Construire l'échelle --- dans un emplacement de
à 13 centimètres, en adoptant le mètre pour unité de mesure. Le décitnétre étant la plus grande partie aliquote du mètre
contenue dans l'emplacement désigné; l'unité graphique —
» 1 ok o " 1 vaudra '--r- ou -^ qui ost assez considérable pour que, dans
une description régulière , ies dixièmes en soient marqués sur l'échelle, dont l'ordre ternaire comprendra, alors, les dixaines, unités et dixièmes du mètre.
Cherchons io{ = -- ft = --hieu portant (/i^. 29) un déci-
mètre de b en x» et, sur la ligne quelconque si?, 5 fois une |)artie arbitraire p; par le point r, tel quei^ = 2|>, tirons
yo parallèle à vx, et bo vaudra -^k ou lo/.
Après avoir tracé parallément à Ba?,1es lignes équidistantes du réseau dé l'échelle, § 87; on portera, à droite de 0, la longueur 10 1 autant de fois qu'elle pourra être contenue sur ox, pour mener des transversales parallèles entre elles, parles points o, 10, 20....; on tirera la diagonale dio, qui déterminera les longueurs /, 0/, 3/, etc., dont on se servira pour marquer, de o en b, les points de division i, 2, 3,. .. 9 ; on fera
dc=:=l, et la nouvelle transversale oc procurera —, — , —....;
enfin, les parallèles é co, condi^ites par les points 1, 2, 3, •.•9,
56 INSTiUJAiBNTS ET PROCÉDÉS GRAPHIQUE»
termineront Téchelle dont Tes numéros seront écrits; /de deux-en-deux, ou de trois«-en-lrois, sur. les. prolongements des lignes qu'ils doivent désigner. Le mot métré , placé à c6té de Torigne o, rappellera l'unité de mesure employée. On voit qu'il suffira de donner é cette échelle Tordre ter* naire des centaines, dixaines et unités, pour qu'elle devienne
celle du -- — ; ce qui consistera à remplacer les numéros aSoo
lo, ao... par loo, ^loo...; à écrire lo, 20, 3o,...9o, au lieu de I, 2, 3,..9, et enfin 1, 2, 3,..* à la place de 0,1, o,a, o,3.... Lorsque les millimétrés seront marqués sur le décimètre employé, on portera immédiatement on= ioi = 4o millim. et c^=:{=4 millimétrés.
10&. Construire Téchelle , dans un emplacement de
lOOOO
6 centimètres, le mètre étant l'unité de mesure. La plus grande partie aliquote k est ici le demi^déeimiire,
l vaudra ou —- , lol = --, 100/ = --.; et l'ordre ter-
10000 5oo 5o 5
naire de l'échelle comprendra les centaines, dixaines et unités de mètre* Pour obtenir 100 1 : après avoir tracé le réseau décimal ()e
l'échelle (/^. 30), je prends Ra;=Ei =;= — décimètre; sur bi^ }e porte 5 fois une partie quelconque p, et, par le point y tel
que y^:z=zp, je mène yi parallèle à vx : to vaudra -=■ ou
100 f que je porte de b en â? autant qu'il se pourra, pour déterminer sur en, par des transversales parallèles , les points 0, 100^ 300, 3oo,..,. ; tirant ensuite fw, j'aurai 10/, 20 1,
3ol
La dixaine étant trop petite pour être isolément transportée; j'en marquerai les places sur les deux parallèles extrêmes du réseau, au moyen des longeurs 110, 120, i3o, etc., portées A gauche de la transversale n.« 100, lesquelles longueurs résulteront du trapèze nagh ; puis je tracerai eo et ses neuf parallèles ayant pour numéros 10, 20, 3o..t. 90, écrits seulement de trois en trois,' pour éviter la confusion ; le pe-
LBS 'BCBBLtBfl* 57
tit triangle eoi fournira, d'ailleurs, les unités qu'il suffira de numéroter de deux en deux.
Cette échelle deviendra celle du — — ; en lui donnant pour
lOOO
ordre ternaire les dixaines, unités et dixièmes du mètre. Elle est aussi l'échelle générale dont nous avons montré l'avantage pour les descriptions régulières, § 10 page 4.
Si le demi-déciroèlre, porté de b en a^ était subdivisé en millimètres, on prendrait aussitôt lool = lo millimètres et iol=cd=^i millimètre.
105. Quand les subdivisions ordinair$$ de l'unité de me sure ne suivront pas l'ordre décimal, il sera souvent utile que l'échelle graphique reproduise nominativement ces subdivisions, en adoptant l'ordre ternaire qui existe entre elles. Ainsi, une échelle de dixmes, ayant la toise pour unité, n'énoncera pas les longueurs en piédê ni pouces ; et, pour don* ner cette nomenclature à l'échelle , il faudra en subordonner la construction aux sous-multiples ordinaires de la toise.
. Alors, une échelle, ajflipt des dixaines de toise pour unités du 3.® ordre, descendra jusqu'aux pieds comme unités du .1.^ ordre ; tandis que , si elle doit avoir des toises pour plus hautes unités , elle descendra jusqu'aux pouces par les diviseurs 6 et 12.
Soit proposé, pour' ei^emple, de conatruire, dana un emplacement de cinq pouces, l'échelle — en subdivisions ordi-
lOO
naires de la toise comme unité de qaesure.
L'ordre ternaire sera composé de toises, pieds et pouces, et
l'échellie contjlf^ndnt ^ 7> — • ^ V^^ grande partifi ali-
quote k étant A pouces, — ou { vaudra & = J^ h; et ,
M loo 5o
pour l'obtenir : sur 9x égalant. 4 pouces (fig^ 31), j'éléye deuif. pafjitf <^ea ^9 , ay , l'une ny eoigenant 9 fo^s une partie arbitraire p, l'autre ^0 contenant (5o<-T-g} ou 4^ fois la même partie ; tirant yv , le point déterminera
Bo = ^^-^ — =:^k = l que le porte sur ox, autant que posxv + By 5o ^ J *- . .
sible, en écrivant les n.^^ i, n, 3,... aux points de division.
^yant donné au réseau de réchelle, autant de zones que l'unité du 2.e ordre renferme d*unités du i.^^, c'est-à-dire douze: je tracerai aussitôt les transversales du 3*® ordre^ et par le point n, qui termine la sicôième zone, je tirerai la diagonale n4 inlerceptant lés longueurs successives
—-, ~, —, ~, -r que j emploierai a marquer les uni- 6 6 6 6 6
tés du 2.e ordre ou pieds, de o en b. Prenant ensuite ed=^ — : les parallèles à co, menées par les numéros du tl,^
ordre, achèveront le tableau-échelle.
On écrira le mot toise à côté du zéro; une accolade, portant le mot fiedsy embrassera les 5 unités du i ^ ordre ; tandis qu'une autre accolade comprendra les pouces, ou unités du i.®"" ordre.
Lorsqu'on sera obligé d'employer la toise et ses subdivisions pour mesurer les longueurs : on composera une échelle
graphique générale des descriptions régulières, avec les mul-
tiples du potnty lequel valant =— — = = — — r:,
imilllni.'
ou' — ^— , sera regardé comme graphiquement négligeable;
en sorte que l'unité de longueur deviendra — -r-.
io3do
Le Yemier,
106. Quand on veut porter sur le papier des distances ou des angles donnés en nombres, ou bien, estimer numériquement des longueurs ou des angles tracés, on les compare à un limbe rectiligne ou circulaire; et l'on apprécie les fractions des dernières parties de ce limbe, au moyen d'une échelle mobile qui porte le nom de son inventeur, le géomètre français Veriiibr.
LB VBRBIlKn. 59
L'usage du vernier s'appuie sur les considérations suivantes :
91 l'on subdivi^ différemment deux lignes, de pareille courbure et de même longueur : les divisions de l'une pourront servir à estimer les fractions des parties de l'autre.
En effet, soient L et v ces deux longueurs {fig. 39 et hO), dont l'une v a été divisée en n, tandis que l'autre l a été partagée en ( n Ijl A: ) ; ou y =znp' et L = ( « 4I Aj j», on a :
np'= {n:fk)p d'où l'on déduit : p' = |> 4I —
œp'=xpj^a^
signifiant que : si les deux longueurs égales t et ▼ sont eu coïncidence, la première graduation de l'une sera distapte
de la première graduation de l'autre, de la quantité |. — ; la réunion des deux premières parties de y différera de la
kn
somme des deux premières parties de L, de la quantité ^I a—,
et ainsi de suite ; enfin, la réunion des x premières parties de Y différera de la somme des x premières parties de l, de la
kn
quantité ^ x -^^ Ainsi, quand le& origines de l et v coïncideront : le numéro a; de y sera distant du numéro x dex, de la quantité 4I x --; savoir : — x — > ou en arriére, lorsque
kp (/(^. 39) L = (n — A)|>: et +«— , ou en avant, lorsque
{fig. 40) L=z(n -^ k) p. Si donc, on fait mouvoir la ligne y jusqu'à ce que son numéro â? coïncide avec le numéro â? de l: l'origine de y se trouvera distante de l'origine de l, de la
60 INSTRUMENTS BT PRO€ÊDBS GRAPHIQUES.
kp quantité + a?— , c'est-à-dire : sera en avance {fig» 41) ou en
kp •
arriére {fig. 42) sur celte dernière ^ de w-^y selon que l vaudra (n — k) p ou (n + k) jp.
Cela posé y imaginons, un limbe , ou ligne indéfinie divisée en parties égales à p {fig. hS), et concevons qu'une longueur v^ comprenant (i» 4I A:) de ces parties^ ait été divisée en n« tellement que ( n Ijl A ) p = np'; on aura œp' :=ixp IÇ.w -^.
Supposons un point / déterminant sur le limbe une fraction de ab, ou de p, qu'il s'agisse d'évaluer.
Soit l.^" np^ = (n — k)p: nous considérerons la graduation a comme l'origine d*une longueur aL comprenant (^ -— ^) p; nous poserons la longueur y de manière que son origine, ou zéro, couvre le point/, et nous remarquerons le numéro xp de y qui coïncidera avec une ligne de division du limbe; en sorte que l'avance de y sur a, ou la distance ay, sera
égale kx -^f et la place du point y aura pour graduation
Si 2.0 np^=i{n •^k)p: on regardera lé point b comme l'origine d'une longueur bh' comprenant {n + k)p; et la distance by, dont j- est en arriére de b* sera représentée par
x' -£9 x' étant le numéro de y coïncidant avec une ligne de din
vision du limbe, et la graduation du point ^ sera fb^^x^ ^\
Le vemier y remplit évidemment le r6le de la languette mobile employée , § 101 page 54 , pour estimer les plus petites parties d'une échelle.
On distinguera donc deux sortea de vemiers : Tun ad^
ditif, provenant de la division, en n, de (n — k) parties du
limbe , et l'autre souêtracttf, résultant de la division , en n,
de (9'+^) de ces parties. Il est facile de voir pourq^qi
e vemier additif est préférée l'autre.
107. Le vernier, obtenu par la division , en n, de (n Ijjl k)
U TBUIIBB. 61
parties du limbe et qui a pour longueur (ftijl A) p, peut se réduire à la longueur f --- ip i j p» sans changer sa partie p'.
Car, de np = {nq;k)p, on lireyp' = ^y 4! ij p ;
et y en remplaçant --- par n', il Tiendrai p' zszp^^JL^^
xp' =âPp 1)1 X '^, d'où résultent évidemment les conclusions
précédentes.
On pourra donc, en définitive, considérer le vemier comme provenant de la division , en n , de ( n— 1) parties du limbe ; et en exposer la théorie de la manière suivante :
108. Le vernier simple se forme en divisant , en n, une longueur l comprenant (a— 1] parties d'un limbe droit ou circulaire : de sorte que, si l'on désigne par p la longueur de la plus petite subdivision de ce limbe» et parp' une partie du vernier y, on aura :
T == np' = (n— 1) p
d'où: P^=P— —
ip' = 2p— -^^
xp' =xp — X—.
Ei, si l'on fait coïncider l'origine, ou zéro , du vernier avec une ligne de division du limbe {fig. 39), l'étendue de ce vernier comprendra (n — 1) parties du limbe et sa graduation n.o 1, sera en arriére d'une division du limbe, de la quantité
^; le n.*2 du vernier sera en arriére d'une division du limbe,
de a-^.*... ; enfin, le numéro x du vernier sera en arriére n
d'une division du limbe, de x^ : en avançant donc cette ligne do division n.^âP, de manière qu'elle coïncide avec la di-
vision Toisine du limbe {fiff. ki), le zéro duvernier aura aussi marché de x — . I)*où l'on conclura Vavance dece zéro sur la
précédente division du limbe : en cherchant le numéro de la graduation du vernier qui coïncidera avec un point de division du limbe , et multipliant ce numéro par — .
fi
Le vernier s'adapte à un limbe droit ou circulaire*: au moyen d'une coulisse qu'arrête une vis de pression s {fig. 44 ou 45) ; et c'est par une vis de rappel s qu'on imprime de très petits mouvements à ce vornier.
109. Soit proposé > pour exemple , de trouver la longueur de la droite ab {fig. 44], en parties du limbe lr : on place, sur l'origine des graduations du limbe une pointe du compas interceptant a5, et on fait glisser le vernier sur le limbe jusqu'à ce que son zéro coïncide avec la seconde pointe du compas. Le nombre des parties entières de lr est indiqué par le numéro de la graduation qui précède immédiatement le zéro du vernier; et la fraction de subdivision est donnée au moyen du numéro du vernier qui coïncide avec un point de division du limbe.
Si donc y le zéro du vernier dépasse la 19.0 graduation du limbe, que ce vernier soit divisé en 4 parties, et que son n.*i coïncide avec une division du limbe: la distance ab
égalera 19P + -J p.
Réciproquement , pour obtenir une ouverture de compas
égale à ^4 p + -;- 1) : on fixera le zéro du vernier en avance
de la ^l^.^ graduation du limbe , de manière à faire coïncider le n." 3 de ce vernier avec une division du limbe.
Quand on aura à estimer l'angle c [p^, 45): on tracera, avec le rayon l'c du limbe l^r', l'arc qui le mesure ; et l'on appréciera la longueur ou la graduation de cet arc, comme nous venons de l'indiquer pour une ligne droite.
110. Si aucune des lignes de division du vernier ne coïncide avec une graduation du limbe : on rencontrera une
LB yBBlflER ^ 63
partie du limbe comprenant deux lignes du vemicr ; et, en supposant que le milieu de cette partie du limbe se confonde avec le milieu de la partie correspondante du vernier^ l'erreur encourue n'excédera pas —, car — — ?-==£.. De
2» a a an
sorte qu'on ajoutera ^ à l'indication donnée par le moindre
des deux numéros du vernier, compris dans la même partie du limbe.- Ce qui fait dire que l'incertitude de lecture due â
un vernier ne dépasse pas la quantité -^.
in
Ce cas àrHve à la figure 45, où les numéros 2 et 3 du vernier tombent dans une seule division du limbe.
111. Applicatiom, Construire un vernier simple qui fasse estimer le tiers d'un millimétré , sur un limbe droit partagé en dcmi-cenlimétres.
égy imilHni.
|)=5,°""'" — =-; d'où n = 7, 5. En prenant n = B,
an 3 ceiillm.
longueur du vernier ='jp= 3, 5^ que l'on divisera en 8. Quelle sera la plus petite graduation d'un limbe circulaire, et la longueur du vernier contenant 15 parties, pour que l'incertitude de lecture ne dépasse pas le double-centigrade?
— = o«,02, n=i5; donc p=o*,6o réduit à o*,5o, 2n
Un limbe circulaire étant divisé en doubles-grades , et le vernier simple contenant 24 parties: trouver les numéros du vernier et du limbe, qui devront coïncider pour marquer la graduation 133^79.
p=^i», n = i^', 1 3 3*, 79 =66 jî -f" **>79 • '® ^^^o du vernier étant, d'abord, sur le rt.*» 66 du limbe, il restera à
former i^,nq=x^; on tirera a? = 21,48 ou 21, 5. Ainsi,
on mettra les n.»' 21 et 22 du vernier dans l'intervalle des graduations 87 et 88 du limbe: de manière que le n.** 21 du vernier dépasse le n." 87 du limbe, autant que le n.* 88 du limbe dépassera le 22,® du vernier.
