Pour mener, par une droite, un plan tangent à une

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surface; on enveloppera celle-ci d'une surface cylindrique parallèle è la droite ; et le plan tangent, conduit par cette droite à la surface-enveloppe, satisfera à la question.

On pourra , aussi, envelopper la surface donnée par deux surfaces ooniques ayant leurs sommets siir la droite; et tout point commun aux lignes, suivant lesquelles ces enveloppes toiiehcronl la surface donnée, sera celui de tangence du plan cherché.

Mais, on parviendra plus promptement à la solution de ce problème, par les considérations suivantes.

4-6. On peut limiter la facette de tangence d’uii plan avec une surface, par les éléments de deux sections parallèles ra, pq {fiffi 5) qui , prolongés, deviendront des sections parallèles du plan tangent.

Eu imaginant, par la trace d’une droite sur le plan de chaque section parallèle d'une surface, une tangente à cette section; les projections de ces tangentes pourront être: ou parallèles; ou convergentes de proche-en-proche, soit de part et d’autre de la droite donnée, soit du même cété de cCtte droite.

Si les projections des tangentes sont parallèles, les tangentes le seront aussi; et, s’appuyant toutes sur la même droite , elles constitueront un plan tangent à la surface, suivant la ligne de plus grande pente droite qui joindra les points de contact obtenus sur les diverses sections parallèles.

Lorsque les projections des tangentes convergeront de proche-en proche, avec un changement de sens dans leurs convergences: on les multipliera assez, dans l’intervalle de ce .• changement, pour trouver les deux tangentes voisines dont la convergence sera nulle, comme servant de passage aux deux sens opposés du concours; et la zône, limitée par les tangentes parallèles, appartiendra évidemment au plan tangent. Dans la pratique: la tangente principale, qui rencontrera ses deux voisines de part et d’autre de la droite ) sera regardée comme déterminant le plan tangent. Elle fera alors, avec la droite donnée , un angle minimum ou- maximum

INTHODL’CriON Â LA TOPOOKAPillE.

parmi ceux que les projections tangentes voisines forment , dans un même sens, avec celte droite.

Enfin, dans le cas. où les prujeci ions tangentes non parallèles convergeront du même côté de la droite : cette dernière ne pourra faire p.-irlie d'un plan tangent à la surface.

47. Cela posé, pour mener un plan langent à la surface B (fy. 11 ) , par la droite fl ayant (45,5) et (4D,5) pour cotes déterminantes : j’intercalerai, sqr cette droite, les cotes (4G), (47), (48) et (49) de ses traces sur les plans principaux de n, et je dirigerai, par ces traces, des tangentes aux sections correspondantes de la surface ( vue par une seule espèce de courbure, celle convexe par exemple), en me bornant à marquer les tangentes (49), (48), (47) qui , convergeant de part et d’autre de fl, comprennent l'élément de contact- du plan cherché.

. Puisque l'équidistance de- description est tellement subordonnée à l’échelle, que les zûnes principales se composent de. facettes planes, § 36 page 14; on pourra, sans inconvénient, déterminer le plan tangent par la parallèle (48j, dont la projection coupe les tangentes voisines (47) et (49) de part et d’autre de fl. Mais, on agira encore mieux : en traçant la tangente (47,5) qui, étant sensiblement parallèle à l'une ou à l’autre des tangentes (47) et (48), précisera davantage le plan tangent conduit par fl.

48. Si la droite, par laquelle on doit faire passer le pian tangent à la surface, b ( f ! g . 10), est perpendiculaire au plan de projection : on n’en verra que la trace b; et, le plan tan-gent étant, aussi, perpendiculaire au repère, son élément de contact sera compris parles tangentes parallèles (46) et (47), dotit les projections se confondent en bh.

49. Quand la droite donnée rk {fig. 10) sera parallèle au repère, avec la cote (48): on recourra à la surface cylindri- <]up-enveioppe , qui aura scs génératrices parallèles àrk se projetant langentiellenieut .aux sections parallèles de la surfiice B pour former la ligne de contact rug'nxo. On construira, ensuite, la trace de celte surface cylindrique sur un

plan auxiliaire zh, choisi avec avantage perpendiculaire au repère § 44.; et, il ne s’agira plus que de 'conduire, par la trace q de la droite.donnée sur ce plan auxiliaire (jig. 13), une tangente qg au profil cylindrique z" Qh", pour connaître le point de contact cherché g' (/fÿ. 10), \^àT zg = z" g" et gg' perpendiculaire à zh.

50, Le plan n’est pas la seule surface qui serve de repère pour définir géomélriquement les corps ; une surface de forme quelconque peut, aussi, être employée dans le même but.

Imaginons, en effet , que l’on ait projeté oiThogonalement tous les sommets polyédriques d’un coiqis, sur la surface de repère, au moyen de normales conduites de ces sommets sur ladite surface : chaque sommet sera connu de position, par sa projection sur la surface de repère , accompagnée de la cote exprimant la distante de ce point à ladite surface; et, •par conséquent, le corps considéré sera géométriquement défini: en accompagnant de cqtes sa projection sur là sur- face de repère.

Il paraîtra, alors, nécessaire de construire l’éptu’e descriptive d’un corps, sur une surface semblable à celle qqi a été prise pour repère. Mais, comme on peut décomposer ce repère en facettes contenues sur ses divers plans tangents; on ramènera toujours la description graphique d’un corps à des épures planes; en rapportant les poinls de ce corps à des plans tangents à la surface de repère ; pourvu qn’on spécialise , sur chaque description , le plan tangent ou l’élénient de la surface de repère , sur lequel on a établi la projection partielle, § 341, Livre III.

l>TRODUCriON A LA TOPOGRAPIIIK .