Lorsque, pour définir une surface, on se bornera â en
14 INTItODUCTIOX A LA T01>OGHAPHIE.
tracer les sections principales i il faudra adopter nne équidistance telle que les éléments de plans tangents à une zône, limitée par deux sections consécutives, se confondent sensiblement avec celle zône , dans le sens de plus grande pente ; ensorteque l'équidistance devra être alors d'autant moindre que l'échelle de desCTiplion sera plus grande. Ce qui s’exprimera généralement par-ï-=:A, n étant l'équidistance ,
— l’échelle, a nne constante, et l’exposant x restant positif et
entier : pour que h devienne nulle ou infinie en même temps que M, et que, à une valeur de m, corresponde une seule valeur de H.
37. Pour trouver sur une surface, décrite par scs sections principales, la cote d’un point projeté: je suppose la projection donnée a {fig, 9) située entre les deux sections principales gu, sq cotées g' et je conduis par le point a une droite gs, à-peii-près perpendiculaire à celle des sections dont il est le plus éloigné: cette ligne, qui sera peu différente de la projection de plus grande pente, pourra être considérée comme projection d’une droite gs contenue sur la zône GSQU, en sorte que a correspondra au point a de cette
droite, et que sa cote a' sera déterminée par ~ = , ou
c< gs
[a ’ — «') = — {g ' — *'). § 14, et , en représentant par n l’é-
quidistance (ÿ' — *'), on aura a'=s'-f-u — ; c’est-à-dire
que ; pour avoir la cote du point correspondant à a, il faudra
OS
ajouter la fraction — de l'équidistance h à la moindre des cotes principales voisines.
38. Un autre point b, compris aussi dans la zône principale ugsq{fig. 9), aura , de même, pour cote; as h
en sorte que, si — = — , a' égalera b' : c’est-à-dife, que S»
les points a et 6 auront la même cote. Ainsi, tous les points
fiEOMETHIK DESCRIP^^rlTE.
divisant proportionnellement les intervalles compris par les projections de deux sections principales consécutives, pourront être regardés comme appartenant à la projection d’uné section parallèle intermédiaire, cotée en raison du rapport observé.
Conséquemment, on obtiendra la projection d’une section parallèle cotée o': en cherchant, d’abord, les cotes principales consécutives g' , qui comprennent a' {fig. 9), pour par-
tager ensuite , selon le rapport •
— , chacun des espaces
gs, df, uq.'... de la zône rorrespundante ugsq , et joindre les points de division a, c,b. .
39. Pour mener, par un point c pris sur une surface {fig. 9), un plan tangent à cette surface: on tracer» la section parallèle qui passe par ce point , en déterminant d'autres points, a, b,..,, tels que leurs distances aux projections principales gu, tq aient un même rapport, et on conduira la normale df â cette section intermédiaire, laquelle normale sera la projection de la ligne de plus grande pente du plan tangent en c, ayant piMir cotes, en d et f, celles des sections principales gu, sq.
40. L’intersection de deux surfaces, décrites par leurs sections principales, s’obtiendra en les coupant par des plans parallèles au plan de projection, et en cherchant les points communs aux sections principales et intermédiaires de mêmes cotes.
Soient {fig. 10) deux surfaces a et b, dont les cotes principales se déduisent de la cote (50, 5) appartenant à la section ponctuée, qui termine la surface B .• '
Les deux surfaces se pénétrent, un peu au-dessous de la section principale cotée 46.
Si les rencontres des sections principairs de mêmes cotes ne fournissent pas des points assez rapprochés de l'intersection des surfaces, on recourra aux sections intermédiaires; ainsi , la section parallèle aa' déterminée dans la surface a , à demi -distance des sections ii.'" 44 et 45, conformément
16 l>THODVCTJON A LA TOPOGRAPHIE.
au § 38, coupera -la section W, de même cote dans la surface B , en des points de la ligne cherchée^ d’autres sections parallèles-milieu de a couperont aussi les sections intermédiaires de B suivant de nouveaux points; et, en multipliant ces sections auxiliaires de proche en proche, entre les cotes 45 et 46 des deux surfaces : on obtiendra des points successifs de l’intersection, jusqu’à ce qu’on arrive à des lignes intermédiaires de même cote cc', dd' , tangentes l’une à l’autre au point limité s de cette intersection, qui se projettera alors selon la courbe tsr, dont les points auront pour cotes celles des sections parallèles qui ont servi à les déternriner.
41. L’intersection d’une surface par un plan e,st un cas particulier de la question précédente. Les sections parallèles du plan seront des droites perpendiculaires à sa ligne de plus grande pente, et passant par les points de cette ligne convenablement cotés. Ces droites couperont les sections parallèles correspondantes de la surface, en des points de l’intersection proposée.
Soient [jù/. 11) b la surface et fl la projection de la ligne de plus grande pente du plan coupant, déterminée parles cotes (45,5), (49,5). Je divise fl en 8 parties égales, pour avoir lf*8 ()oints cotés (46), (46,5), (47), ( 47,5), (48), (48,5), (49) de sections principales et intermédiaires - milieu du plan FL, qui rencontreront les sections analogues de la surface B en des points de la ligne cherchée.
A un point extrême x de cette ligne , la section parallèle du plan coupant ( 49 ^) est tangente à celle de même cote de la surface.
On obtiendra, évidemment, des points plus rapprochés: en multipliant davantage les sections intermédiaires', sur le plan et sur la surface.
Pour avoir la grandeur de cette intersection plane : on rabattra la ligne de pins grande pente sur le plan parallèle coté (45,5) , en la rendant hypothénuse d’un triangle rectangle qui a pour côtés: I» projection fl et la longueur l{ de la cote graphique (49,5 — 45;5) = 4; puis on considérera f 1 comme
charnière du plan donné , qu’on couchera sur la parallèle (i'SiS). Les seclions parallèles dudit plan se placeront perpendiculairement à fL et deviendront les ordonnées de l’intersection rabattue.
Enfin , pour tracer la tangente au point q de l’intersection: on mènera, en ce point, le plan tangent à la surface b, en construisant la section parallèle passant par q, et élevant, sur celte section, la normale .«/■ qui sera la projection de plus grande pente du plan langent, ayant pour cotes déterminantes e'=(46l, f'= (W), §39; et, au moyen de fp = 2/’e, le point P coté (49) donnera la section pA de même cote surle plan tangent, laquelle rencontrera la section parallèle (49) du plan coupant en un point A de la tangente cherchée, dont q/i sera la projection.
Les points q et A étant rabattus en q et II, sera la laugeiite à l'inlersection rabattue.
42. L’intersection d’une surface, par un plan rk perpendiculaire au plan de projection (fiq. 10), ou le profil qui dresse graphiquement les cotes de la surface dans ce plan , § 1 1 page 0, se décrit d’une manière encore plus simple.
Ce profil a pour projection la trace rk du plan coupant , ses points cotés sont ceux où ladite trace rencontre les projections des sections parallèles.
Tout point d’un profil, maximum ou minimum par rapport au plan de projection, ayant sa tangente parallèle audit plan, est -le contact d’une section parallèle tangente A la trace du profil ; en sorte que chacun des points , où cette trace sera tangente A la projection d’une section parallèle, correspondra A un point Itmtïe , maximum ou minimum.
Ainsi, la section cv', déterminée par tdlonnemenl, tangente en U A la trace rk, donne la cote de ce point limite.
Le profil se figure dans le rabattement .du plan coupant, de la manière suivante ('fy. 10 et 12) : la trace rk est portée en r"k", aux jexlrémilés de laquelle on élève des perpendiculaires Tccevant les cotes graphiques (44), (45), (46), qui servent A tracer les sections parallèles du plan coupant.
18 ïntboduCtion a la topographie.
Un point quelconque , celui qui se projette en q par exemple [jig. 10) , se rabattra sur la perpendiculaire j"q \fig. 12), telle que q"r"=gr, et devra, 'd’ailleurs, être Sur la parallèle. (46,5), il viendra donc’en q, quvn aurait obtenu en faisant immédiatement Qa = qr. Tout autre point N du profil se trouvera, en portant la distance kn sur la parallèle de itième cote que lui.
Pour marquer le point limite n : on tracera des sections intermédiaires aux courbes (47) et (48) [fig. 10), .au moyen des subdivisions. successives de leur intervalle , jusqu’à ce qu’on arrive à la ligne vv' tangente à rk, en w. On portera r"u"=ru (fig. 12), et l’on fera u" o égale à la cote graphique de la section parallèle ct>'.
43. On aura les points de rencontre d’une droite avec une surface: en regardant cette droite re {fig. 10), déterminée par les cotes (45,5), (50,3), comme celle de plus grande pente d’un plan qui coupera la surface b suivant une ligne dont ou construira, seulement , les éléments voisins des points cherchés; et chaque élément yy' sera facile à reconnaître, par la comparaison des cotes principales de la droite ve à celles de la surface r.
44. Pour définir graphiquement la surface cylindrique, enveloppant une surface donnée et ayant ses généra trices parallèles à une'droite connue: on construira les sections de cette surface par des plans parallèles à là droite; et les tangentes tracées à chacune d’elles, parallèlement à cette droite, seront des génératrices de la surface cylindrique. Il est, quelquefois, avantageux de choisir les plans coupants perpendiculaires au plan de repère.
S’il s’agit de déterminer la surface conique , enveloppant une surface donnée et ayant son sommet en un point connu : on construira des sections de la surface , et particuliérement des profils, suivant des plans passant par ce point; et les tangentes, conduites dudit point à chacune des sections, seront autant de génératices de la surface^enveloppei
