LES ÉCHELLES
tit triangle cod fournira, d’ailleurs, les unités qu’il suffira de numéroter do deux en deux.
Cette échelle deviendra celle du — en lui donnant ponr
1 opo
ordre ternaire les dixaines, unités et dixiémes du mètre. Elle est aussi l’échelle générale dont nous avons montré l’avantage pour les descriptions régulières, § 10 page k.
Si le dêmi-déciraélre, porté de b en x, était subdivisé en millimétrés, on prendrait aiissitét ioof= lo millimètres et \ol = cd=\ millimétré.
105 . Quand les'subdivisions ordinaires de l’unité de me sure ne suivront pas l’ordre décimal , il sera souvent utile que l’échelle graphique reproduise nominativement ces subdivisions, .en adoptant l’ordre ternaire qui existe entre elles. Ainsi, une échelle de dixtnes, ajant la toise pour unité, n’énoncera pas les longueurs en pieds ni pouces ; et, pour donner cette nomenclature à l’échelle, il faudra en subordonner la construction aux 'sous-multiples ordinaires d<; la toise. - '
Alors, une échelle, ayant des dixaines de toise pour unités du 3 .^ ordre, descendra jusqu’aux pieds comme unités du i.er ordre ; tandis que , si elle doit avoir des toises pour plus hautes unités, elle descendra jusqu’aux pouces. par les diviseurs 6 ét 12. • - .
Soit proposé, pour exemple, de construire, dans un empla-
cement, de cinq pouces, l’échelle — en subdivisions ordi-
lOO .
naires de la toise comme unité de mesure.
L’ordre ternaire sera composé de toises, pieds et pouces, et
l’échelle contiendra f, La plus grande partie ali-
quote k étant 4 pouces, ou f vaudra ’-î — k=— k; et , M 100 5 o
pour l’obtenir : sur na: égalant 4 pouces [fig. 31 ) , j’éléve deux parallèles xv , uy, l’une ey contenant 9 fois une partie arbitraire p, l’autre xv contenant ( 5 o — 9) ou fois la même partie; tirant yt>, le point 0 déterminera
iHSTKCMliNTS ET PBOCJÈOÉS GBAPHIQUES.
Bo= = — l que je porte suroa;, autant que pos-
a:t! + By 5o
sible, en écrivaut les n.°> i, 2, 3 ,... aux points de division.
Ajant donné au réseau de l’échelle, autant de zônes que l’unité du 2.® ordre renferme d'unités du i.®f, c’est-à-dire douze’, je tracerai aussitôt les transversales du 3 .® grdre, et par le point n, qui termine la sixième zône, je tirerai la diagonale n4 interceptant les longueurs successives
— , —, —, -77- que 1 emploierai a marquer les uni-
tés du 2.® ordre ou pieds, de o en b. Prenant ensuite
cd.= 4- : les parallèles à co, menées par les numéros du 2.®
ordre, achèveront le tableau-échelle.
On écrira le mot toise à côté du zéro; une accolade, portant le mot pieds, embrassera les 3 unités du 1 ® ordre ; tandis qu’une autre accolade comprendra les pouces, ou unités du 1 .®r ordre.
'Lorsqu’on sera obligé d’emplojer la toise et ses subdivisions pour mesurer les longueurs ; ôn composera une échelle graphique générale des descriptions régulières, avec les mul-
l'ie-
tipics du point, lequel valant
jpo.
12 144 1728 io 368 ’
Ulfll.
, sera regardé comme graphiquement négligeable;
en sorte que l’unité de longueur deviendra
Le Vernier.
106 . Quand on veut porter sur le papier des distances ou des angles donnés en nombres, ou bien, estimer numériquement des longueurs ou des angles tracés, on les compare à un limbe rectiligne ou circulaire; et l’onapprécie les fractions des dernières parties de ce limbe, au moyen d’une échelle mobile qui porte le nom de son inventeur, le géomètre français Vebhibb.
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LE VBHK'Efi. 59
L’usage du vernier s’appuie sur les considérations suivantes :
Si -l’on subdivise différemment deux lignes, de pareille courbure et de même longueur : les divisions de l’une pourront servir à estimer les fractions des parties de l’autre.
En effet, soient l et v ces deux longueurs [fig. 39 et 40), dont l’une v a été divisée en n, tandis que l’autre l a été partagée en ( n Zp 4 ) ; ou v = np' et l = ( n A j p, oü a :
»p'==(nqiA)p
d’où l’on déduit : p' = -~
, ^ kp
ap =ap 4.2 —
xp'= xp 4 . x-^
signifiant que : si les deux longueurs égales l et v sont ciT coïncidence, la première graduation de l’une sera distante
kft
delà première graduation de l’autre, delà quantité 4 — ; la réimion des deux premières parties de v différera de la somme des deux premières parties de L, de la quantité 42^, et ainsi de suite ; enfin, la réunion desx premières parties de V différera de la somme des x premières parties de L, de la
quantité 4 x — l Ainsi, quand les origjnesde l et v coïnci-
deront : le numéro a: de v sera distant du numéro x de l, de
, . , hp . kp . , '
la quantité 4 x savoir: — x —> ou en arriére, lorsque
(/!p. 39) L=fn — k]p: et 4 ® en avant, lorsque
Ifig, 40) t'== (n 4 *) P* Si donc, on fait mouvoir la ligne v jusqu’à ce que son numéro a; coincideavec le numéro æ de l: l’origine de v se trouvera distante de l’origine- de L, .de la
INSTRUMENTS ET PROCEDES GRAPniOUES.
kp
quantité c’est-à-dire : sera en avance (/tÿ. 41) ou < n
kp .
arriére [fig.k’i) sur cette dernière, de selon que l vaudra (n ' — k) P ou (n -|- k) p.
Cela ppsé, imaginons un limbe, ou ligne indéfinie divisée en parties égaies Ap{fig. 43}, et concevons qu’une longueur V, comprenant ^ k) de ces parties, ait été divisée en n, tel-
* * • Atd
lement que ( n i A ) p = np'; on aura xp' = xp ILx —,
Supposons un point y déterminant sur le limbe une fraction de ah, ou de p, qu’il s’agisse d’évaluer.
Soit 1 np' = (n — k)p\ nous considérerons la graduation a comme l’origine d'une longueur au comprenant (n — 4) p; nous poserons la longueur v de manière que son origine, ou zéro, couvre le point/, et nous remarquerons le numéro a; de V qui coïncidera avec une ligne de division du limbe; en sorte que l’avance de y sur a, ou la distance ay, sera égale àa;—, et la place du point ./ aura pour graduation
Si 2.0 «p' = (n 4) p ; on regardera le point 6 comme l'origine d'une longueur 6l' comprenant (n-l-4)p; et la
distance by, dont y est en arriére- de h, sera représentée par kl) •
x', —, x' étant le numéro de v coïncidant àvec une ligne de di-
vision du Ihnbe, et la graduation du point/ sera^à ■
Le verniér v remplit évidemment lé rôle de la languette mobile employée, §101 page 54, pour estimer les plus petites parties d’une échelle.
On distinguera donc deux sortes de verniers : l’un additif, provenant de la division, en n, de{n — 4) parties du limbe , et l’autre souttractif, résultant de la division , en n, de (tt-)-4) de ces parties. Il est facile de vqir pourquoi e Vernier additif est préféré à l’autre.
