S RAISONS

i56. Les mots rapport et raison sont de parfaits synonymes dans le langage des mathématiciens. Ils s'entendent tous les deux de la relation qu'ont entre elles deux quantités, de leur manière d'être l'une à Tégard ' de l'autre, comparées ensemble* ^

«S7. Cette comparaison peut avoir deux objets différents : celui de savoir combien la première de ces deux quantités surpasse la seconde ou en est surpassée, ou bien encore de connaître combien de fois la ' ,1 ...

première â» 06» déiix nfaàntilés oonfielit k seetmi^ « ou est contenue dans éUe. Dans, le premier cas, le rapport est arithmétique, et dans le secoiid, géomé" trique. Les rapports arithmétiques n'ayant aucune application dans le commerce , nous i^ous bornerons à parler des autres.

1S8. Pour revenir donc , quand je compare d «Fee 3 y pour savoir combien de fois ce premier nombre . 6 contient 3 , le quotient y ou 2 entiers , résultat de cette comparaison , est ce qu'on appelle le rapport de 6 à 3 , qu il faut écrire ainsi 6 : 3 ; et quand je compare 3 avec 6 toujours dans le même objets c^es^ à-dire pour savoir combien de fois 3 contient 6, le quotient f ou un demi est aussi le rapport de 3 à 6 , qui s'écrit 3:6. Ces deux points, placés de la sorte entre deux nombres qu'on compare ensemble , sont destinés à marquer qu'on examine leur rapport jg/êx^ métrique.

iSg. Des deux nombres qui cottcourent>à former unr

rapport , le premier se nomme ontécéeleTU , et le second conséquent. On les appelle aussi, d'un nom commun^ içs deux termes du rapport.

160. Le rapport entre deux nombres n'étant autre cbose que lé quotient résultant de la division du premier par le second ^ .il suit d^ là que tout .rapport est

^une fraction proprement ou improprement dite, selon . : que l'antécédent est plus petit ou plus grand que son conséquent; et que dès lors un rapport ne saurait changer parla nuddpUcatîon ou ia*dùfisiën de ses detuë termes par un même nombre (70).

161. Ce principe est d'une àppÛcatiôft frèâoitllë, et d'un fréquent usage. Il sert à simplifier lés rapports, en les ramenant à des expressions plus simples. Si j'ai , par. exemple , ce rapport 90 : 18, je divise l'antécédent et le conséquent cbacun par g^etfj substitue to : 2 ,

. fappcnrt paifaitement égal au premier, Ift qui otïre rmfltaige detre Exprimé pat de phitf pct2ta nombtei. . 91 j'ai éncbrè e6t antre rappMt 5 4 , je inets d'abord les emid» soua k formé de fractions , et j'ai à y substituer -y- : ; puis , je réduis ces doux expressions fractionnaires au même dénominateur (78), ce qtu' me donne ^i*^; f en multiplie les deux termes par 63 en énpprinuint le dénominateur commun (77), «tj'obèieiis 333 t5»S. Enfin, je dhriaepar 3, et j'ai en dernière analyse m : 1^5, rapport paifaitement égal au rapport proposé 5 y : 8 | , et dont Texamen est bien plus commode.

i(Sa* Puisque lé rapport de deux nombres n'est que le qtadtiiBnt du premier par le second, et par cdns^ tpient nne quantilé fractionnaire, H suit delà que les deux propositions déjà établies (78 et 74) sont natu» rellement applicables aux rapports en générai, d'où je tire les deux conclusions suivantes :.

i63. Vn rapport est d^mUoitt plus grand qu*wi autre , que VàfùieédenJt du prémier est plUs grand

que r antécédent du second , ou que le conséquent ' du premier est plus petit que le conséquent du second,^

. Ainsi 100 7: 100 est plus grand que 100 j: xoo;

100 7:99 est plus grand que 100 | : 100 ; et il plus forte raison 100 ^ : 100 est-il plus grand que^ioo: 100 j.

i64* a^ Un rapport est d*aittant plus petit qu'un au^ tre, que r antécédent du premier est plus petit que V antécédent du second, ou que le conséquent du i premier estplusgmad que le conséquent du second.

Ainsi 99 : toù est pins petit que 99 7 : 100; 983 roo •

est plus pfitit que 98:99; et à plus forte rajaon 99 7: 100 est-il plus petit que 100 :yy ,

r6S. Il suif encore de ce qui a été ei.po«é (i^) que Von peut, sans aètérer un rapport , réduire toujours à r unité V antécédent ou le conséquent dudit rapport, en divisant les deux ternm par U plus petit de» dmoe^ Ainû dans ce rapport 3 : 9, en divisast 3 et p cha-' cûn par 3 , j'ai oe nouveau rapport < : 3 ^ parfidtement égal au premier ( 160 ) ; et dans cet autre la : 4 > en divisant pareillement 12 et 4 chacun par 4, il en résulte ce second rapport parÊdtement égal au rapport donné t a : 4

Âi e£fet» si le rapport proposé est une fiadiotf proprement dite , Fantécédent étant tout à 1» fins' cB» vidende et diviseur, le quotient qui est substitué audit antécédent ne peut manquer d'être l'unité. Si le rapport est une fraction improprement dite, le même raisonnement s'applique littéialemeiit au oonséqueni:

'donc, ete»

Des proportiom.

166. La comparaison ou l'assemblage de deux rapport égaux forme ce qu'on appelle une proportion*

i&j. D'après oette définition , on voit qu'il y entre néoessaùrement quatre quantités qu'on appelle, génériquement parlant, les quatre termes de la proportion. Quand on veut les désigner d'une manière plus particulière, on dit en parlant des premier et second termes, antécédent et conséquent du premier rapport; et en parlant des troisième <et quatrième, antécedênt ' et conséquent dn. second nqiport. Les premier et quatrième termes se nomment encore les extrêmes; et les termes intermédiaires les moyens de la proportion.

168. Soient donnés les deux rapports égaux 12: 3 et 16: 4, je disque ces quatre nombres forment la proportion que voici , et qu'on écrit de la manière suivante:

Les deux points signifient eff et les quatre points comme ^ de sorte qu'on doit l'énoncer ainsi : douze est à trois comme seize est à quatre.

Voici encQre d'autres signeâ d'abréviation, usités tkns les proportions; k| snhrant x Teut dire multiplié par; cet autre— placé entse deux nmnbres au-desius lun de Tantre, comme dans les fractions, signifie divisé par; et celui-ci = veut dire égale. Ainsi , pour iÎBÛre l'application de ces trois signes à la phrase suiyante^ i6 mukipliépar 3 dmsi par la égale 4f j'mna

169. La proportion est dite croissante ou décroissante! selon que les antécédents sont plus petits ou plus grands que leurs conséquents. Ainsi celle qui précède est décroissante, tandb que celle-ci 3: la: :4: 16

est croissante.

.170. Dans toute proportion , le produit des extrêmes est égal au produit dei moyens. Cette propriété est inhmnte à l'essence même de la pimportion.

Ainsi dans^cette proportion par exemple 3 : 9 : : 4 : i ^ , je dis que le produit de 3 par 12 doit être le même que celui de 9 par 4> ce qui, abstraction faite des nombres, donne lieu à la formule générique suivante ;

extrêmes moyens

3 X 1 2=19 X 4 î produits qui font également 36.

En effet , si dans la proportion supposée 3 : 9 : : 4 * 1 2 , les deux antécédents étaient l'unité , e^ que conséquents fassent égaux entre eux comme da^s. c^t exemple i :3: : i :3; ou bien encore, si les deux antécédents étaient égMtx entre eux, et que les deux conséquents fussent l'unité comme dans cet autre exemple 3 : z : : 3 : i ; il est de la dernière évideuce.que

( ii8 ) ■

le produit des extrêmes serait égal au produit des moyens. Mais toute prpportîop peut être ramenée à l'une ou l'autre de ces deux liypotlièsesy en divisant les deux termes de chaque rapport par le plus 'petit des deux, selon ce qui a été déjà prouvé (i65).

Ainsi si dans la proportion 3:9: : 4^ 1 2, je divise 3 et 9 chacun* par 3 , j'ai un autre rapport ég[al au pre- . mier (160) , sous cette nouvelle expression f :3. Si je dînse pareillement 4 ^ >^ chacun par 4« enooi^ un autre rapport égal sous cette nouvelle expiwssion i:3, et par conséquent cette nouvelle proportion 1 :3: : 1 :3. Or, si le produit d^s extrêmes est égal m produit des moyens après cette division , il devait nécessairement l'être auparavant, puisqu*op n> f«ut que substituer deux rapports égaux à deux rapports égaux.

Quand la proportion est décroissante, ce sont, au contrajurCi les antécédents qui deviennent égaux entre eux, et les conséquents qui se trouvent réduits à runité,

171. Si l'on examine un peu attentivement le pro^ ' cédé qui nous a Sjervi à prouver cette dernière proposition , on verra que cette propriété ne peut appartenir qu'à quatre quantités qui soient en proportion. Car si le premier rapport n'était pas égal au second » il n j aurait jamais que les deux antécédents ou lès deux conséquents qui deviendraient ég^uÎL entre eux*, lorsqu on réduirait les depx rapports à leur plus simple expression , en répétant la même épreuve. Donc toutes les fois qiie quatre quantités sont telles que le produit ^ des extrèm0§ ê$t égal 4m p/witik des moy^fu^ ^êS t^uamf^fn^mi^wu pt^Hùmi - - • i

iya«'Be'eepiniK»pe qui'MCla iiasefoiidamen^la àm propokfioiis^, dériv^immédialement ceMeÎBOnséfBiince que, de quoique manière que Von combine les quatre

Jours , pourvu que , dam cet arrangement des termes , le

premier n*ait pas le dernier pour conséquent , ni celui-ci ie premier. Cette permutation donne lieu à huit pro* {Kirtions différemes que Toid: