O'^ II

38*»i4^pouri8^

Je multiplie d'abord 14** par 43 , et puis pour multiplier par 18 sous, je les décompose en. lo, 5 , 2 et isons.

Pour 10 sons, qài sont la moitié d'une' lim , je prends la moitié de 43 , qui est ax^ 10^ ; ponr 5 sous ,

la moitié de ce produit, qui est 10"^ 1 5*^; pour 2 sous, le cinquième de ce que j'ai eu pour 10 sous ; ou bien encore ( ce qui est plus commode ) , comme 2 sous sont le dixiéône de la lim, je prends le dixième (*) de 43 ^tû est 4^ ^ que je trouve en supprimant le dernier chiffre 3' dont je porte le double , 6 , au rang des sous. Enfin , pour i sou, je prends la moitié de ce dernier produit, qui est de 2^ 3<^.

Pour les 9 deniers , je les décompose en- 6 et 3 deniers. Pour 6 deniers je prends la moitié de ce que j*ai -eu pour x sou, ce qui fait x*^ i*^ 6^; et pour les 3 deniers restants , la moitié de ce produit , qui est

£n£n , arrivé aux 8 réaux , je remarque que, étant le quart d'une pistole, ils doivent me donner le quart du prix de cette même pistole , c'est-À-dire le quart

' du multiplicande ; ce qui fôît 3**^ i4*^ 8^ et en additionnant ces divers produits , je trouve pour produit total 646»* o'^ 1 f

II o. Remarquons en passant qu'au lieu dè décomposer les 18 sous du multiplicande, comme on vient de le fiure, on peut multiplier tout à la fois par ces 18

. sous , en procédant de la manière suivante*

(*) n vfanlte de notre ijifème de munénilioB qo^tn «iipprfaBent le dernier dii£Bpe vert h droite d*iin nonbie qoeleoDqne, on a le dixième de ce aonbce» moine le d&ôime de ce dUffiv enpprimé. Or, d la livre ne ee dlTiaeil qaVn 10 loas, il est évident 4|ae le diarïème dé oe cbiflire serait nn peidl iiomlNre de aofbfc Mais elle m divise m ao sou, c*eftp4-dife en paitiet a fob plu petitee, il frnt done le donbler et tcgerder ce produit conune exprimant des sons. .

Je prends la moitié de ces i8 sous qui est g; je multiplie 9 par le dernier chiffre 3 du multiplicateur, ce qui me donne pour produit 27; je double le dernier chiffre 7, ce qui fait i4 que je porte à la colonne des sous , et je retiens 2 ; je continue de multiplier g par le second chiffre 4 du multiplicateur, et, ajoutant au produit 36 les 2 unités déjà retenues, je porte 38 à la colonne des livres ; de sorte que le produit total des 18 sous est 38^ i4*^.

La raison de ce procédé est qu'on multiplie par ce moyen des dixièmes de livres.

III. Combien vaudront 34 toises 5 pieds 7 pouces d'un certain ouvrage, a raison de i3** 6*^ 1^ la toise ?

Il s'agit de répéter i3'' 16*^ 2^ autant de fois et parties de fois qu'il y a de toises et parties de toise.

Pour 16 sous 27 4 G

Faux produit pour 2 sous. • ^ ^ a

Pour 2 deniers o 5 8

— 3 pieds 6 18 I

— 2 pieds 4 12 o Y

— 6 pouces i 3 o ~

— i pouce o 3 10

jT

Après avoir multiphé i3** par 34, je compose tout

Dig

• ( -78 ) ^ dun coup ie produit relatif nui. i6 .sous, d'après le procédé que noiU venoiiA dlndîqaer (iio).

Pour les deux deniers , je irois tout de suite que je ne saurais les évaluer fadlement, puisqu'ils ne sont que la 96^ partie de 16 sous j c'est pourquoi j'ctiiblis un faux produit (*) pour 2 sous , en prenant le dixième de 34 1 qui est. 3*^ 8^^, et je le baii'e, attendu quil ne doit pas faire partie^di» laddition. Puis, comme 2 deniers sont le sixième de i sou , et par conséquent le douzième de 2 sous , je prends le douzième de ce &nx produit, ce qui me donne 5^ 8^ que j'écris.

Quand j'en suis aux 5 pieds du multiplicateur, je les décompose en 3 et 2 pieds*

Pour 3 pieds , qui sont la moitié d*une tobe, je prends la moitié du multiplicande , ce qui fidt 18^ i^. Pour 2 pieds, qui sont le tiers de la toise, je prends également le tiers du multiplicande > ce qui fait 4^ 12^ o^ y.

E^nfin » pour Ijss 7 pouces, je les décompose en 6 et I pouces.

Pour 6 pouces , qm sont le quart de 9 pieds , je prends le quart du dernier produit relatif à ces mêmes a pieds , et pour i pouce , le sixième de^e dernier produit, et, en additionnant ces divers produits, je trouve pour produif. total 4Ba* 6*^ 7^ «n.

lia. Quant aux fractions qui accompagnent ces divers produits, l'addition en devient très-fiicile, quoiqu'elles aiept toiites un dénominateur 4ifférent,

(*) Nom ne oooMnroqi oftUe expression » toat impropre qu'elle •oit, q«e par le^eet poor l*iiMfe.' Ko effet, ce qû*oii appelkySMur produits^ Mmt des prodi|(tt réde comme tons les antres. Cest, sans doute, parce qu'ils ne servent qae poor ea trouYer d'aotrea qn'on les a désignés ainsi. Noas «imeriona niein dire avce les

attendu qu'il résulte de la manière dont elles ont été . formées, que le dernier dénominateur est multiple de tous les autres ; et ^ue , par conséquent , on peut ceiiTertir les fractions précédentes en Tespèce de la dernière , en multipliant les deux termes de diacone par le quotient provenant de la division du dernier dénominateur 36 par le dénominateur de chacime de ces mêmes fractions. D'après la règle du n° 83 , on trouve que leur somme est . - '

II 3. Lorsqu on ne pourra pas décomposer les par^ ties aliquotes d'une manière commode pour Févalua» tion des parties plus petites , de règle générale on aura recours aux faux produits. Mais il est bien des cas où l'on peut s'en passer , quoiqu'au premier coup d'œil ils p^ffaissent indispensables. .Ainsi , dans ce dernier exemple, quand j'en suis aux a deniers, je remarque que multiplier 2 deniers par 34 y c*est prendre 34 fois 2 deniers , ce qui hit 68 deniers, c'est-à-dire 8^. Ce moyen est d'autant plus facile ici que le multiplicateur n'a que deux chiffres. :!.^:f .

4" KXBM»l.a.

II 4* Combien vaudront pistoles a3 réaux^ maravédiSf à raison de i/^*^ iZ"^ lo^ la pistoleP

Puisque cbaque pistole vaut i4*^ x3<^ 10^9 il est évident que, l^ipur rëj^dre k^h quëàtion , je dois prendre cette somme autant ^de fois et parties de fob {pLÛ y a de pistoles et parties de la piâtok :

Digitizeû L> N^oogle

la 50us « ;

6 den,,.

16 iiéaiix.

II

Voy. ponrTaddi* don de ces frac* tioaslea® m.

17 marav.

Après avoir multiplié par Zg y je décompo3e les i3 sous en la sous et i sou. Je prends tout à la fois pour les 19 éova^ d'après le procédé du iiô; • ce qui me donne pour produit j dont je prends

le douzième pour i sou, de la manière suivante :

Le douzième de 23** est i** pour 1 2 , je pose donc i ; veste IX livres qui, çonverties en sous et ajoutées aux 8 sous déjà existants , font saS sous en tout; je continue de prendre ie douzièine de aa qui est i pour la , et je pose cette unité sous la colonne des dizaines de sous; reste 10 dizaines de sous qui, avec le dernier chiffre 8, font 108 sous, dont le douzième juste- es^ 9, que j'écris à la suite de la dizaine d^ posé^j ce qui^fiût bien ig^ pour le produit de i sou.

Pour les 10 deniers, je les décompose en 6 , 3 , et i

deniers, qui sont la moitié, le quart et le doumème de I sou. Pour 6 deniers, je prends la moitié du pro-

(luit que je viens d'avoir pour un sou, et ainsi de suite pour le reste des parties aliquotes.

Quand j en suis aux 23 réaux du multiplicateur, je les décompose en i6, 4» ^9 i ré^ux. Séie réaux étant la moitié d une pistole , doiyent me donner évidemment la moitié de la valeur de la pistole, c'està-dire la moitié du multiplicande qui exprime précisément cette valeur : j'en prends donc la moitié, qui est 7'^ ix^, et je pars de cette base pour levaluation du reste des parties aliquotes.

Si nous avons décomposé les i3 sous du multiplicande en la sous et i sou, ça été uniquement pour exercer à l'exécution du procédé du n" iio, d'une part, et de l'autre, pour habituer les commençants à prendre facilement le^douzième dun nombre complexe de livres. Car, à part ce motif, il eût été plus commode de décomposer ces i3 sous en 10, a, I sous.

ii5. On aurait pu aussi évaluer le produit total relatif aux 10 deniers du multiplicande, en partant de la considération que nous venons d*exposer (11 3). En effet, nous le répétons encore, multiplier 10 deniers par 39, c'est prendre 39 fois 10 deniers; le produit sera donc 390 deniers (36), qu'il s'agit d'évaluer; or, dans Sgo deniers, il y a 240 deniers plus i5o deniers, cest^à-diie x livre plus i5o deniers. Je commence par conséquent par écrire i livre, et prenant ensuite le y a* de i5o deniers pour en extraire les sous, je trouve qu'il' est 12^ 6^; ce qui fait eh tout 12'^ 6^ pour produit total des 10 deniers. Quand les nombres sur lesquels on opère sont susceptibles de ces abréviations, on no doit pas les négliger,

Digitizeû l> v^oogle

ii6. Une li^re tournois ajrant produit 3^ pistoles 2^ réaux 17 maravédis de bén^e, on demande çon^èmn de pisto/es produiront de bénéfice i4* id^ 16^?

Puisque chaque livre produit 89 p'" 23 " 17 m'*'^

il est évident que, pour répondre à cette question, je dois répéter ces pistoles et parties de pistoles, autant de fois qu il y a de livres et parties de la livre ; c'est-àdire i4 fois y plus 77 de fois, plus 77 de -n: de fojs» ou ^ de fois (94).

« om'*

aS

10 sous.

aS

6deD.

ax

583 p>- Mt^t^m^-^.

I I I i l II

Im moitié àê si^Ur.

( Le qtiart da ptiz de I 16 réaux.

iLa moitié du prodait ci-dessiis.

La moi lié da dflrnier produit.

I La moitié da dernier

j produit.

t I La moitié du multi- ? * f pUeande.

I i Le cinqoièoM dn pro-

>o ( doit ci-dessus,

ta I La moitié du dernier

«• ( prodoie.

3 , j La moitié da dernier

Tô f produit

3 j ^ Le tiers de l'aTant-

e7 < dernier prôdmt re-

C Utifàx

Après avoir formé, à lordinaire, les produits des

unités, principales du multiplicande par chaque chiffre du multiplicateur, je remarque que, si au lieu de a3 ré&ux il y avait i pistole de plus au mtiltipli-

cande, le produit de cette pistole, multipliée par ic multiplicateur i4ï deviendrait i4 pistoles. Mais 23 réaux ne sont que les ff d'une pistole; je dois dono prendre les f^- de i4 considéré comme des pistoles.

A cet effet I je décompose les a3 réaux en i6, 4) a, I réaux. Or, comme ié| réaux sont la inoitié d'une pistole , je prends d*abord la moitié de 1 4 , qui est 7 pistoles, et je pars ensuite de cette base pour rêva*» luation du reste de ces parties aliquotes.

Pour les 17 maravédis, qui sont la moitié dun réal, je prends la moitié du dernier produit relatif à ce mémé réal.

Arrivé aux i.V 10^ du multiplicateur , je prends sur tout le multiplicand»* les parties aliquotes correspondantes, en décomposant d abord les i3 sous en 10, a, et t sous..

Pour 10 sous, qui sont la moitié dune livre, je prends la moitié du multiplicande, et pars ensuite de cette base pour 1 évaluation du reste des mêmes parties aliquotes.

Quant aux 10 deniers-, je les décompose en 6 et 4 deniers. Pour 6 deniers , je prends- la moitié, et pour 4 9 le tiers du produit relatif à un sou..

On -voit 9 par cet exemple, que nous avons choisi, à dessein, combien il est essentiel de distinsfiurr le multiplicande du multiplicateur , quand ce sont tk\s nombres concrets; car, dans cet exemple, comme dans le précédent, les deux facteurs sont é^lement $9 pistoles 2^ réaux 17 maravédis, et i4^ 10^; et malgré cela les deux produfts sont différents, puisque l'un exprime les livres, et l'autre des pistoles. Cette distinction est indispensable pour descendra

(84) * dans le détail des subdivisions qui sont toujours re» latives aux unités principales dont doit être composé le produit ; et comme les unités du produit doivent * toujours être de même nature que celles du multiplicande (aS), c'est pour cela, encore une foiS| que^ lorsque les deux fiicteurs sont d'espèce dififêrente, il importe de bien déterminer lequel des deux nombres proposés doit être pris pour multiplicande.

1x7. Quand, en composant les produits partiels^t on ne prend pas des 'parties sur le produit qui précède îinniédiatement; fl arrive alors que le dernier dénominateur n'est pas multiple de tous les autres^ comme dans ce cas-ci, par exemple, où j*ai formé le dernier produit pour 4 deniers , en prenant le tiers de lavant -dernier, relatif à i sou. Mûs^ comme les dénominateurs ne sont pas des nombres ^ptfsaàm^ voici la manière d'éviter, dans tous les cas pareil»,, le procédé général du n® 80 :

Les dénominateurs étant 2, 10, ao,4o, 60, je cherche le plus petit nombre possible qui puisse se diviser exactement par tous ces dénominateurs , et, dans cette occasion, par les chiifires significatifs seulement. A cet tfet, j'essaie sur ks midtiples du plus petit dénominateur a (l'unité ne compte pas) les divisions par 4 et par 6. Je trouve par ce moyen que ce plus petit nombre est 12"*, et dès lors il ne me reste plus qua convertir les fractions en 120^ de maravédis.

BXBMPLB.

xi8. Une U»r» a produit ti Iwm 11 som 11 nim de bénéfice , on demande eomhien de libres produis

ront de bin^ce 1 1* 1 1 ?

Il est évident, d'après letat de la question) qu'il s'agit de muitipUer ii* ii^ it^ par xi^ ti<r n^.

ZI tl II

P*. 10 8. du moltip''*. .

lO

— - lo 8. du multip*^.

— 6den» — • . • •

ti* o^

o Uaoitiédeiiliv.

^ r doit ci-dessiu.

I» , ^ I La moitié du der- I nier produit,

(La moitié du der-

9 I nier produit. '

j Le tier» de l'avant- * dernier produit.

. (La aodtié du multi-

I Le dixième dnpfoy a o ( duit ci-dessus.

t% ii. i ^ moitié da der- ^9 4* ( nitr produit.

«2. I nôtlié dn da«

8 o } nier produit.

« • -9 3 (Le tiers de Ta'rant-

prodoit.

La maniète dont noua. anEona.indiqué Topération, nous duprase d'en Muire compte.

n arrîye dans cet exemple, comme dans le précé* dent, que le dernier produit i*^ ii^ relatif à a deniers, n'étant pas formé de celui qui le p<?écède immédiatement, le dénominateur lao n'est pas multiple de celui de la dernière fractidn {7. Hab en procédant comme nous Tenons de l'indiquer (117), on trouve que le nombre 24 divise exactement tous les dénominateurs ^ et dès lors il ne s'agit plus que de

convertir toutes les fractions en a4o*"" de denier , comme nous FaTons £iit.

119. Quand on compjrend inen le principe Ion- . damental de la multiplicadon icomplexe, on pent avec un peu de sagacité, et en s'aidant un peu du calcul de téte, faire la même opération en trois produits , de la manière suivante: