permutation de ooioséquents

3: 4*' ia:i6 âltienie de la première espèce.' j2:i6:: 3: 4 altème de |a demdème espèce.

Car, dans tous ces divers changements, le produit . des extrêmes sera .égal au produit des moyens.

X73. PuîfqiiW (mit prendseliB produit des extn^es pour cdui des mojms él lédproquemeiit, il suit de là qu*il est toujouts fecîle de trouver le 4^ terme d'une • proportion dont on connaît les trois autres. Si le terme inconnu est un extrême, il sufHtde multiplier les deux moyens et de diviser par Vextrème connu* Ainsi si 1*09 me demande le 4* tenue d'une proportion dont les trois premiers seraient ceux-ci 3:iâ:'.:'4:^ (nous appellerons tonjouors x le terme inconnu) ; je multiplie 12 par 4î je divise le produit 48 par 3, et le quotient i6 est le 4*^ terme demandé.

X74* 1^ terme inoonnu est un des moyens, il Jaut mukiplw les deux exttmee etdmser parlemcrjm tmrnu. Ainsi, si l'on me demande te' 3* terme de œtlt proportion 3 : la : : i6, je mtdtipKe i6 par 3 , je di^ vise le produit 48 par 12, et le quotient 4 est le 3^ terme demandé. .

i^Su »Ihiisqa!une .proportioii n est que Fassemfala§e de d/eiML.rapport8 ^aux , il-sitit de ce que nous amonâ *

(lao).

dît '(i58) que, pour trouver la rafsou d*une propor» tion, il faut diviser un de ses antécédents ])ar son conséquent. Il résulte de là qu'en divisant Fantécédent d'un rapport par la raison, ou doit retrouver le conséquent de ce rapport; et qu'en multipliant le conséquent d'un rapport par la' nùson , on doit ^retrouver son antécédent (4o).

Je tire de là les deux conséquences suivantes : 1° Dans toute proportion ^chaque conséquent est égal a son antécédent diidsépar la raison; ^t chaque antécédent est égal à son conséquent muk^Ué^par la raison.

176. En réfléchissant un peu sur ces deux dernières propositions, on y découvre un nouveau moyen de trouver tel terme que l'on voudca d'une proportion dont. on connaîtrait les trm autres. Car en appliquant littéralement ces propositioiis à la question dont il s'agit , et en substituant aux mots piremier antécédent, premier conséquent, ceux du premier et second termes et ainsi de suite , on verra que

poar trovTvr

le 4* terme, Ica! — le 3* — .le —

& Cmft SMiitv* .

177, Nous aurons occasion de voir dans le second volume comlnen , dans certains cas, ce procédé abrège ks calculs. £n attendant , qu'on se figure qu'il s'agisse de trouver les termes (les conséquents du second

rapport) de vingt proportions différentes, dont les deux premiers seraient constamment les mêmes. On sent qu'il sera bien plus court, en pareil cas , d'évaluer d'abord la raison régnante dans ces proportions, et de la faire servir de diviseiir à l'égaid chaque 3>*

terme (c*«st*à«dire des antécédents du second ra]l»

port), puisqu'on s'épargne par*]à la longueur qu'entraînerait la multiplication successiye des deux moyens l'un par l'autre. Car, sauf l'évaluation de cette raison, le reste de l'opération se balance î il tient à une division de part et d'antre.

178. Puisque I dans toutè proportion , on peut sans la troubler mettre le troisième terme k la place du second, et le second à la place du troisième, comme nous l'avons vu ( 172) dans la proportion alterne de la i'^ espèce ; il suit de là que la proportion subsistera tou/ours y si l'on mult^!flie ou l'on dûnse sâs deux asU^ eédenis ou ses deux conséquents par m mems mmbre. Car, en supposant cette permutation des moyens opérée, les deux antécédents deviendront les deux termes du premier rapport, et les deux conséquents les deux termes du second. Cela revient par conséquent à multiplier ou à diviser les. deux termes d'un rapport par un même nombre : dcne la proportion subsistêm et^ core i^n^s cette nudtiplicatkm»

179. Toutes les fois que les deux termes d'un rapport sont deux fractions ayant un même numérateur , on peut sin^lifier ce n^port, en supprimant ce numérateur commun j et en remmenant Perdre des d^>fominateurs. Ainsi, dans cette proportion 7 ; -j^: : iS : of^je substitue au premier rapport , cet autre plus simple qui lui est parfaitement égal 10 : 7 ; et en voici la preuve :

Le rapport consistant dans la division de l'antécédent par le conséquent , pour évaluer celui } à -p;^ , il fimtdÛTÎserYpar-^; c'est-à-dire multipHerfpar-^) et le résultat de cette opération est par consé^ptent ff y ou 3o: 91. Mais, en se rendant un peu attentif sur la formation de ce dernier rapport, on voit que le dénominateur de la seconde fraction , multiplié par le numérateur de U première , devient premier te^e dudit

rapport; et que le dénominateur delà première, multiplié par le numérateur de la seconde, en devient le second terme. Voilà pour la permutation des dénominateurs dans leur ordre renversé. Mais puisque ce numérateur est supposé le même dans les deux fractions, et qu'il est li\cteur dans les deux termes du rapport , on peut le supprimer, puisque cela revient à en diviser les deux dits termes par le même nombre. Et comme cette démonstration est indépendante des nombres que nous avons choisis, et qu'elle est applicable à tous les cas possibles semblables : donc , etc.

i8o. On appelle rapport composé, celui qui résulte du produit de plusieurs rapports dont on multiplie les antécédents et les conséquents entre eux ; et rap» ports composants , ceux qui concourent à former un rapport composé. Si j'ai les trois rapports suivants,

et que je multiplie les trois antécétlents et les trois conséquents entre eux , il en résulte le rapport composé 5^6 : 24. Ce rapport est le même qiie si j'avais évalué séparément chaque rapport composant, et qu'ensuite j'eusse multiplié entre eux les nombres qui exprimaient ces valeurs ; de sorte qu'on peut dire qu'en général , la valeur d'un rapport composé est le produit des valeurs simples qui le composent.

En effet, multiplier entre eux les antécédents et les conséquents de plusieurs rapports , c'est multiplier entre eux les numérateurs et les dénominateurs de plusieurs quantités fractignnaires ( 160 ). Or évaluer

ebaqmmppùn ^gomposant, c*e>t , Umqpie an yapporte jBont rediiâibles, y substituer des expreanoos plus

simples ; donc le nouveau rapport qui naît delà multiplication fies rapports composants avant leur réduction , ne peut manquer d'être égal à celui qui résulte de leur multiplicatioir, après que cette réduciion est opérée, puisquie cela neriient à multiptier des quantités V^es par des quantités égales.

Du nomeau système métrique,

• iSi. L'ancien système des poids et mesures avait le doubl^ inconvénient de n'offrir aucune unilbn|iité dahs les différentes subdivisions des unités principales,

et de rendré impossible la conversion des unités plus grandes en unités plus petites, toutes ies ibis que les ' premières n'étaient pas multiples des secondes. Ïj6 nouveau système, au contraire , en réalisant le ' vœu de Buffion, à remplacé ces défauts par desavan* tages qui lui assurent une supériorité* îndépeifdante des temps et des lieux ; car il a son fondement dans la nature , et voici comment :

' On a mesuré , avec toute l'exactitude possible , le quart du méridien terrestre, qui est de 5 1^0740 tcnscs « ou 30784440 pieds On a divisé cette quantité en

dix miliiptts dé parties ^;ales, et on a pri$ une de ces

(*) On ponvait condnre la ^randenr du quart da méridien, de relie de Tare qui tiavene ^la France depais Dnnkerqae jns<pi*ai|X Pyrénées , et qui fut meravé, mt 1740, par lea académiciens fraaçaia» Mais nue nouvelle mesara d'wi arc plas grand encore , ftite aviéc dea moyens plu» exacts, devant inspirer, en faveur du nouveau* système des poids et mesures , un intérêt propre à le répandre , ou

fàtoïfii .dft meiiiKf ïMfft 4ft méri^*^ lÊff*^^ fmfif^ ^f^-

parties pour la principale unité usuelle de longueur, qu on a appelée mètre» Voilà le point de départ.

Mesures linéaires ou de^ longueur. .

Le mètre- est donc encore tme, fois la principale unité linéaire. D yaut 3^078444^ pieds.

Une unité de 10 mètres s appelle décamètre. ^

Une unité de 100 — — hectomètre*

Une unité de 1000 — kilomètre.

Une unité de 10000 — , — ^ mfnrianùtre.

Unité I — — mètre.

Une unité.. . 10 fois plus petite décimètre*

Une unité... 100 — centimètre.

Une unité. xooo — millimètre.

Mesures de superfide.

On a choisi pour unité principale, dans les mesures de superficie , un carré dont le côté serait un décamètre, et qui contiendzait par conséquent cent mètres carrés. On a nommé cette nnité are {*) : ses

ranltiples et sons-mnltiples se composent

I 100 fois plus jurandes, dites hectares, dunités < 10 fois plus petites, dites déciares.

I 100 — , — ' — centiares.

k0n|ae «t Btfofkm. Im optetiMM ^ DdMve «t HéaUb ont kÊÈMf et qat.Blot «t Ango ont tiomlnn^in Jmqn'à nie d« Fomentm, aonnMtt !• qnart dm nMifli éplkStSvf^Q toiMfc(fiÉtnît do roxpoiMon dn StUAhm dn monde.)

(*) Tooe ke Me appliqnie onx noovdfei meenne dMmt d« gNo et dalalin*

( laS )

Mesures de solidité.

Les mètres cultes, décimètres cubes, etc. , servent à mesurer la Yaleur de la solidité . des corps. On a nommé sàtn une mesure destinée partîcuÛèrement aux bois de chauffage. Les composés du stère' ne sont guère en usage.

Mesure$ de capacité.

Le litn est ui|e mesure de jcapadté ^^e à un décimètre cube.

Ses multiples et souMunlt^es se ocMnposent pour

les noms et pour les valeurs numéri(j[ueS) comme ceux des mesures de longueur. Savoir :

lo fob plus grapdes , dites décalitres, loo — — — hectolitres, lo fois plus petites , dîtes décilitres* loo — — — cetUiUtns»

Poids.

Le gramme est un poids égal à celui d'un eentimètre cnbe d'eau distillée.

Ses unités composées ofiîrent la même analogie dans

leur nomenclature, et la même série décimale que celles des autres mesures.

d'unités

Le nr^iagramme yaut.

Le kilogramme — Uhectogramme — déeagrmnme — ^ Le ffwnm$ ou l'unité \jd déeigramme vaut Le centigramîne — Le milligramme —

1O9OOO

XOO

là

OyOOI

Unités de gramme.

En récapitulant ce que nous TeDOiM de clire fiuë haut| il en résulte que

U mêùrv m rmilié dm ( Douiiiét i imghmt rasage de k idIm» de longusiir. ' | da pied ^ d« YttmM t de te brMi« , «to.

Vare, rnnitédes mesnres k Destinée à remplacer l'asage de la perche » agraires oa de snp«rllcie. | de la toise, pied, pooces .carré»» «te.

Le stère on mètre cube, ( . . , „ . , j . j I Destinée à remplacer l osage des toises,

1 nniM oM iiMtBMe ae < .

, * i pieds , pouces cabes , etc.

•oudile* t I

Le Stn, YuaSté âm me* | Deetiaée à lemphoer l*aeegé d« anree de capacité. ' | du Htron, de k pinte , etc;

Le gramme, l'uiuté des j Destinée à remplacer Tasage de la livire>4ll mesures de .pesanteur. | inaro, cU X'oaqe, da (|aiiitalt etc.

MoThiiaiès.

On appelle franc Tunité principale des monnaies» Cette unité se subdivise en dé(imes*eX centimes, toujours d'après la même échèllè dédmale.

Le franc est une pièce d'argent du poids de cinq

gr.itnmes , au titre de 7^ de fin , et d'alliage.

Le décimé est une pièce de bronze qui vaut de liraiic.

heèMiiihe est une pièce de brottae qui tâuit t77*d« frand» . . . . ^ . , « •

Le nouveau système métrique , en faisant disparaître

une fois pour toutes cette foule de dénominations arbitraires et de rapports incohérents de l'ancien, lui a substitué Une nomenclature méthodique, et a soumis les subdivisions et les multiples des mesures prises' pour unité à une échelle décimale qui réduit tous les calculs possibles au plus grand étainde simplicité' dont ils fussent susceptibles. Non - seulement toutes les parties de ce système sont étroitement liées entre

dles; imisr eHeft ont vu tappoit iiiimédîat me les dhnennoiis du globe terrestre. Car, nous le répétons

encore, il a sa base dans la nature. Ainsi rétalon des nouvelles mesures aurait beau se perdre ou s'altérer par la suite des temps, à moins d'un bouleyersen^ent génénl y on est toujours sàr, tant que les sdenees seront cultiTées ,Ni'en ffetroUTer le type , en prenant la dix^millionnième partie de la distance du pôle k Té» quateur Q. •

Application des opérations de l'arithmétique au Jfyïtème métrique.

182. Toutes les questionà que Ton peut proposer, relatives au système métrique, trouvent leur solution dans l'application littérale des principes que nous ayons exposés au sujet des fractions décimales n** i43 à iSS. Qtuint à l'addition et à la sbustraction , ce sont des opérations trop simples pour que nous nous y arrêtions un ^eul instant. Passons de suite à la multiplication.

' i83. Je siq^pose qti'on veuille Satoiir iéiUnBiên coû^ tèront 94 mètres et 3 déciaùtrei de drap, U inuèoi^'de 18 francs 'j'j centimes le rketreP ' • ;

11 est évident que, puisque i mètre vaut 18 frl

> On pinf 'aîiHl wbôa W U nètra dans tokt iab tônpat tèna éâié obligé dAveooarir I loetto maaiifê, an moy«n is aum npport à la fcmfiiMir da pndnl», qni a 4ll Usé de la mânlàfa la plof piMae par M. Borda. U a trouvé à robservatoicV'de Paris , la longoeor da dnla qni &it aent nOla oaoiUatioiu par jour, égale à oa^S74iS87.

pîèoea da 40 fr. ont a6 millimètres de diamètre, cellea da ao fr. ont 11 millimètres; de sorte qîic 34 pièces de aoir. et it de 40 ù,p nûMs Tiine à e^lé de l'aatw , donnanwlla kngwar dn ÉnètM. • ^ . . »- ' »• ■ 'i » - . î ' . ♦ M • I*'» v 4 »• * " ■

77 <:eiit.| a4 mètres et 3 décinèMs midniiit ^kiiota i8 fr. 77 cent, plus de fois ce même |irix.- Je nul*

tiplie donc i8 fr. 77 cent, par 24 et — ou par a43 (car, nous le répétons encore, le multiplicateur ne peut jamais être qu'un nombre abstrait) ; et en opé- * yant selon la. règle du n^ i45 , ^ai pour produit et pour répCMise àla question , 4^ £r» iii^ cent. Passons actueUement à la dimion^

184. Je suppose quajantpctyé 4^6 fr, 11 cent, pour a4"** > S**^' , on demande a combien retient le mètre ?

JLl est évident que le nombre de francs qui exprimera le prix de z mètre, sera égpl au nombre de fois que la somme 456 fr. 11 cent, contiendra la totalité des mètres. Pour connaître ce prix donc, je n'ai qu'à diviser 456 fr, ii cent, par 24"**', 3***^ ; c'est-à-dire que , selon la règle du n° i48, je commence par changer les 3 décimètres du diviseur en 3o centimètres , en écrÎTant un zéro à la suite du 3$ et puis, effec» tuant ma division d*a^ès le même prindpe, je trouve pour quotient et réponse à la question , 18 fr. 76 cent.

Cet exemple sert de preuve en même temps au précédent. différence de i centime vient de ce que, dans le dividende 4^6 fr. 1 1 cent. , on a négligé i mil- . lième de franc qui frisait partie du produit dans la première opération.

Voici un autre exemple. Je suppose qaon demande combien pour 2453 Jfr, 1 5 cent, on se procurera d'hec^ toUtres de vin , à raison de 2^6 fr. 1 5 cent, V hectolitre ?

Il est dair que le nombre dliectolitres cherché est égaLau nombre de fois que la première de ces demp sommes contient k seconde* Pour connaître ce nom« bre, je nai donc qu'à diviser 2453 fr. i5 cent, par a36 fr. 45 cent., d'après la règle du n** i48; et le quotic^nt lo***"-, 37""* , qui exprime des hectolitres et

des subdivisions d'hectolitres • sert de réponse à la

question»

- i85. Je suppose actudlement qu'irui demande hierij avec la même somme de it^tZ/r^ 1 5 cera,y on ferait faire de toises d^owrage , a raison de a36 fr. 45 cent,

la toise ?

Toujours par la même raUon qui vient d'être exposée plus haut, je divise 2453 fr. i5 çent* par a36 fr. 45 cent. (14^)9 après ayoir obtenu les unîtes de toise au (juotîent, j'ai soin de couTertir succèssiTe^ ment les restes de dirision en parties relatÎTes à Fespèce de cette unité principale, comme dans l'exemple 3*^ du n*' 128; et, par ce moyen , je trouve pour quotient et réponse à la question j lo*?- a?*- 2P°

i86. £n dernière analyse , le système métrique ne peut donner lieu qu'aux mêmes opérations que celles réIatiTes aux fractions décimales ; aussi ayons - nous , choisi , dans nos nouveaux exemples , les mêmes nombres que ceux sur lesquels nous avons opéré d abord. * ( 145 et 148 ) , pour rendre plus sensible cette vérité, que la seule différence qu'il y ait entre les unes et les autres» c'est que, dans la numération décimale pure et simple, on envisage les nombres d'une manière abstraite, tandis que dans le système métrique on les regarde comme concrets.

' 187. La conversion des unités plus grandes en unités "plus petites qui, quelquefois impossible dans l'an* cien système 9 était totqours longue et minutieuse-, ne donne plus lieu, dans le nouveau, qu'à un simulacre

d'opération , puisque tout tient au déplacement de la virgule.

Ën eHietf si je veux convertir 4568""^' ,253 en décimètres 9 je n'ai qu a avancer la virgule d'une place , vers- la droite, et j'ai pour 'produit 45682^*,53. Par ce déplacement de la virgule , j'ai rendu le nombre

proposé 10 fois pins grand , il est vrai (iSp) j mais aussi, au lieu du met/ e,} ai pris pour unité le décimètre ^ qui

.est lo fois plus petit. J*ai donc opéré| entre le nombre et Fespèce des noiiTelles unités, une compensatioii au

moyen de laquelle la valeur de la quantité primitive demeure toujours la même. En un mot , cela revient à multiplier les deux termes d'une fraction par un même nombre.

S*il s'agit de cooTertir les 4^68^,953 en centimètres , j'awice la Tirgnle de deux places vers la droite et j'ai 4568i5***',3 pour produit. Par ce mojen , j*ai rendu le nombre proposé loo fois plus grand, il est vrai (1^9); mais aussi en prenant , au lieu du mètre,. le eûntinùtrB poar usité , qui est 100 fois plus petit , i*aî opéré, entre Tespèce et le nombre des nou- 'velles unités ) une compensation au moyen de la-quelle , etc. , etc. (*).

Si je veux avoir des millimètres , je supprime la Yirgule, et le nombre 4568253 est celui des millimètres que contenait la quantité proposée exprimée par 4568^,aS3. n est bien dair que toutes ces nouv^eaexpressions ne peuvent manquer d'être de la même valeur que les anciennes , puisque la compensation , entre le nombre et l'espèce des unités qu'elles représentent, s'opère à fur et à mesure par le déplacement de la virgule.

188. Par un raisonnement semblable^ mab pris en sens contraire, on prouyerait également que pour transformer des millimètres en centimètres , des centimètres en décimètres , ceux - ci en mètres , et ainsi de suite en remontant Téchelle décimale , il suffit de reculer la virgule vers la gaucbe d'un , deux, trois, etc., rangs.

Ainsi y si dans le nombré proposé ^^6%^^^^^ je

(*) C'est mot pour mot {Kmr U «oiitiiiaatbn da alsie n^oiuMowBt edni .qui MtmiiM le pitegnipbe pkéeédent.'

veux changer les mètres en kilomètres , je recule la . TOgule de trois rangs ven la gauclie, et j'ai 4*^,568253 pour ^otient. Par oe moyen, j*ai rendu, '0 est mà ^ looo fois grand lé nombre proposé ; msus aussi

' en prenant, au lieu du mhtrcj le kilomètre pour unité, qui est looo fois plus grand, j'ai opéré, entre l'espèce et le ngmbre des nouvelles unités , une compensation au moyen de laquelle la valeur de la quantité primitiTe demeure toujours la mème^ En un mot, cela revient à diyiser les deux termes d'une fiaotion par un même nombre.

L'analyse de ce qui précède (187 et 188) nous four^ nit les deux règles générales suivantes :

189. Pour convertir des unités if un ordre qu eicon q m en unités plus petites ^ U suffit d^açaneer la wgide sur la droite i , a , 3 , etc. , places , selon que ces premi^ res unités sont 10, 100, 1000, etc. ^ fois plus grandes que les secondes , en descendant V échelle décimale,

190. Pour convertir des unités d'un ordre quelconque en unités plus grandes, il suj[j^ de reculer la virgule sur la gauche de x , a , . 3 , etc., places, sdcn que ces premières unités sont 10, 100, 1000, etc. y/bis plus pe^ tites que les secondes , en remontant l'échelle décimale.

191. L'évaluation des fractions , par rapport aux nombres accompagnés de décimales , ne dillère en rien de celle relative aux nombres entiers. Ainsi, s'il s'agit de prendre les | de 41^85 fr, 76 cent. , c'esl-àr dire de multiplier 4685^ fr. 76 cent, par la fraction {Je n'ai d'abord aucun (îgard à la virj^ule ; et multipliant 468576 par ladite fraction ( 87 ) , j'ai pour produit 292860 fr. , résultat 100 fois trop grand à cause de la sv^pressioB de la virgule dans le multiplicande ; c'est pourquoi j'en sépare les deux derniers chiffres, pour réduire ce résultat à sa juste valeur , qui est 2928 fr, 60 cent., et qui sert do rcpouse à lu qucsiiou.

On peut encore appliquer à la solution de cette . question et de toutes celles du même genre , le même procédé d'abréviation indiqué (89) pour les nombres entiers , et qui consiste à ramener l'opération à une, multiplication par parties aliquotes , de la manière^ suivante ;

!iS4a, 88 p'. 7 la 7 du multiplicande.

585, 7 a p'. i le 7 dtt dem. prod. on le 7 du muk'>*.

^aSfr.,66c*

De la con^amison des anciennes avec les

nou/^eUes mesures,

192. Le mètre TalàUt 3 pieds 11 lignes , 296, ou 445''s ,296 , et la toise 864 lignes, il en résulte que le mètre est à la toise , comme 44^,296 : 864 ; et en multipliant par 1000 les deux termes de ce rapport (160) > comme 44^^9^ • .864000.

I mètre est donc les IJIttt de la toise , et en réduisant cette fraction à sa plus simple expression , il en est les i^f^f ; et enfin» en convertissant cette dernière fraction en décimales (i5a), letoL.

mètre vaut, o,5i3o74

I toise, au contraire, vaut les du ^ mètre , ou en décimales , ci . 1,949^4

I pied qui est la sixième partie de la toise, vaudra le 7 de cette dernière fraction, c'est-à-dire -Hm «è*'^ , ou. .... . o,3a484.

1 pouce qui est la partie du pied, * vaudra le de .cette dernière traction, « .

c*est-à»dire irnr mètre , ou 0,02707

I ligne qui est la la* partie du pouce, vaudra le de cette dc^ière finction , c'est-à-dire 77—7 D ^® mètre, 6n., . . 0,00226 Passons actuellement aux mesures de pesanteur.

Le kilogramme pesant 18827 grains, et la livre poids de marc 9216 grains, il en résulte que

I kilogramme est les vrrf ^ , ou hv.

en décimales, ci. 2,04288

t livie, au contraire, n e vaut que les tii.

du kilogramme, ou en décimales 0,48951

I once comme la 16^ partie de la livre,

TTiTT kilogrammes, ou o,o3o59

I gros comme la 8^ partie de l'once , vaut