CHAPITRE 1II.« - INSTRUMENTS ANGULAIRES

OU GONIOMÈTRES.

L'Alidade.

158. La mesure d'un angle consiste à reconnaître l'espace circulaire que parcourt une direction visuelle, en passant de l'un des côtés de cet angle à l'autre.

L'ALiDAnB, qui sert à repérer matériellement une direction ' en même temps qu'on la vi^e , se compose d'une régie ou base AB (fig, 68) surmontée de deux pinnules ra, vb propres à diriger un rayon visuel. On conserve ces pinnules par des cadres ar, bv^ et on les renferme aussi dans un tuyau, ou une lunette rtv ( fig. 69), rendant les points de mire plus apparents ; il suffit, quelquefois, de diriger le rayon visuel avec l'arôte rv d'une régie épaisse ratb (fig. 68), à laquelle on supplée, au besoin, par un morceau de papier, deux fois plié pour former la ligne visuelle rv et la ligne de foi ab.

Une alidade est dite plongeante, lorsque la longueur des pinnules permet d'incliner le rayon visuel par rapport à la base, ou que le tuyau, renfermant les pinnules, peut tourner sur une charnière p qui surmonte cette base ab (fig. 70, 82).

M MESCRC DS8 AJSGLCS.

L'odre vitmêl d'une alidade est donné par les piimates ; sa ligme de foi est un côté «6 de sa base. Dans les observations délicates 9 l'extrémité de la ligne de foi sert d'origine à nn ▼ernier, destiné à apprécier les fractions des plus petites di* visions du limbe sur lequel marque cette ligne» $ i€8 page 61.

159. Selon que l'on désire l'angle de deux rayons visuels» ou bien ia projection de cet angle sur on plan désigné: on appuie l'alidade sur le plan dudît angle» ou sur celui de pnn jêction. Dans le premier cas» il est nécessaire que l'axe visuel de l'alidade soit parallèle au plan de sa base; et» dans le second » il suffit que cet axe ne sorte pas d'un plan perpendiculaire à la base » dans toutes les plongées de son tuyau.

D'où il résulte que: Taxe visuel d'une alidade plongeante» la charnière de son tuyau et le plan de sa base sont assujettis à des posititions relatives » qu'il importe d'établir ou de vérifier avant d'employer cet instrument.

160. Et d'abord» pour rendre l'axe visuel d'une alidade' parallèle à sa base : on a recours à un tuyau visuel d'épreuve^ en forme de parallélipipéde» ou de cylindre emmanché dans deux collets rectangulaires et égaux oc» hd {fy. 72); le micromètre de ce tuyau se meut avec une vis n » qui permet de régler l'axe visuel rv parallèlement à la base ah, par ie procédé suivant : .

On pose » sur un plateau ax» les faces c et ^ du tuyau d'é* preuve» dont on dirige Taxe visuel rv sur un point éloigné^ pais» on tourne l'instrument pour l'appuyer par les faces a et b des collets ; et si l'axe visuel rencontre alors le précédent point de mire : il se trouvera sensiblement parallèle au plateau ax et, pai" conséquent » aux faces a, 6» e, d. Mais» quand la nouvelle position de Taxe visuel rv' s'écartera du point de mire : on lui fera parcourir la moitié apparente de cet écart » au moyen du bouton micrométrique n ; pour recommencer» ensuite» l'expéiience avec l'axe visuel modifié: en s'adressant à un autre point de direction » ou en cônser^ vaut le premier poiolt de mire si le plateauax peut avoir un

L*ALIDAOB. 95

léger mouvement de bascule qaî raméoe m" à ce point. Et Ton arrivera, bientôt, à un axe visuel rencontrant le même point de mire , dans les deax positions renversées de son tuyau.

Si, maintenant y on donne le même appni «^ au tuyau d'épreuve et à la base d'une alidade, et qu'on amène l'axe visuel de cette alidade sur un point éloi§$U visé par le tuyau d'épreuve: au moyen d'une vis t communiquant au mîcro-^ mètre {fig*^9), ou en inclinant convenablement le tuyau d'alidade {fy* 70, 83) que l'on fixera , ensuite, à son montant en serrant la vis p ; on aura établi l'axe visuel de ce tuyau parallèlement au plateau d'appui , et, par conséquttit^ è la base ab de l'alidade.

L'axe visuel d'un tuyau cylindrique pourra ^ aussi , être réglé parallèlement à son appui : en le faisant tourner dans ses collets que l'on ne sera pas, alors, obligé de renverser,

Sm(/î^, 107).

1^1. Pour que l'axe visuel d'une alidade plongeante dé-> crive un plan, pendant la rotation du tuyau autour de sa cliarniérey il faut qu'il soit perpendiculaire à cette dernière. Autrement , tous les points dudit axe décrivant des arcs dans des plans perpendiculaires à la charnière , cet axe engendrerait une surface courbe, connue sous le nom d'fayperbolofde continu.

U sera facile d'établir l'axe visuel d'une alidade perpendiculairement à h cbarnière de son tuyau, par de légers déplacements de l'objectif de ce tuyau.

En effet, je pose l'alidade sur un plateau, et, dirigeant l'axe visuel RY {fig. 73) sur un point éloigné s, je marque la direction XN de la ligne de foi ab. Je retourne, ensuite, Pali'dade bout-pour-bout sur cette direction, c'est-à^lire que j'en appuie la ligne de foi de l'autre c6té de xir, en dV; ht vient en vr^ et , pour viser le «ème lien de l'espace , je ramène^ par une deiDf-révoiution du tuyau snr'sa charmére, lie|)oinft r «nr': e priend alors te ^position t>' et l'axe visuel rv, devrnu r't?', se Irouve «laintenaïH dirigé sur on lien s^

96 MBSURB DES ANGLBS.

différeot de s. L'inclinaison rw' de rv sur le plan vv'y perpendiculaire à la charnière pq, occasionnera, par le retournement de l'alidade, une déviation angulaire rov' double de rvv^. On détruira donc celle-ci : en faisant mouvoir l'objectif v'f de manière à diviser l'espace ss^ en deux parties paraissant égales, ce qui donne à l'axe visuel la position r'r. Et, pour s'assurer si cette correction est convenable, on dirigera le nouvel axe visuel sur le point s déjà visé « on tra cera, comme primitivement, la ligne de foi sur laquelle on retournera la base de l'alidade, et l'on ramènera, par une demi-révolution du tuyau, l'axe visuel sur s : la coïncidence ayant lieu , rr' n'aura pas quitté le plan perpendiculaire à l'axe de rotation ; sinon , on dérangera , de nouveau , l'objectif qu'on vérifiera par un autre retournement, jusqu'à ce que l'axe visuel soit réglé.

162. Le plan de plongée de l'axe visuel d'une alidade sera perpendiculaire à sa base: quand la charnière du tuyau se trouvera parallèle à cette base.

Pour vérifier cette disposition, on s'assurera d'abord si l'axe visuel est perpendiculaire à la charnière; puis, on appuiera lalidade sur un plateau dressé horizontalement, § 272. On dirigera , ensuite , l'axe visuel sur une verticale, telle qu'un peuplier ou l'arête d'un bâtiment, et l'on donnera à cet axe visuel toutes les plongées possibles ; le plan qu'il décrira sera vertical et, par conséquent, perpendiculaire au plateau ainsi qu*â la base de l'alidade : quand, dans sa rotation, ledit axe visuel rencontrera constamment la verticale de mire. Dans le cas contraire, il faudra modifier l'assemblage de la charnière sur le montant , ou celui^du montant sur la base.

163. Le soin, que l'on doit apporter à la vérification ou au perfectionnement d'une alidade, dépendant de la précision avec laquelle on veut marquer les directions que l'on vise; il sera utile de connaître le plus ou moins d'importance des recommandations précédentes, et, pour cela, nous chercherons l'erreur d'observation produite :

l'audadë. 97

1.0 Par le défaut de parallélisme de Taxe visuel d'une alidade avec le plan de sa base, lorsque son tuyau y sera attaché,

S.<> Par le défaut de perpendicularité de Taxe visuel sur la charnière d'un tuyau plongeant.

3.* Par le non-parallélisme de cette charnière avec le plan de la base.

Le premier défaut de parallélisme inftuera sur robsèrvation d'un angle : en ce que , son plan n'étant pas parallèle à celui du limbe, il faudra corriger la graduation donnée sur ce limbe, pour reproduire celle de l'angle des rayons visuels. Cependant , comme cette correction sera souvent très petite, â cause du peu d*étendue du micromètre des tuyaux visuels, on pourra la négliger dans beaucoup de circonstances , et se dispenser de recourir au tuyau d'épreuve.

16{k. Pour trouver Terreur produite par la non-perpendiculaire de l'axe visuel d'une alidade plongeante sur la charnière de son tuyau : prenons pour plan de projection, celui conduit suivant cette charnière ay^ perpendiculairement au plan un du micromètre (fig. 1k) ou de la face de l'objectif {fig. 75); et soient abc la section du tuyau par ce plan, i; l'objectif et r l'oculaire. En inclinant Taxe visuel sur le plan de projection, de la quantité g'og = t , le point r décrira un arc gg' dans le plan rq, le point v décrira l'arc ss' dans le plan/jpy l'oculaire se projettera enr' et l'objectif en v'; r'v', qui sera la projection de la nouvelle position de l'axe visuel, déviera de rt?, d'une quantité angulaire &> représentant l'erreur de projection due â la plongée g'og. Appelons a la distance fv de l'oculaire au plan du micromètre ou de l'objectif Ufiy et a la distance rf.

L'angle de r'v' avec rv est la différence des inclinaisons de ces droites sur /p, c'est-à-dire; w = (r't?'«— rt?/0. Or,

igr^v'e = — , r^e z=irf^= a , v'e= s't:=zg'g' cos i= a cost.

Ainsi, lgr'i?'« = -- :, d'ailleurs, {a rvf =:^ J- = —'y

A eus t vf A

96 mesuhe dbs angles.

j , ACOSt A Aa(l*— GOSi)

donc, tg« = i—= ' , ;.

, a* o* + A*cosi

Celte formule, qui est indépendante de la position de la charnière, montre que tù diminuera avec le rapport -^, pour

certaines limites de i qu'il importe, alors, de déterminer.

A cet effet, supposons que w devienne w' quand a devient

A + ^y a étant invariable, et exprimons que tgu' est plus

petit que tgcA:

T^ (A + Ai)a(i— cos») ^Aa(i— cost)

Nous aurons i , . ' . , ,, r <C~ — ' et aorés

a» + (A + *)«cosi ^a« + A»cosi '^'' ^'P^®^

réductions faites: cosC^ —

Ainsi, w' sera moindre que ta tant que t sera inférieur à l'angle, dont le cosinus vaut ^ —1— et, à plus forte

taiflon , — ; condition d'autant mieux remplie que a sera

plus grand par rapport à a.

En supposant d'ailleurs que , dans un tuyau visuel , la plus petite valeur de a soit aa, on aura pour limite: cost>-7^, sin— :<— ou f<8^«. Et comme, dans les

observations géodésiques, il ne se présente jamais de différence de plongées plus grande que 8î«, on conclura que les erreurs d'observation w, w^.., provenant des diverses plongées d'une alidade non réglée, seront d'autant moindres que Toculaire et le micromètre du tuyau visuel sont plus éloignés l'un de l'autre.

165. Nous aurons la limite des plongées t, pojir lesquelles it ne sera pas nécessaire de régler Taxe visuel d'une alidade, perpendiculairement à sa charnière : en exprimant que l'angle w est inférieur à l'incertitude de lecture y' = — ' § 1^0 page 63, sur le limbe on marque la ligne

L*ALIDAPB* 09

de foU c'egi-à-dire : par cosî^— V-: — ^, ttansformable en sin* — ^ —i—: H — — et encore.

2 2(Algf+a) ^ ** 63ti4

§ 54> page 25, et mettons g au lien de — ; H yiendim :

i^in a = o^,ooiy A=o",o3; on aura jz = i5, sin* — ^

2 ^2(jï + 6364) Supposons y pour premier exemple, que Ton emploie une alidade à tuyau (fig. 10), dont les facettes aient on centimètre de large ; en mettant l'oculaire vers le milieu de sa fii-^ cette, la plus grande déviation possible fournira a=o"*yOo5: supposons, aussi, que le tuyau soît leng de trois déeimélres,

ou A = o" ,3, alors ^ =z=£o; et, en substituant dans la der-'

oiére expression, il vient: sin'— ^ — -, log.sin — ^8,83479»

^<4S35et i<gi.

Deuxième exemple: soit une alidade à lunette [fig. 82)

85ÔV

log. sin — ^ 8,53529, — ^ 28, 1 8 et t < 4'» 36* 2 2

Ainsi: toute plongée, inférieure à g* dans le premier exemple et à 5> dans le deuxième, ne produira pas d'erreur sensible dans la projection, à i près, d'une direction visée ; et , comme les observations gèodésiques, qui n'admettent pas d'incertitude angulaire excédant 1', se font A des distances assez grandes pour que les différences de plongées du tuyau visuel ne dépassent pas 5*^, il s'ensuit que l'on pourra souvent omettre de régler l'axe visuel d'une alidade, sans qu'il en résulte d'erreur appréciable.

S'il s'agit d'opérations graphiques, nous déterminerons l'angle 7 à négliger, quand la distance visée n correspondra à la plus grande diniension d de la feuille, ce

100 MESURE DBS AN6LBS.

qui donnera pour tangente à cet angle ; soit (^=: o^^^S,

lOOOO

tg7 = - — et f>= i\3 qui se rapportera à l'usage de l'une

ou de l'autre des alidades précédentes.

D'où il suit que, dans les observations géodésiques, il sera inutile de rendre l'axe visuel d'une alidade perpendiculaire à la charnière de son tuyau, en sorte que les fils rétîculaires pourront être fixés audit tuyau.

166. Cherchons maintenant l'erreur d*observation , pro* duite par le non-parallélisme de la charnière d'une alidade plongeante sur le plan de sa base.

. Nous imaginerons, comme au § 162, que, la base de l'alidade étant posée sur un plateau horizontal, on fasse rencontrer successivement tous les points d'une verticale de mire par l'axe visuel ; la déviation verticale du plan de rotation de cette ligne nous obligera de mouvoir, à chaque plongée, la base de l'alidade dont la ligne de foi indiquera les déplacements horizontaux de l'axe visuel.

Soit pris pour plan horizontal de projection {fig. 76), celui qui contient la position horizontale rv de l'axe visuel , et désignons par tp et ed les projections horizontale et verticale de la charnière; va^ perpendiculaire à ed, sera la trace verticale du plan de rotation, tandis que rv en sera la trace horizontale. Pendant les plongées du tuyau, le point I décrira , autour du point dont les projections sont b et p y une circonférence de rayon vb se projetant horizontalement selon l'ellipse tfi'y qui a pour demi -axes principaux : pf = vby et tp projection de vb. Les projections hôrisçontales des positions de l'axe visuel seront toutes tangentes à l'ellipse tfi'; l'une quelconque r'a^ fera, avec la position primitive rv, l'angle d'erreur a'cv qu'il faut déterminer.

ca" est la nouvelle position de l'axe visuel dans le plan rva rabattu, t'' est le rabattement de t\ et. en prenant t"v"=tv, tV:=:tr, ce qui revient à faire et?" =<?«, cr" = €r; v' etr'

l'alidade. 101

seront les projections horizontales des nouvelles positions

de l'objectif et de Toculaire.

Appelons k l'inclinaison de la charnière ed sur l'horizon,

ou la déviation verticale du plan de rotation » x Tangle a'ev,

et y l'inclinaison a"ev donnée à l'axe visuel sur sa position

horizontale : les triangles a'ev, a'va, a"ev fournissent :

• cv i a'v . a"v

-7- = , — =8inK. — = tgy,

a'v if^x av cv ^

et ces trois équations multipliées entre elles donnent :

tgâ; = sin K tgy.

L'angle x augmente donc en même temps que y, et devient appréciable pour de très petites plongées du toyau visuel ; en sorte que la moindre inclinaison de la charnière d'une alidade, sur le plan de sa base, occasionnera de graves erreurs dans les observations.

167. Pour rendre cette conclusion sensible par un exem«> pie; déterminons l'inclinaison k' correspondante à une valeur de a; qui ne peut être appréciée sur un limbe, dans les limites de plongées du § 165. Soit â? = 5' répondant à une longueur

graphique de i3 centimètres C>), et prenons y = 5*, nous au-

tir 5* rons: sin k'=-s ^ log. sinK*= 799991 1 et k ==64', qu'on

ig o

i* 5* I aurait trouvé immédiatement en écrivant: k — == — = —

et — = -- —

On voit donc que, avec une très petite plongée de l'axe vi* suel, la charnière du tuyau ne pourrait être inclinée sur le plan de la règle, de plus de 64 centigrades, sans occasionner une erreur appréciable numériquement ou graphiquement.

Ainsi , il faut et il suffit , pour qu'une alidade plongeante soit bonne , que la charnière de son tuyau visuel soit parallèle à sa base.

(1) La quantité angulaire, inappréciable graphiquement à ane distance

i/, est donnée par tg»=: •; si a? =5', rf= ^,=o",ia7.

iooo<m/ lOOUOtgS '

102 M^S^mS 0£S ANGLES.

LES GCfniOMETRBS SIUPLES.

Généralités.

168. On mesure tm angle: en déterminant Tespace décrit par la ligno de foi d'une alidade, quand son axe visuel a passé de Tiin des côtés de l'angle à l'autre ; et l'on recon-* naîtra cet espace sur un limbe circulaire , paria di£Eérencê -des arc^ séparant un rayon fisoe des positions successivement occupées par la ligne de foi de L'alidade.

Tout instrument angulaire , ou goniomètre , contiendra donc une plaque pleine ou é vidée [fig. Tly 78, 82, 86, 87) portant un limbe circulaire, numéroté de zéro à quatre tjroiis, dont le centre sertira de pivot à la base d'une alidade. Cette plaque sera montée sur un pied, de manière à s'établir dans un plan quelconque et à tourner dans ce plan.

169. La ligne fixe, destinée à comparer les positions de Talidade « pouvant faire corps avec le limbe ou en être séparée } il s'ensuit que l'alidade pourra se mouvoir indépendamment du limbe ou y être attachée. Dans le premier cas, le limbe restera immobile pendant le mouvement de l'alidade, et son rayon zéro servira de repère. En second lieu, ce sera par le déplacement du limbe , devenu base même de l'alidade, que s'exécutera Tobservation angulaire; et alors, l'a- Udade aura pour ligne de foi le rayon zérq du limbe. Ce zéro sera donc, dans toutes circonstances, l'origine des arcs séparant le rayon fixe, de chaque position prise par la ligne de foi de l'alidade.

C'est pourquoi , l'on dislingue deux espèces de goniomètres: les uns n limbe fixe {fig. 78), le repère étant le rayon zéro du limbe et l'alidade rvb en étant séparée ; d'autres à limbe mobile (fig. 87), le repère fixe eg étant isolé du limbe

GÉNÉRALITÉS SUR LES aONlOMBTRBS. i03

que Ttlidade mwo est attachée à c^ limbe » en em* ployanl son rayan zéro ce pour ligne de foi.

170* VMe^d'inx goniomètre marque l'espace parcouru psr la ligaie de foi de l'alidade; il appartient 4 celte ligne même dans le goniomètre à limbe fixe, et au repère fixe dans le gooiOHiètre à limbe mobile ^ lïl» DdBi goniomètre sera mi siaiùm : quand on pourm ac * complir la mesure 4'ttn angle par les seuls mouv^ewents de son oae Yisuel rendu, avant tout, parallèle au limbe, aoi* vont rexpévience du $ 160 page 94-. Ct$tle pose en station ccmsisle : 1.* d menr^ m pUwê rinstrument , en étabUssant le centre et le pian du limbe au sommet et au plan de l'angle ; 2»^ à ééclmer le goniométifë, ou assujettir son repère à la titteetioo fixe qu'il devra conserver pendant l'obsiervation.

172. Dammr un covp, d'^lidadA, suivant un alignement: c'est, le goniomètre étant e» station, diriger Taxe visuel de l'alidade sur^ cet alignement, au moyen dç la., par* tie mobile dn goniomètre , et reconnaître la graduation de l'index, qui termine alors le rayon commun è la partie fiixe et à la partie mobile de l'instraroent. Par suite, l'amplitude d'un angle vaudra la différence des graduations propres ai^x oûups d'alidade donnés swr ses côtés, avec la même déclinaison ;cett'e mesure encourra donc une erreur de lecture doublé de celle du ^coiip d'alidade.

173. Dans l'usage du goniomètre à limbe fixe : l'amplitude de chaque coup d'alidade, ou l'arc indiquant la position de la ligne de foi de l'alidade relativement au repère du goniomètre, après toute direction donnée à son axe visuel, a évidemment le cens de la numération du limbe vu par sa partie concave; les angles, obtenus par la différence d'inclinaisons de même sens, § 51 page 22, auront donc, aussi, le sens de la numération du goniomètre à limbe fixe; c'est-à-dire que : les numéros du limbe augmentant de droite â gauche (fig. 78], la graduation à soustraire appartiendra au coop d'alidade sur le côté droit désigné, alors, comme premier côté de l'angle, pendant que le côté gamhe en sera le eecond côté.

174. L'emploi du goniomètre à limbe mobile rend le sens de Tare , qui mesure chaque coup d'alidade^ inverse à la numération du limbe vu par sa partie concave: parce que» supposant â cette numération le sens de gauche à droite {fig. 87), la graduation g, indiquée par le repère fixe après une direction imposée à Taxe visuel ef, sera rinclinaison, dans le sens (gauche à droite) de numération du limbe, de ce repère sur le rayon zéro qui est la ligne de foi de Talidade, § 169 ; celte graduation g mesurera donc l'inclinaison de la ligne de foi sur le rayon fixe, dans le sens (droite à gauche) inverse à la numération du limbe. Conséquemment, les angles, obtenus par la différence des coups d'alidade, auront un sens inverse à la numération du goniomètre à limbe mobile; c'est-â-dire que , dans la numération de gauche â droite^ )e côté droit sera le premier côté de Tangle , ou celui dont le coup d'alidade fournira la graduation à soustraire.

175. Nous avons supposé, § 168 page 102| que Taxe visuel et la ligne qui porte Tindex d'un goniomètre passaient par le centre de son limbe ; mais , comme il est très difficile, sinon impossible, de satisfaire à ces conditions et de les conserver: il faut déterminer les erreurs que l'excentricité de ces lignes peut introduire dans chaque coup d'alidade, afin de corriger les résultats obleuus,avec l'instrument décentré.

Et d'abord, pour trouver l'erreur due à l'excentricité cq = t de l'axe visuel rv {fig. 71): dirigeons cet axe sur un point f que nous supposerons joint au centre c; le petit an-

glerfc, ayant — pour sinus et — 64^ pour amplitude, § 54

page 25 , sera la correction propre à la graduation du coup d'alidade donné sur f.

On voit que celte correction deviendra négligeable : quand elle sera inférieure à Tinexaclitude de lecture ffi^^^^f- sur le limbe^ ou que la distance cf, du point de mire/ au centre c

de rinstrument, dépassera 6400 — ; en supposant, par exem-

pie , g = o"' ,o5, î> i= 1 , on.aura : cf > 3oo™ . Ainsi, les coups d'alidade» donnés à des distances eonvena-^