II

D*aboffd le temps pour les intérêts étant direôte* ment proportionnel atqL sommes, jé saund œ que Jean aorait dù recevoir pour Fatitiée entière , au moyen

de cette proportion, 8:121:527 fr. 5o c.:x, dont le 4' terme est 791 fr. 25 centimes. Ensuite une nouvelle analogie de raisonnement me fournit cette autre ' proportion , 6 : xoo^ : : 791 fr. a5 c. : dont le 4^ terme 13187 francs 5o centimes sert de réponse à la question.

En effet, après avoir déterminé par la première proportion l'intérêt d'un an relatif au principal inconnU) il est évident que cet intérêt est par rapport à ' son capital ce que 6| intérêt du capital 100 francs , est par rapport à ce même capitaL '

On peut abréger encore l'opération j en remaïquant que 8 mois sont les d'un an. Ainsi, en prenant les 7 de 6 , intérêt d'un an , on arrivera tout de suite au même résultat par cette seule proportion, 4: 100 :: 527 fr, 5o dont le. 4*^ terme est les mêmes 13187 5o c.

C'est en approfondissant non-seulement les rapports relatifs à Fensemble d'une question,' mais la manière dont les rapports de ses divers membres concourent au résultat général, qu'on parvient à simpli- , fier les calculs. Il est vrai que cette abréviation tient, dans ce cas-ci, à l'état accidentel de la question. Mais quand on est un peu profond dans le calcid, il ëst rare qu'un eiamen un peu attentif ne lasse pas découvrir qudque moyen de simplification dans les détails.

Régie de /busse position.

ati. La rjgle à»fiiat$$e ponthm consiste à trouver un nombre înommu par le moyen d'un autre nombre qu'on cboisit à volonté , pourvu toutefois qnll puisse satbfaire aux conditions de la question.

La règle est simple lorsque^ .pour .obtenir le résultat demandé , on. n'a besoin de supposer qu'un nombre ; elle est double lorsque, pour arriver à ee même résultat , il en faut clunsîr demx.

Règle simple.

ftia/Jean^ par son testament , lègue à trois de ses neveux une somme de aSoop. francs ; mais à condition que le partage s'en iera de manière à ce que l'isliié ait le tiers t cadet le quart , et le trcndème. les. deux cinqui^Htes de sa fortune : on d^nande quelle est la fondnie de Jean, et quelle doit être U part de çbàeun de tes n^rv^

Quelle que sent la fortune de Jean, la question proposée revient, dans tous les cas , à cellend : n

Trouver un nombre dont le ti^r$, le quart et les deux cinquièmes fassent aSooo francs?

jL cet effet je choisis 60 , comme le plus petit nombre qui soit exactement divisible par les dénominateurs des fractions proposées ; et ajoutant son tiers , son quart et ses deux cinquièmes, j'ai pour somme 69 1 puis je raisonne ainsi :

^ Si 59 contient le i/3,le 1/4 et les a/5 de 60, de queU nombre aSooô contiendrait-^ le i/3 , le 1/4 et les a/5? et par conséquent jè dois trouver la solution de la qi|BSCMm dans lé 4* termé'delàrprfoportm

fr.

59 ; 60 : : 2^,000 fy»;x=z a5,4a3 ^ fortune de J>^. dont •

lef,onla,pirtdéi*ÊÉ;feiisénide 8,474 H le ^ , ou la put du ^. . . . ; V; ^^S5 f} les|,oalapiMrtda3*. io»»69 |J ' * > ^' ' ^

ée>. fiulre, que 1à#pté des pai^ somme léguée. ^./^ ! r-it.. .-

Cette méthode est fondée sur ce que la totalité des ff^Çj'

de la fraction totale est à son dénominateur , comme le nombre désigné est au nombre que l'on cherche.

21 3. Lorsqu'il n'est pas facile d'apercevoir le nombre mnl- , tiple des dénominateurs des fractions, il faut, de règle générale, les réduire au juème déuomiiuteury et diviser par leur somme le nombre proposé.

Ainsi dans cette occasion , par exemple , j'aurais trouvé que les fractions i/3 , 1/4 , 2/5 seraient devenues 20/60 , ' - 1 5/60 f a4/6o ; j'aurais divisé 2S000 par leur somme &gfio , • et j'ànrais eu pour résultat les mêmes 25,4^3 frandi 43/59. '

A14. On pMtl ëiieôie cnnHsager ût» sortss dé qpJMoià» «nu un «mr» poittt de méf'ét opktt èodkaw tH s*«glani^ dé pfettager le nonbM pcopoM en pêtûn p#b]^oMldaiieDeB 4 dM aitadées doonés, Aiaiii dans m céM, par exemplè, jè suppose qa*S est ^pieulaB de partager aSooo fimet «n prttM ^ iliiiit entre dllét lee mèeieanip* pom qaé hè Aeetfbns |, ^, |. Mab pour n'Kwàb k opérer que tor ^ des noBibfet «nttee, je coomience par «Miffé ééà Ureèikiaa aà ariike deamtetcnr ( ee ^ a*en éheoge pas la taleor (7*)^ et éUee devieoMBt alon Jl, ^, |f Je sapprinn ensoMa le dénoainaiaér con* ■Miv «e qiui levknt à Um «oldplbr per 6ey et né dMnge pas lès mppofts (77 et 70). Alors, poar .avoir k pen de «feaqae iMYen, fk suffit de partageraScéoftencsdela naidèfe sidrante, en parlMS ^ ^lâsat «Bttie «lies les némes rapports qoe les nombres ao, i5 et a4 ; opiinttioii timt4-làit analogae à la règle de société do n** ao8.

I ao:x=r 8,474^17

s^:%Sooù::f. ts:x=z 6,355 |f • - ' .

a5,ooofr.

Actnellement , pour connaître la fortiine de Jean, je nai qn'i diviser aSooo francs ( total des parts de ses neveox ) par 5^ ^ I ( total des nombres donnés ), et ajouter aux e5ooo francs le quotient 4i3 fr. j~ qui en réfolte; la somme a5»4a3 &, ^ est cette ior> tone de Jean.

Quoique cettè règle d« hvM poéition tiàjfie^ elle nabfetatd vai» doAMè coodiâoil qtâ n'ésC pas ol^dinafire à * ees sortes de règles. Dans tous les problèmes testamenltairès, par exéhiple, la fertùne du te^létfr 'formé totet joste la totalité deé lègs, faohdié tfato âàisf ce ttat-d cil* féïMéi.

C'est pour éviter ce qu*a d'absurde en apparence la manièie dont d'autres arithméticîens ont présente de pareilles queittions, que noua en avons modifié l'esprit Ainsi , dans les règlca simples en g^éral , on se tÀ>ave avoir satisfait à la question 9 du moment qu'on a partagé la quantité proposée (qui serait ici aSooo ) en parties proportionnelles à èertnns nombres donnés , qui seraient dans cette occasion 90 f iS et 94.

Âègle de fausse position double.

BXBMPLB.

ai 5. Trois marchands se sont aissociés dans leur commerce; ' lesecondamis les deux tiers de la somme du premier moins 3oo fraïkcs, e^ le troisième le quart de la somme du premier plus Aoo francs ; ils ont mis en tout aSooo francs : on demande quellé est la mise de chacun en particulier?

'Plusieurs ârithméticiens résolvent ces sortes de questions à l'aide de deux nombres supposés, et c'est pour cette raison qu'ils les rangent dans la classe des règles de fausse position doubla. Mais il est facile de les ramener à une règle de fausse position simple, et voici comment.

Je considère, que si la mise du second marchand n'avait pas été diminuée de 3oo francs, la somme des mises se serait trouvée augmentée d'autant , c'est-à-dire qu'elle aurait été de a53oo francs au |ieu .de iSoôo francs ; a** qae si la mise du troisième marchand n'avait pas é^ augmentée de aoofrnncsy la somme des mises se serait trouvée diminuée d'autant, c'est-à-dfoequ'eUe n'aurait été que de 24800 francs au lieu de aSooo francs.

Or y si la mise du troisième marchand avait été augmentée précisément d'unè somme égale k celle dont la mise du seeond marchand a été dmnnnée» il est bien évident qu'au moyen de cette'compensatîon , la question eût été semblable à la précédente. . ; .

Mais au lieu d'y avoir compensation , il s'en faut dé 100 francs que l'augmentation soit éi:;ale à la diminution ; il manque donc cent francs à la mise totale de a5ooo francs ,

pour que celte souime soit égale à un nombre auquel on ajouterait les a/3 et le 1/4 de ce même nombre. Voilà pourquoi j'ajoute ces 100 francs h. la mise totale, et alors la question proposée se réduit à celle-* ci : Trouver un nombre qm, em iidqfouiantiti deu^ tien et son quart ^/asse %^ooo francs ?

Pour.résoudre cette question, il ne reste plus qu'à choisir un nombre qui puisse satis&ire à ces conditions, et à snim à cet effet la marche indiquée pour l'exemple précédent Je réduis donc au même dénominateur les fractions proposées ; et à leur somme 1 i/ia ajolitant xa/i a, pour la valeur de l'unité qui est ici le nombre supposé, j*ai en tout a3/i2 , par lesquels divisant a5 106 francs , je trouve

fr. fr.

1 3,oy 5 -i-] p'. la mise du i" marc. 1 3,09$ ^

' 8,730 ^ mol jis 3oofr. — a* — 8,43o^

3,173^ plus aoofr. ^ 3* — 3,473

waamm sSyioo fr* 3oo fr. a» a4»Soo fr. «fi aoo fr. bb sS,ooofiv

Après atoir modifié le léraltst prétenté par les oonditioiis ^ de la question , coaune nens venons de le voir, ropéitâon re« vient à partager iSioo francs en pardei proportionnaUes ans nombres x , | « j, on ans nombres xsy 8, et 3 , an moyen de la simpliflcation indiquée (ax4> ; ee qai se réduit à ehorclier. lea qnatiièmestennesde cetterèglede titns;

/ia:x=i3,095fr-^ s3:s5loo:: | 8:x= 8,730 i|

Sonune é|;ale. • . s5,ioofr* *

a* BXBllPLB.

ax6* llèine qoettion que la préoedeiMe, aveo cette diffé* renœ senlemtet qu'on suppose que le leoond marchand ait mb les deux tiers de la somme du premier plus 3oo francs» et le troisième le quart de la somme du premier moina . 900 francs.

Je considère, i* que si la mise du second marchand n'avait pas été augmentée de 3qo francs, la somme des voX^s^

se serait Ironv^n; diminuée d'autant, c*est*à-dire qu'elle n'aurait été que de 24700 francs , au lieu de 25ooo franes; 2° que si la mise du troisième marchand n'avait pas été diminuée de 200 francs, la somme des mises se serait trouvée augmentée d'autant, c'est-à-dire qu'elle aurait été de ;à52oo francs^ au lieu de 25ooo francs.

Or , si la mise du troisième marchand avait été diminuée précisément d'une somme égale à celle don» la mise du se* cend marchand a été augmentée>il est évident qu'au moyen de cette cqmpensationy la question eût été aemblable à la première du nf aiaJ*

. Mais an lien d'y avoip compensation 9 l^ngmentation surpasse la diminùtion de xoo frûics; il y a donc 100 francs de trop dans la mise totale de aSooo francs, pour qne cette semme soit égale à nn nombre auquel on ajouterait les a/3 et le 1/4 ci|e ce même nombre. Voilà pourquoi je retranebe CCS 100 francs de la mise totale , et alors la question propo*» sée se réduit à celle-ci: Trouver un nombre qui, en lui ajou»tant ses deux tiers et son quart , fasse 24900 francs? Alors en opérant comme dans l'exemple précédent, et en divisant 24900 par 23/i 2 , on trouvera 12^1 francs 7/2^ pour lamise du premier marchand > etc«

Après aroir modifié kt résultat présenté par les conditions de la qoesiKm , jeonmie noiis Tenons de le Toir • Topératioii ' revient' à partager 94900 fitancs en perties proportîonnelks amt nomlifes IS9 StCcS.

217. Un mur comportant 1600 toises d'ouvrage a été fait par quatre ouvriers, mais avec cette distinction, que le second en a fait les deux tiers plus 45 toises de la quantité faite par le premier ; le troisième, les trois quarts plus 25 toises de la même quantité , et le quatrième , les quatre cinquièmes moins 14 toises également de la même quantité : on demande ce que ebacun en a fait ?

Je tonsidèrcy 1^ que si le second ouvrier n'avait pas foit les 45 toises d'ouvrage indiquées en plus d'une part , et lé troisième, les 25 toises indiquées également en plus de l'autre,

^en tout 70 loiseiy r«uvrage entier se serait trouvé dunknié d'mtint; c^cst««à-&e qiill nWiit M que de i53o toîicS) wlieade 1600 toiies;

t* Qae nf dans le travail da qnatritee ouvrier » il ne se trouvait |ms 14 toiaès d'onyrage indiquées en mrâsy Touvrage entier se serait trouvé augmenté d'autant, e'esti4hdnre qu'il aurait été de 1614 toises, au lieu de 1600 toises.

Mais au lieu d'y avoir compensation entre la diminution et l'augmentation des toises d'ouvrage , l'augmentation est plus forte de 56 toises. Il y a donc 56 toises de trop dans Fouvrage total de 1600 toises, pour que cette quantité soit égale à un nombre auquel on ajouterait les 2/3 , les ^4 . et les 4/5 de ce même nombre. Yoiià pourquoi je retranche 56 de i6oO| et alors la question proposée se ré» duit à celle * et t TWwper mn mmkre qid, em im ^joutami «fv datxdân , ut imU qtuuttf ef J»r quatre cimqmièmu, fime i544 ?

El m effieetnaut f opératioo » selon ce qui a été prea» crit (M3)y c^eH^-à'^dire en divisant 1644 par 193/60, je

p^ le trav.da x"'oavriflr 480 480

p'. celai da a*' les \ de cette ^Mutité.. . Sso-I^i^ = 365

p^ celai du 3* le« \ idem 36o-|-aS = 385

p'. ceHd dm 4" Itt } idHa. . . . ; ; 384.. i 14=370

dont !• totdfiitpnnv*...... i544'4-^d.« . --ti^r^illj^

Pour la oonunodité du calcul , je note les comMt çj-après ; plus

70 moins i4=plus 56 toises à retrancher de i6op toises.

Beste. ..... .i$44 toises.

Après avoir modifié le résnltat présenté par les conditions de U qoeition , comnM nous venons de le voir , l'opération revient à partager x544 toises en parties proportionnenes aux nombres i?f >;> j* CPaimz BdmbreB 60, 40, 45 et 4S, «a mojeù. dm la rimplificatioa indiqaée (a 1 4) ; ce qui le fédiit à dwcelier let yiatrièawe tÊmm é$ cette règle^de trois :

6o:x= 480 toises

[ 48:»= 384 Somne ^ple..*.. i544 toises.

4^ SXEHPLE.

ai 8. Un mur comportant 1600 toises d'ouvragé a été fait par quatre ouvriers, mais arec cette distilictioti , qtie te second en a fait les a/3 moitié 45 toises dé la quantité faite par lè pfremier; le tfoitiéme» les 3/4 moins ttS tdsed de U même quantité; et le qnatriémtt, tès 4/S plus t4 téÎ8es Ifettent de UTlnénie quantité; em demaiidtf ee tfpt diaeon en «Mt?

Je considère, x^quesi^dansletrataildasi^etdo S*0||vnetf il ne se tftmvait pù 45 tokes d'oilyraf^ indiquées en

moitis d'une part , et i5 toiser en moins de Tantre , en tout

70 toises, l'ouvrage entier se Jurait trouvé augmenté d'autant, c'est-à-dire qu'il aurait été de 1670 toises, au lieii de 1600 toises;

2" Que si ie 4* ouvrier n'avait pas fait les 14 toises d'ouvrage indiquées en plus, l'ouvrage entier se serait trouvé diminué d'autant; c'est-à-dire qu'il n'aurait été que de t586 toises^ an lieu de t^où toises.

Mais au lieu d'y avoir compeiisailoti entte Faugmen* ttfttMl M la diminution des toises d'oftvrage , l'augmentation est ni^indAe d%96 «éses. Ilinaiiiq«edei»e 66toisesàlVNK ^mifi toinl de toiMB, potdr qlfe çetle q|nantité smt égale à un nombre auquel on ajouterait les t/S» lès 3/4 Hs9'4/5 de œ même nmnbre. Voilà pourquoi j'ajoute ees 56 titos do toiildft fottirtage, et alortia ^pieslion proposé» se

réduit à qelle^ci: Troutfer un noikbre qui, en lui q/6uUutt tet deux tiers, ses trois quartâ et Met quatre cinquièmes, faste i656 toises?

Et en effectuant l'opération , selon ce qtii a été prescrit (9i3i), e*e8t*à-dire en d|^visant i656 par 19^/609 on trouyera 5i4 x58/i93 pour le trttvail du premier ouvrier, ete.

Après avoir modifié le résultat présenté par les conditions de la question , comme nous venons de le faire , l'opération revient à partager x656 toises çn parties proportionnelles aux nombres 60, 40» 4S et 48>

219. On voit I d'après ce qui précède , que les différences en plus qui se trouvent dans les données de la question, di- ; minnent d'autant la quantité proposée, et que les diCférenoes en moins augmentent an contraire d'autant cette même quan^ tîté. Il ne s'agit donc , dans tous les eas scndilables, que de modifier le rfsidtat des conditions, par celui des différences qui s'y trouvent indiquées j et alors il résuite de cette mé>tiidde la r^gle générale suivante : •

Poiur résoudre ^utes les questions de cette nature , il ùiut relever et additionner les différences en plus et les différences . en moins. On retranchera ensuite la plus petite somme de la plus grande : si le reste est affecté du sii^c moins , on l'a- ' joutera à la quantité proposée ; et s'il est affecté du signe . plus, on le déduira au contraire de cette même quantité : alors U pe restera qu'à opérer comnie ppur la régie de fausse - position simple.

»aOt U est aisé de juger, d'après les exemples précédents, que la seule différence «pi'Û y ait enti^ les règles de finisse position tim^ et donUe, consiste en ce que, dans ' la première , c'est la quantité proposée même qu'il s'agit de partager en parties proportionnelles à des nombres donnés; tamys que , dans la seconde , c'est au eontraire'une iquantké tantôt moindre, tantôt plus grande que la quantité propo^ sée qu'il s'agit de partager eu parties proportionnelles à ces mêmes nombres.

Nous ne multiplierons pas davantage ces sortes de questions, parçe qu'elles n'ont pas d'application dans le com-

merce ; et ce n'est même que pour fortifier dans le calcul en général , que nous en avons parlé. Il n*y a qu'un seul ' cas oà les négociants fassent usage d'une règle dite aussi de hxisse position , pour l'achat des laines d'£spagne'; et encore cette règle di(Tère-t-elle eawntiellement de celles que nous venons de voir» comme on va en juger par Tezemple suivant* .

BXBMPLB.

221. Nota, On achète les laines fines en Espagneà tantde rëaux de veillon l'arrobe. France on les divise en trois sortes qu'on désigne par les lettres R, F, eitS.

Les F se vendent ordinairement ao sons par demikilogiâmme moins qne les et les S, 5 sons moins . que les F.

On achète en Espagne 5o balles de laine dont ' 4^ 6 F et 2 S , pesant ensemble 4oo arrobes^ soit loooo^ poids de Cattille^ à ao réaux de veillon la H»r», eL R** aooooo

WnÔA présumés jusqu'en France 68oo

Total. •••• R°° 206800

Total du coût réel à 4 R^»^ par ~ franc 61700 francs.

4po arrobeS) à a3^ 7 Tanobe, font 9400 livres poids de marc ,

•oit. pao3 demi-kil.

Pour trouver le prix auquel reviennent les R, les F et les S, il faut faire la supposition suivante :

demi-kU. f^. ^

4a R pes. ens. 7680 à 6 fr. o c. la livre font. . 46,080 . 00 6 F idem..iioa à 5 o — 5,5io.oo

a S idem,. 421 à 4 75 — 1,999.75

00 halles pesapt 9ao3. Coi{£ ^ir/i^MW)^ 53,589.75

CM réel , . , 5s,70o.oo

Sureiiarge des prix ci-dessus 1,8^9 . 75

à répartir sul* deiiii-kilogrammes, ce qui £ût ao j cenûn^es à déduire par demi-kiiogramme.

COUT aisL.

41 EpM.«nMa. 7M0 à 5,79*1, e| 44,565.6a

6 F itai.f . tioa à 4*79 5;«84.o9

s S idem... 4^1 ^ 4>54iffi& %•••.*«.•.. i^'i3.44

^ dMii.kil. ' fr. e.

5o ImUm pM. «u. 9903 ooAttiitré«llem.(Miiii'éple) (*) 5f,993<t3

Après avoir trouvé, i*^ que le coût des 5o balles de laine montait, tous frais payés, à 206800 réaux de Ycillon, et à 5 1700 Iraocs, en réduûiaat le» monnaies espagnol^ en ptomiaies françaim, sur le pied de 4 réaux de yeiUon par franc;

Que leur poids total, lédnit en poids de Fiance, était (le 92o3 demi-kilogrammes ;

J'ai supposé que les R me revenaient à 6 francs le demi-kilogr^me, les F à 5 francs, et le» S à 4 francs 75 centimes ; et j*ai calculé, d*apr^ ofUtà si^posâtbn, le eoùt partit de ces troûi, diverses sortes , qui monte en tout à SSSffp francs centimes , tandis que le coût réel n'est que de 61700 francs. Le coût supposé excède donc le coût réel de 1889 francs 76 centimes, qui, répartis sur les 920^ dmi-kilogrammes , font à trèsipeu près 20 7 centimeHi qiue j*ai déduits des tims prix supposé plus bant. ,

Au moyen de cet^ déduetiopi , j ai tnnnpé la pro* portion qui existe dans le coût réel des trois diverses sortes de laine, comme la preuve en résulte de l'addition des trois évaluations partielles , dont la somme ùàt bien les mêmes $1700 francs.

(*) La différencê de 3 fr. i3 c* én plas îel vient de ce ifo^ i$io fr. 7$ divii4t par 9so3, ne font pas ao | oentimea |nste , nais Mm ao centimes et on pen'pltia de ^ centime 1 et qae aoaa avontf négligé cette diÀfrenoe.

, Par ce moyen , je suis à même de déterminer titie fois pour toutes les prix auxquels je devrai vendre ces trois sortes. Car si je veux gagner ao p. ^ net, par exemple , sur ceUe partie de laines, je n ai qu à ajouter ao p. 7 à 5 francs 79 7,' pour avoir Je prix, des R,; qu à ajouter de même ao p. ^ à 4 finincs 79 7 pour ^ avoir le prix des F , et opérer de même pour les S.

On voit que cette règle de fausse position n'a de commun avec les précédentes , que la supposition d'un nombre qu'on peut choisir même au hasard ici ; oisir tous les nombres conduisent indifféremment à la sofaxtion ile la question ; tandis que y dans les autres, le nombre supposé ne conduirait à aucun résultat, s'il ne renfermait précisément en soi les moyens de satisfaire à la question.

Ensuite les différences données ne forment ici que des raqppôrts arithmétiques 1 tandis que, dans tous les ptobl^nes de feuiise position onjin^ire, i) $*agit au contraire de rapports géométriques.

Voici une règle de trois plus compliquée que toutes celles que nous avons vues jusqu'à présent , et qui est destinée à exercer dans le calcul.

aaa. Cinquante hommes , travaillant 8 heures par jour , en ont employé 36 à creuser un fossé de 85 toises de longueur sur 5 de largeur et 4 de profondeur : on demande combien il faudrait de jours à 65 hommes (jiii travailleraient ■ 6 heures par jour, pour creuser un fossé de 45 toises de longueur sur 8 de largeur et 7 de profondeur ?

Voilà une question qui, au premier aperçu» parait fort compliquée 9 et qui, dans le fond , n'est rien moins qué difficile , pour peu qu'on cherche à en approfondir Tesprit. £n effet , je remarque que les jours et les heures sont des quantités accessoires par rappott aux ou^ers, cowoae Ja largeur et la profondeur des fossés sont des' i^aanlâtés

MéBtêmiéê par rapport à ces mômes foM^. H ne s'agit dooe «pie d'établir parité de cûrconstfmoes dans les dltfé^ rents termes de la qi|estioii, en y appliquant le raUomic-

ment suivant :

i" Cinquante hommes travaillant pendant 8 heures par jour , ne feront que le même ouvrage que feraient 8 fols 6o hommes, ou hommes qui travailltraient pendant I heure; et /ioo hommes, travaillant une heure par jour pendant 36 jours , ne feront que le même ouvrage que feraient 36 fois 4oo homnies , ou 14400 hommes qui travailleraient pendant i heure,

a** Un fossé de 85 toises de longueur sur 5 de largeur, ou un fossé de 5 fois 85 toises » c'est-à-dire de 4a5 toises de longueur sur une de largeur» n'esf «pi'une seule et même chose (*) ; de même que 4^^ toises de longueur sur uiie de largeur et quatre de profondeur, n*est autre chose que 4 fois 4a5 toises » ou Z700 toises de longueiir sur une de largeur et une de ptofondeur.

3^ Par la même raison et de la même maniéré, 45 imtes de longueur sur 8 de largeur et 7 de profondeur , ou a52o toises de longueur sur une de largeur et une de profondeur , sont absolument la même chose.

4" Enfin , 65 hommes , qui travaillent 6 heures par jour , ne font que le même ouvrage que feraient 6 fois 65 hom-* mes, ou 390 hommes pendant une heure.

Parce moyen, cette question, qui tenait de la règle de trois directe et inyérse, se trouve ramenée à une règle de trois directe, puisqu'elle est changée en celle -ci. Quatorze mUe quatre cents kdmmes ont creusé unjhssé de 1 700 taises de hngueur^ eom^en/audra-t-U d*kommes pour en creuser un dè a5ao toises, en supposant les dimensions égaies de pan et d'autre? Cette nouvelle question donne lieu à la règle de trois suivante : ^

(*) La démonstration de ce principe générique est da ressort de la géométrie. Mais, comme il ett d'one très -grande otiUté en arithmétique, nons prévenons que , en général, on réduit à une sotte d*uiité les qatfntltés principales 9 en les malttpliant par 1cm quantités aeoessoirei.

i700^ :a520^ ::i4^oo'»°'» :*,

qui est le moyen intermédiaire qui va nous conduire à la solution du premier problême; car en multipliant les deux moyens entre eux , et en divisant par l'extrême connu , je trouverai, dans son intcgritéyle4®terdieqttie8tai345. 15/17 • Mais, d'un autre c6té , je connais déjà en paitie'ce même 4^ terme. Cette partie connue est 890; car la pose maté^ rielle de la règle eût été celle-ei :

♦ 1700»' ; aSao** : : 1 4400^* : 390^» x« i*"*-

Ce facteurs n'est autre chose que lenpmbre de jours cherdié) en divisant donc aiS45. 15/17 P&F ^9^ (^4)» j'aurai la valeur de qui est 54 jours 17 heures 35 mînut. .ia5/aAi.

S'il y avait eu deux choses d'inconnues au lieu d'une, comme si, par exemple, on substituait au S* membre de la question, celdrci: On demande comàten U faudraU de Jours à 65 hommes, et combien d'heures Us devraient travailler peujour, pour creuser un fossé, etc. ? l'opération en deviendrait un peu plus longue , et la question serait ce qu'on appelle indéterminée. (Nous verrons dans les règles d'alliage ce que c'est qu'une question indéterminée. ) Mais, au demeurant, elle serait susceptible d'une solution semblable.

En effet, après avoir préparé de la même manière la* pose de ma règle de trois primitive, voici la nouvelle pose qui résulterait de cette préparation :

1 700'- : a520'' : : 1 44oo*»«»- : 65^"»' X 1

Après avoir trouvé dans son intégrité le 4* terme, qui est ax34. xx/17 9 je choisirais un nombre dîieures arbitraire, tel que son produit par 65 (hommes) n'égalât pas ledit 4" terme ai34. xi/17; et je diviserais ce même 4* tmie par le produit qui résulterait de la multiplication des 65 (hbmmcs) par le nombre que j'aurais choisi. Le quotient serait le nombre de jours demandé.

Que si lés trob choses du 4^ terme avaient été incon-

nueS) comme n l'on suhstitiuût au 3* membre jÔe la question, celui-ci : On demamdê quel est ie nomtn d'hommes

qui, travaillant pendant un certain nombre de jours et un certain nombre d'heures par jour, sera nécessaire pour creuser un fbsséj etc.? toujours même solution : seulement la question serait à plus forte raison indéterminée. En effet, après la préparation préliminaire , j'aurais cette règle de trois :

1 700»- : siSao»- : : 1 4400^°" î X «i""* X s^"^.

Après avoir trouvé dans son intégrité le 4* terme , qui est 2134. 11/17, je choisirais, tant pour les hommes que pour les jours, deux nombres arbitraires, mais tels que leur produit n'égalât pas le 4* trouvé. Puis , je diviserais ce même 4* terme par .le produit des hommes par les jours , et le quotient serait ie nombre d'heures : de sorte que j'aurais trouvé par ceaioyen les trois choses demandées» savi^ : les hommes^ les jours et les heures.

De la règle conjfointe.

aa3. La règle cœ^oinU, opminieleiiiot même VaniKMioe, consiste à (ormer^ de plusienis rapports donnés , nn rapport composé qui réunit plusieurs règles de trois en une seule. Avant d'en venir K la démonstration, nous allons en exposer la formule génériquç:

1° Le premier antécédent doit être de même espèce que cette à réduire ;

2® Chaque conséquent doit exprimer la valeur de son antécédent;

3^ Chaque antécédent doit être de même espèce que le conséquent dont il est précédé;

4^ Ënfin, le dernier conséquent doit écre de Tes* pèce en laquelle on veut réduire ;

Alors le produit de tous les antécédents repr^n* tera le premier terme de la règle de trois définitive; le produit de tous les conséquents, le second terme j et la quantité à réduire , le troisième.

2124* Supposé que 3 Jranfis vaillent 55 deniers de gros ' Amsterdam ;

Que 65 demers degros4*Jlmsterdam tfaiUent Sa um. lubs de Hambourg ;

Que 2 16 sous lubs de Hamèourg vaiUmt %io deniers sterling Angleterre ;

On demande condfien iv^o francs vaudront de deniers sterling?

Disposition des ternies*

3 fjcancs: 55^degr.' \ 65^cîegr.: 3 îi<^lubs. | :: lao francs :x 21 6»^ lubs ; 240^ sterl. j

42120 : 4^^400:: iaofr,:«=:tae3-r^^€ter.R]iv**-'

Démonstration.

£n effet, puisque 3 francs valent 55 deniers de * gros, I hzskc vaut le j de 55 deniers de gros , ou -^de deniers de gros (94))

Puisque 65 deniers de gros Talent 33 sous lubs ,

I tlcnier de gros vaut le jj de 32 sous lubs , ou 77 de sou lub (()4) ;

Puisque 216 sous lubs valent 240 deniers sterling, i*sou lub vaut de 240 deniers sterling, ou les 7I7 de dénier sterling (94) : '

Un franc vaut donc les des 77 des ffj d'un denier sterling j et ce rapport composé ('onslste clans la multiplication de 55 par 82 et 240 d une part, et dans celle de 3 par 65 et 216 de lautre (x8o), c'est-à-dire dans le produit.de tous Jes conséquents et de tous les an-

técëdents ; ce qui me donne V»'AV - pour le rapport coiTiposé du franc au denier sterling.

Gela posé y il est évident que pour savoir combien lao francs valent de (deniers sterling , il ne s*agit que de multiplier ce rapport par lao ; c est-à-dire de mul- * tiptier 4^^400 (produit de tous les conséquents) par 1 20, et d en diviser le produit 5o688ooo par 42 120 (produit de tous les antécédents ) ; procédé qui était l'objet de la démonstration, et qui n'est littéralement que le< principe fondamental, ezposë plus haut , mis en action.

daS. Avant de procéder à la solution d'une conjointe , il hxA avoir soin de simplifier les rapports autant que possible, en prenant des parties égales sur les antécédents et les conséquents , ce qui ne change point la valeur de ces rapports ; et pour en £ûre l'application à cet exemple même, si mon unique objet n'eût été d'en venir tout dé suite à la démonstra* tion , j'aurais préparé la règle de trois définitive de la manière suivante :

i3: 4 ^2;! 120 francs ixden. sterl.

ZlfS 9.7: Ho Z^] ■ -

35i : 35ao :: 120 francs: i2o3. 49/117 den. stcrl.

J'aurais divisé par 3 le premier antécédent 3 et le dernier conséquent 240, et après les avoir barrés, j*7 aurais substitué i et 80.

J'aurais divisé par 5 le premier conséquent 55 et le second antécédent 65 , que j'aurais remplacés dé même par 11 et par i3.

J'aurais encore divisé par 8 le second conséquent ^ et le dernier antécédent 216 , et je leur aurais substitué 4 et 27.

Par ce moyen j'aurais eu pour rapport composé du

Imnc au denier sterling expression plus simple que la précédente.

Que si quelqu'un de ces nouveaux antécédents eût eu quelque diviseur commun avec le 3^ terme lao , en yertu du principe déjà établi (178), j'aurais divisé ces deux quantités par ce nombre même.

On Toity d'après cela , que peu importe Tordre dans lequel on prenne ces parties égales. Et l'on peut faire subir à un terme quelconque tel nombre de réductions qu'on voudra , pourvu qu on opère les mêmes réductions .dans les termes delà colonne opposée, n'importe de quelle manière; car cela revient à les décomposer en fiicteurs égaux, et à supprimer ensuite les facteurs communs.

Mais il faut se rappeler que ces parties égales doivent^ être prises dans la colonne des antécédents et dans celle des conséquents, ou bien dans celle des antécédents et dans le y terme de la conjointe, maïs jamais dans la colonne des conséquents et ledit 3* terme ; attendu que celui-ci ne peut former de rapport qu'avec les antécédents (172).

La preuve de la conjointe a lieu par une autre opération semblable, dans laquelle on inverse les rapports primitifii.

. a* EXEMPLE, ^ tBEVAII* DB VBBOTB A.V VAiciSBHT.

aa6. Lesdonnëes étant les mémesquedans l'exemple

précédent, on demande combien iao3 deniers sterling valent de francs.^

d. steil. 2:40 (c) ^(e)i:ziiS (d) 24 s. lobs, s. lubs. :^z{a) i: 65d.degr.

d.degr. ^^(6) i: ^(e) i franc.

:: l«e^. 4^/i'fr7=:i4oaoo(«)

i3:* i56o ::t:«s=n^iijr saoliaDcs.

Je commence par réduire le 3* terme iao5 -^V ^^^^ en 117*', ce qui le change en i4o8oo; je porte le <lénominateur wj dans la colonne des antécédents pour rétablir le rapport | et je simplifie ensuite le plus possible Ias autres termes , entre lesquels j'ai intercale des lettres italiques y afin quen comparant . ceux qui se trouvent accompagnés de la même lettre , on pût suivre ia filière de ces réductions successives.

^27. Quand quelqu'un des termes se trouve accompagné de fractions , on commence par l'effacer; on le réduit ensuite en fractions , et on- porte le dénominateur dans la colonne opposée , comme on le voit dans le dernier exemple , et dans l'exemple suivant : *

3*^ SXSMPLB.

Conjointe proposée, Co^f ointe préparée, 5.3/7:11 ) ..^5.^ -^•y^ 38:ii .Hr ) .

3i3o:7546::a5:jr.

Tel est, encore une fois, le principe générique déjà prescrit (aaS) relativement aux conjointes mâ* lées de fractions , et que nous Tenons d'appliquer à

ce dernier exemple ; mais quand on est un peu profond dans le calcul, on peut souvent éviter la longueur qu'il entraîne, en multipliant tout simplement entre eiix les termes tek qu'ils sont (89). Ce dernier cas suppose cependant que les démonstrations de ces fractions divisent exactement les nombres par lesquels on multiplie. ^

De la règle d'oMiage.

aa8« Il 7 « dçux espèces de règles à' alliage ^ Time

èl la plus simple est celle où , après avoir mêlé une certaine quantité de choses de dififëreiites valeurs ou de différents prix, on cherche une valeur ou un prix

moyen; l'autre, bien plus compliquée, est celle où l'on cherche dans quel rapport doit s'opérer ce mélange pour obtenir un résultat d'une valeur ou d'un prix déterminé. Quant à la première espèce, ^un seul 'exemple suffira pour mettre dans 'le cas de résoudre toutes les questions de ce genre.

BXBMPLB.

. aap. Un marchand veut mélanger des vins de diffé'tents prixy sawnr: 54 bouteilles a Sa sous y 60 boti» UUie» à 3o souSf 70 bouUiUes à a5 sous^ et 80 àautaiUes à ai sous : on dânande à quel prix il doit vendre les

iouteilles résultant de ce mélange ?

54bout^à 3a<^ =1728^

do id. à 3o ^ =1800

70 id. à 25 =1750 |6958 |a64.

80 id. à 21 =1680 ; «6^4^. RÉF«%

a64boul^à a6<^4^^=695837

Après avoir disposé l'opération , comme on le voit ci-dessus, et multiplié les quantités partielles de bou« teilles par leurs prix respectifii , j'additionne ces divers produits, et j'en divise la somme 6958 par a64, nombre total des bouteilles. Le quotient 26^ 4^Tr en résulte , est le prix moyen cherché.

La raison de cette méthode est fondée sur ce que la somme des bouteUlés est à une èouteUle de mélange, comme la somme de leur prix est au pn» moyen cherché, cWt-à-dirê que

a64u: :6958:^; ce qui fournit la règle générale suivante ;

a3o. Pour àifàir la valeur ou le prix mojrea pht^ sieurs choses de même etpèee, mais de valeur ou de prix d^érents , il Joui muU^ùer chaque quantité par sa valeur ou son prix respectif, additionner ces divers i vroduits , et en diviser la somme par celle de toutes les quantités qui entrent dans le mélange.

On vérifié le résultat en prouvant , comme Topé* ratioii même Tindiqae , a64 bouteilles *de vin , À Q&f 4^ , donnent Ja même valeur que la somme des valeurs particulières de 54 bouteilles à 32 sous , de 6o bouteilles à 3o sous, etc., etc.

De la r^le daJUage qui a pour objet t élévation et la réduction des degrés pour les eauX'de-vie.

a3i. Nota, Avant d'entrer en matière , voici quelquel connaissances pratiques qu^il^est bon de ne pas ignorer*

Dénomination des eaux-^de^vie et des esprits^

IÏAUX-0£-yi£.

La preuve de Hollande porte dè 19 à 20 degrés»

Le 5/6 porte de 21 7 à 22 — -