la réponse à la question proposée.
Voilà un procédé générique qui peut servir à résoudre toutes les questions relatives aux^multiplicatious complexes. 0 est fondé sur la considération que nous ayons d^a exposée (97), et en yertu de laquelle on rend toujours possible la drnsîon du numérateur par le dénominateur d*une fraction , en réduisant le numérateur en parties assez petites pour Teffectuer. Mais ce procédé de]nent quelquefois trèslong, et conune le but constant de l'arithméticiett doit être d'abréger tous les -ealculs, nous allons indiquer des moyens beaucoup plus prompts de parvenir aux mêmes résultats | et par cela même préfé-i rables. <
BXSHPjLE.
1 08. Combien vaudront 3a pistoles à raison de i4** i&^6kla pistole?
Puisquune pistole vaut i4* i5«^ îï est évident
que 32 pistoles vaudront 82 fois 14"^ 6^. 11 s'agit donc, pour répondre à la question, de répéter cette dernière somme autant de fois qu'il y a de pistoles , c'est-à-dire 3a fois.
Le multiplicande est donc 14^ i5<^ 6^
Etle mukiplicat'. le noinbre abstrait. 3a
-Pnodilit pour 10 sous. ... • i5 o o
•t Produit pour 5 sous 8 o ^
Produit pour 6 deniers. . . o 16 6
Produit wfAL 47^*
Après avoir trouvé deux produits partiels rela.<«
174) • ti£i aux du tauldylicande , je nûsdnne ainsi «par
rapport à ses parties aliquotes :
Si , au lieu de 1 5 sous , il y avait i livre de plus au multiplicande, le produit de cette livre multipliée par ]« multipUcateur 82 , deviendrait 32 livres. Mais ' i5 80U5 ne aônt qp.e les 7* ou les ^ de i livi^ , je dois donc prendre les 7 de 3a , considéré oomme des livres , et , pour prendre ces parties d'une manière plus commo.de, je décompose les i5 sous en 10 sous plus 5 sous. . .
Pour to sous qjaâ sont la moitié d'une livre, je prends la moitié du multiplicateur.
Pour '5 sous cpii sont le quart d'une lim , au lieu * de prendre le quart du multiplicateur, je prends, pour plus de commodité , la moitié du produit précédent relatif aux 10 sous, puisque 5 sous en sont la moitié.
Pour les 6 denier8<) je remarque qu'ils, sont la moi^ ' tié d*un sou ou de i a. deniers , et par conséquent le dixième de 5 sous ou de 60 deniers; c'est pourquoi je prends le dixième des 8 livres ou de 160 sous que je viensjdavoir pour ces mêmes 5 sous, lequel dixièuèe est i6 sous; et, en récapitulant ces divers produits, je trouve p6ur produit total 47^*
109. Combien coûteront 43 pistoles et 8 réaux , à raison de i4** 18*^ 9^ /a pistole ?
Puisque chaque pistole coûte 1 4^ 18*^ il est évident que , pour répondre à la question , je dois prendre cette sohime autant de' fois et parties de fois , qu'il y a de pistoles et parties de lu pistole. Car, nous le répétons encore , dans les multiplications complexes, aussi bien que dans les incomplexes, le multiplicateur est toujours, un nombre abstrait; et les
parties aliquotes qui , dans les premières j aocompagnent les entiers | ne sont que des fractions ab* straites.
Ainsi < cette manière de 5*eKpriiner, oontacrée par
l'usage , qu'on multiplie un nombre par des pistoles 'et parties de pistoles , ou par tout autre nombre concret , est tout<à*£ût vicieuse. Dans cette occasion , par ezem[dey on ne peut pas dire qu*on r^iète le mul* tipficande 43 pistoks de fois et 8 réaux de foitf , mais bien 4^ fois plus ^ de fois; car cbaque réal étant la 32*^ partie de la pistole, les 8 réaux en sont les
dette observation n'empêchera pas que nous necrivions à 1 avenir les parties aliquotes avec les sigtaes qui leur sont propres , parce que cette dreonstanoe est assez indifiTijrente en elle-même, pourvu toutefois qu'on ne perde jamais de vue ce principe invariable que le multiplicateur est toujours un nombre abstrait y et que , par conséquent , les parties aliquotes qui accompagnent les entiers, ne peuvent jamais être que des fractions abstraites , dont la somme ne vaut pas une unité entière.
Pour lo sous. . 21
lO
— 6deniers. t
8 réaux. . 3
