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' £t je trouve que le coût dun ballot est de o^ 12^ 10»^ f

ia7. Voilà pour le premier cas« Nous voici arrivés au second- où, le dividende et le diviseur étant de même espèce , le quotient doit être d'espèce difiF^nte,

ou bien de même espèce qu'eux. Commençons par la première hypothèse.

Jl faut alors réduire le dividende et le diviseur càO' • cun à la ptwn&re e^^kcê qui puisse leur être eommwie, et, par ce nufjren, l^opiraHon se tremfou préménmt assimilée aux dmx précédentes*

3^ SX£UPLS.

ia8. demande combien pour 4Ba*^ 6^ 17 on fera faire de toises d^oumige, à raison de i3'^ 16*^ a^ la toise?

11 est évident , d'après l'état de la question , que je dois avoir des toises et parties de toise au quotient ; il n'est pas moins évident que je dois avoir autant de

toises et parties de toise , que le prk de cette même ttnset tpà est a^, est contenu de fois- et par-

ties de fois dans le nombre proposé.

Il faut donc diviser 482" 6^ 7^ par i3** 16^ 2^. Mais comme on ne peut pas décomposer un diviseur, qui est toujourji censé ne former qu'un seul tout in- ' diTiftible^ je commence par réunir toutes ses parties, en les convertissant en 36^*^ de denier {*) ; oe qui me donne 1 19304 ; je rédtiis pareillement le diiridende en 36*^ de denier, ce qui donne 4167355, et j'effectue ma division de la manière suivante :

II 101

66$ii4

Après avoir trouvé 34 toises au quotient, il demeure 111019 de reste que je multiplie par 6, parre que la toise vaut 6 pieds ; et je divise le produi| ' i^ii4 par 1 19304, ce qui me doiine 5 pieds pour quotient , et 69594 de reste ; je multiplie encore ce

(*) Si au lieu de ^ j'avais eu ~^ de dcniec, par exemple, dans le dividende, j'aurais réduit le diridende et le diviseur en quart.s de denier seulement, qui auraient été la première mesure corammip à ces deux nombres, dont Texpression serait deveuae par-là d'autant plos «impie. «

reste par 12, attendu que le pied vaut 12 pouces, et je continue de diviser le produit 835x28 pai* le dÎTÎseiir; ce qui me donne 7 ponces juste au quotient; de sorte que, par ce moyen, je trouve que, pour 48a* &f on devra se procurer 34* 5^*- 7?^ , à

raison de i3* 16*^ 2^ la toise.

129. n est bien aisé de se convaincre que le quotient na pu être altéré par les chang^ements que nous avons £iit subir au dividende et au diviseur, en les convertissant chacun en 864o^** de livre; car cela revient à les avoir multipliés par ce nombre même y qui exprimait combien il fidlait d*unités de

(*) Cette riMt «ittoiqae uaa tnaSkUi par cUMBlme, tappoMnit

•afait d^a pnwvé que» mu^^Hermn namkn fat h ftrodnt de doue antm, 9$t la mtêmt ekou qw de le WÊtd^pUtr ^ùbwd jpw h fnmiv, «e fMÙ de mtdt^ptter te pntduii qui m rimlte par te seeoadf et, qa*«iK jimidient ensuite le mAme faîemiFnenNiit à «n plus grand nombre de fteteiue, on aurait géaéraliaé cette proposition. CTest effectivement ce qne nons aviona fidt en premier lien. Mais son peu d*appUead«n. dans le eonmeroe, et la longnenr de la démonitratiotty imhm ont engagé à la sappriaier. Cependant, eomme elle pourrait parfois deTenir utile « notu allons la mettre en action dans Texemple suivant :

•Si l'on multiplie successivement un nombre quelconque , lo par exemple , par a, par ^ , et par 4 ; c'est-à-dire , si l'on multiplie lo Sabord par 2 , et puis le produit 9.0 qui en résulte par 3 , et enjin Ir nouveau produit 60 par ^ , on aura pour produit dr/tnitij" 2^0 , çui est le même que si l'on avait multiplié tout de suite 10 par le produit a4 des trois multiplicateurs entre eux.

Nous avons également supprimé, par la même raison , Tanalogae de ceue proposition idatÎTe à la division , dont noua allons aussi Aire Tapplicatioa pore et simple au cas suivant r

iSf l'on' d&û» $moemr«mm% un nomSiv çaeleoaque , a4o par exemple, par ^,par 3 , et par 4; c'eit^HUre , n i*om é»ue a4o d^or bord par 9 , et puis le quofkni xao qui en résuUe par 3>, ef enfin le nonnan quotient 40 par 4, on aura pour quotient définit^ lo» qui est le aténe que si Von amii dknii tout de suite s4o par Se produit ai ' det troit dirimve entre euee,

la plus petite es{>ëce pour en composer une de la plus grande j ce qui ne change rien à la valeur du quotient (70). •

Or le procédé générique que nous avons prescât (127)) ne consiste précuément qua indiquer quel est le nombre par iequd on doit midtiplicâr le diyi^ dende et le diviseur pour les rendre incomplexes : donc , etc. (*).

On voit que , dans tous les cas pareils, il ne s'agit, après avoir effectué la réduction déjà prescrite (127), qae de- considérer le dividende comme un nombre concret de même espèce que le quotient, le diviseur comme un nombre abstrait, et de partir de cette considération , pour convertir successivement les restes de division en parties relatives à la nature des unités principales du quotient.

^ i3o. Quant à la seconde hypothèse, 'lopération est assimilée de tout point à celle de Texemple premier, et dépend absolument du même principe que

nous avons déjà exposé (124). Ainsi, si Ton me proposait cette question : 10 545** i5*^ 10^ ont produit 23oo** bénéfice y on demande combien cela fait de . bénéfice par livre? U est évident que dois diviser to54S^ par a3oo; et eâ optant selon ce

qui a été déjà prescrit pour ce premier exemple , je trouve pour quotient 4" 1 1*^ 8^ -j^, qui est le bénéfice répondant à i livre.

Ii'iBzemple précédent et le troisième des muliiplica*

(*) Vtid me «nm preave :

' Rédoiie le àMàeaéB et le divieear diaeaB à la ploa peUte ccpéce qid pidiM leur être oommiiiie» e'eet les eouvertlr en «xpressione fiseliomuiires d*iiiie Taleor fcspectiveinenl égale (56). Xh, nous avona d^ja VQ (93) qae des firaelUMM de néfiie dcnomiiiatair donnent ponr quotient celni da Icnr nonéiateiir.

lions complexes du n° 1 1 1 , sfe servent réciproquement

de preuve.

De la dwision d'un nombre incomplexe par un nombre complexe^ ou de deux nombres complexes entre eux.

131. Quand le diviseur seul est complexe, ou bien quand le dividende et le diviseur sont tous les deux complexes , il faut réduire le diviseur à sa plus petite espèce; multiplier le dividende par Iç nombre qui exprime combien il faut d'unités de la plus petite espèce du diviseur pour en composer une de la plus grande, c'est-à-dire pour composer une de ses unités principales; et alors l'opération se trouve ramenée au cas précédent où le diviseur était incomplexe.