CHAPITRE III.* — INSTRUMENTS ANGULAIRES
OU GONIOMÈTRES.
L’Alidade.
138. La mesure d'un angle consiste à reconnaître l'espace circulaire que parcourt une direction visuelle, en passant de l’un des côtés de cet angle à l’autre.
L’alidade, qui sert à repérer matériellement une direction en même temps qu’on la vise , se compose d’une régie ou base AB [fig. 68) surmontée de deux pinnules ra, tb propres à diriger un rayon visuel. On conserve ces pinnules par des cadres ar, bv, et on les renferme aussi dans un tuyau, ou une lunette rtv ( fig. 69), rendant les points de mire plus apparents ; il suffit, quelquefois, de diriger le rayon visuel avec l’arête rv d’une régie épaisse ravb (fig. 68), à laquelle on supplée, au besoin, par un morceau de papier, deux fois plié pour former la ligne visuelle rv et la ligne de foi ab.
Une alidade est dite plongeante, lorsque la longueur des pinnules permet d’incliner le rayon visuel par rapport à la base ou que le tuyau, renfermant les pinnules, peut tourner sur une charnière p qui surmonte cette base ab (fg. 70, 82).
MESURE DES ANGLES
L’axe Dwtwr d’une alidade est donné par les pinnules; sa ligne de foi est un côté ab de sa base. Dans les observations délicates , rexlrémilé de la ligne de foi sert d’origine à un Vernier, destiné à apprécier les fractions des plus petites divisions du limbe sur lequel naarque cette ligne, § 108 page 61.
159. Selon que l’on désire l’angle de deux rayons visuels, ou bien la projection de cet angle sur un plan désigné : on appuie l'alidade sur le plan dudit angle, ou sur celui de projection. Dans le premier cas, il est nécessaire que l’axe visuel de l’alidade soit parallèle au plan de sa base; et, dans le second , il suffit que cet axe ne sorte pas d’un plan perpendiculaire à la base , dans toutes les plongées de son tuyau.
D’où il résulte que : l’axe visuel d’une alidade plongeante, la charnière de son tuyau et le plan de sa base sont assujettis à des posititions relatives , qu’il importe d’établir ou de vérifier avant d’employer cet instrument.
160. Et d’abord , pour rendre l’axe visuel d’une alidade parallèle à sa base: on a recours à un tuyau visuel d’épreuve, en forme de parallèlipipéde, ou de cylindre emmanché dans deux collets rectangulaires et égaux ac, bd {fig. 72); le micromètre de ce tuyau se meut avec une vis n , qui permet de régler l’axe visuel rv parallèlement à la base ab, par le procédé suivant :
On pose , sur un plateau ox, les faces c et d du tuyau' d’épreuve , dont on dirige l’axe visuel rv sur un point i'oigné ; puis, on tourne l’instrument pour l’appuyer par les faces a et b des collets ; et si l’axe visuel rencontre alors le précédent point de mire : il se trouvera sensiblement parallèle au plateau ax et, par conséquent , aux faces a, b, e, d. Mais, quand la nouvelle position de l’axe visuel rv' s’écartera du point de mire : on lui fera parcourir la moitié apparente de cet écart , au moyen du bouton micrométrique n ; pour recommencer, ensuite, l’expérience avec l’axe vism;l modifié: en s’adressant à un autre point de direction , ou en conservant le premier point de mire si le plateau ax peut avoir un
l'alidade.
léger mouvement de basuuie qui ramène rv" à ce point. Et l'on arrivera, bientôt, à iin axe visuel rencontrant le même point de mire , dans les deux positions renversées de sou tuyau.
Si , maintenant , ou donne le même appui ab au tuyau d’épreuve et à la base d’une alidade, et qu’on amène l’axe visuel de cette alidade sur un point éloigné visé par le tuyau d’épreuve : au moyen d’une vis t communiquant au micromètre 69),ou en inclinant convenablement le tuyau d’alidade (fiÿ. 70, 82) que Ton fixera , ensuite, à son montant en serrant la vis p; on aura établi l’axe visuel de ce tuyau parallèlement au plateau d’appui, et, par conséquent, à la base ab de Talidade.
L’axe visuel d’un tuyau cylindrique pourra, aussi , être réglé parallèlement à son appui: en le faisant tourner dans ses collets que l’on ne sera pas , alors , obligé de renverser, 107).
161. Pour que l’axe visuel d’une alidade plongeante décrive un plan, pendant la rotation du tuyau autour de sa charnière, il faut qu’il soit perpendiculaire d cette dernière. Autrement, tous les points dudit axe décrivant des arcs dans des pians perpendiculaires d la charnière , cet axe engendrerait une surface courhe, connue sous le nom d’hyperbololde continu.
11 sera facile d’étahlir l’axe visuel d’une alidade perpendiculairement à la charnière de son tuyau , par de légers déplacements de l’objectif de ce tuyau.
Eneifet, je pose Talidade sur un plateau, et, dirigeant Taxe visuel Kv {fig. 73) sur un point éloigné s, je marque la direction XN de la ligne de foi ab. Je retourne, ensuite, Talidade bout-pour-bout sur cette direction, c’est-d-dire que j’en appuie la ligne de foi de l’autre côté de xn, en b'a'; kv vient en »r, et, pour viser le même lieu de l’espace, je ramène, pdr une demi-révolution du tuyau sur sa charnière, le point r en r': t> prend alors la position v' et l’axe visuel rt, devenu r'c', .>ie trouve maintenant dirigé sur un lieu s'
MESURE DES ANÜLES.
difTérent de s. L’inclinaison rvv' de rv sur lu plan vv', perpendiculaire à la charnière pq, occasionnera, par le retournement de l'alidade, une déviation angulaire rov' double de rvv'. On détruira donc celle-ci : en faisant mouvoir l'objectif de manière à diviser l’espace ss' en deux parties paraissant égales, ce qui donne à l’axe visuel la position r'r. Et, pour s’assurer si cette correction est convenable, on dirigera le nouvel axe visuel sur le point s déjà visé, on tra ccra, comme primitivement, la ligne de foi sur laquelle on retournera la base de l’alidade, et l’on ramènera, par une demi-révolution du tuyau. Taxe visuel sur s: la coïncidence ayant lieu, rr' n’aura pas quitté le plan perpendiculaire à f l’axe de rotation ; sinon , on dérangera , de nouveau, l’objectif qu’on vérifiera par un autre retournement, jusqu’à ce que l’axe visuel soit réglé.
162. Le plan de plongée de l’axe visuel d’une alidade sera perpendiculaire à sa base: quand la charnière du tuyau se trouvera parallèle à cette base.
Pour vérifier cette disposition, on s’assurera d’abord si l’axe visuel est perpendiculaire à la charnière; puis, on appuiera l’alidade sur un plateau dressé horizontalement, § 272. On dirigera , ensuite , l’axe visuel sur une verticale, telle qu’un peuplier ou l’aréte d’un bâtiment, et l’on donnera à cet axe visuel toutes les plongées possibles; le plan * qu’il décrira sera vertical et , par conséquent , perpendiculaire au plateau ainsi qu’à la buse de l’alidade : quand, dans sa rotation, ledit axe visuel rencontrera constamment la verticale de mire. Dans le cas contraire, il faudra modifier l’assemblage de la charnière sur le montant , ou celui du montant sur la base.
163. Le soin, que l’on doit apporter à la vérification ou au perfectionnement d’une alidade, dépendant de la précision avec laquelle on veut marquer les directions que l’on vise; il sera utile de connaître le plus ou moins d’importance des recommandations précédentes , et, pour cela, nous chercherons l’erreur d'observation produite :
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l’alidadu.
1.0 Par le défaut de parallélisme de l’axe visuel d’une alidade avec le plan de sa base, lorsque son tuyau y sera attaché.
2. ° Par le défaut de perpendicularité de l’axe visuel sur U charnière d’un tuyau plongeant.
3. * Par le non-parallélisme de cette charnière avec le plan de la base.
Le premier défaut de parallélisme influera sur l’observation d'un angle : en ce que , son plan n’étant pas parallèle à celui du limbe, il faudra corriger la graduation donnée sur ce limbe, pour reproduire celle de l’angle des rayons visuels. Cependant j comme cette correction sera souvent très petite, à cause du peu d’étendue du micromètre des tuyaux visuels, on pourra la négliger dans beaucoup de circonstances , et se dispenser de recourir au tuyau d’épreuve.
IGli. Pour trouver l’erreur produite par la non-perpendiculaire de l’axe visuel d’une alidade plongeante sur la charnière de son tuyau : prenons pour plan de projection, celui conduit suivant cette charnière xy, perpendiculairenaeiit au plan un du micromètre {fig. Ik) ou de la face de l’objectif {fg. 75); et soient abc la section du tuyau par ce plan, t> l’objectif et r l’oculaire. En inclinuul l’axe visuel sur le plan ^ de projection, de la quantité g'og — i, le point r décrira un arc gg' dans le plan rq, le point v décrira l’arc ss' dans le plan fp, l’oculaire se projettera en r' et l’objectif en ti'; r'v', qui sera la projection de la nouvelle position de l’axe visuel, déviera de rv, d’une quantité angulaire u représentant l’erreur de projection due à la plongée g'og. Appelons a la distance fv de l’oculaire au plan du micromètre ou de l’objectif un, et a la distance rf.
L’angle de r'v' avec rv est la différence des inclinaisons de ces droites sur fp, c’est-à-dire; M = [r'v'e — rvf). Or,
\sr'v'é = — , r'e=rf=a , v'e=»'t—g'é' cosi=Acosi. v't
Ainsi, lgr't!'e = — ^ d’ailleurs , tg /t/’=-^
A COb t vf A
MESURE DES ANGLES
donc, tgu:
A COSt
A Ao(l — COS»)
' O* + A* COS i
a’ COSt
Celle formule, qui est indépendante de la position de la charnière, montre que <u diminuera avec le rapport —, pour
certaines limites de t qu’il importe, alors, de déterminer. A cet eflèt, supposons que u devienne w' quand a devient A + k, a étant invariable, et exprimons que Igu' est plus petit que Igu :
(a + A) a (i — COSt) ^Afl (i — COSt)
Nous aurons :
a* + (a -I- A)* cos
-f- A* cos t
et, après
réductions faites: cost^ —
Ainsi , «>' sera moindre que u tant que t sera inférieur à
l’angle, dont le cosinus vaut — - — et , d plus forte
raison , — ; condition d’autant mieux remplie que a sera plus grand par rapport à a.
En supposant d’ailleurs que, dans un tuyau visuel, la plus petite valeur de a soit aa, on aura pour limite:
COSt ">-4, sin -CT-^ ou t<'8a*. Et comme, dans les '^4 2 5
observations géodésiques, il ne se présente jamais de différence de plongées plus grande que on conclura que les erreurs d'observation u, u'..., provenant des diverses plongées d’une alidade non réglée, seront d'autant moindres que l'oculaire et le micromètre du tuyau visuel sont plus éloignés l’un de l’autre.
165. Nous aurons la limite des plongées t, pour lesquelles il ne sera pas nécessaire de régler l’axe visuel d’une alidade, perpendiculairement à sa charnière : eu exprimant que l’angle u est inférieur à l'incertitude de lecture
if z= — , § 110 page 63, sur le limbe où marque la ligne
l'alidade.
de foi, c’esl-à-dire : par cost^ ” , transfor-
^A(0+Algy)’
oiable en sin*— <f 1 îî j£? encore,
2 2(Algf+a) aA*(Atgf+o)
sin’ — <i— SM)it * = I , auquel cas lgp = ,rm,
a ^a(Atgy+o) ^ b3fa4
§ page 25, et mettons z au lieu de ~ ; il viendra ;
sin* — ^ .
Supposons, pour premier exemple, que l’on emploie une alidade A tuyau [fig. 70), dont les facettes aient un centimètre de large ; en mettant l’oculaire vers le milieu de sa facette, la plus grande déviation possible fournira a = o'“,oo5: supposons, aussi, que le tuyau soit long de trois décimètres, ou A = o" ,3, alors — =z=6oj et, en substituant dans la der-
nière expression, il vient: sin*-^
^<4«,35 et i< 9 «.
Deuxième exemple: soit une alidade à lunette [fig. 82}
LÙa = o"‘,ooa, a=o"',o 3; on aura 2 = i 5, sin* — Η
log. sin -^<[^8,535a9, — <^a»,i8 et t<;4‘»36.
Ainsi: toute plongée, inférieure à gs dans le premier exemple et à 5* dans le deuxième, ne produira pas d'erreur sensible dans la projection, à i' prés, dune direction visée ; et , comme les observations géodésiques, qui n'admettent pas d’incertitude angulaire excédant i', se font à des distances assez grandes pour que les différences de plongées du tuyau visuel ne dépassent pas 5', il s’ensuit que l’on pourra souvent omettre de régler l’axe visuel d’une alidade, sans qu’il en résulte d'erreur appréciable.
S'il s’agit d’opérations graphiques, nous déterminerons l’angle g à négliger, quand la distance visée d correspondra à la plus grande dimension d de la feuille, ce
MESCBE DES ANGLES.
qui donnera — ^ — pour tangente à cet angle; soit d=o"’,5,
lOOOO ° °
tg 5 > = — et i',3 qui se rapportera à l’usage de l’une 5ooo
ou de l’autre des alidades précédentes.
D’où il suit que, dans les observations géodésiques, il sera inutile de rendre l’axe visuel d’une alidade perpendiculaire à la charnière de son tuyau, en sorte que les fils réticulaires pourront être fixés audit tuyau.
166. Cherchons maintenant l’erreur d'observation , produite par le non-[mrallélisme de la charnière d’une alidade plongeante sur le plan de sa hase.
Nous imaginerons, comme au § 162, que, la base de l’alidade étant posée sur un plateau horizontal, on fasse rencontrer successivement tous les points d’une verticale de mire par l’axe visuel ; la déviation verticale du plan de rotation de cette ligne nous obligera de mouvoir, à chaque plougée, la base de l’alidade dont la ligne de foi indiquera les déplacements horizontaux de l’axe visuel.
Soit pris pour plan horizontal de projection (fig. 76], celui qui contient la position horizontale rv de l'axe visuel, et désignons par lp et ed les projections horizontale et verticale de la charnière ; va, perpendiculaire à ed, sera It^ trace verticale du plan de rotation , tandis que rv en sera la trace horizontale. Pendant les plongées du tuyau, le point t décrira , autour du point dont les projections sont b et P , une circonférence de rayon vb se projetant horizontalement selon l’ellipse tft', qui a pour demi -axes principaux : pf = vb, et tp projection de vb. Les projections horizontales des positions de l’axe visuel seront toutes tangentes é l’ellipse tft'; l’une quelconque r'a' fera, avec la position primitive rv. l’angle d’erreur a'cv qu’il faut déterminer.
ca" est la nouvelle position de l'axe visuel dans le plan rva rabattu, t" est le rabattement de t', et. en prenant t"r"=tr, ce qui revient A faire cv"~cv, cr" = cr; v' et r'
L ALIDADE.
av
— =sin K, <iv
— =tgy, ev
seront les projections horizontales des nouvelles positions de l’objectif et de l’oculaire.
Appelons k l’inclinaison de la charnière ed sur l’horizon, ou la déviation verticale du plan de rotation , x l’anglè a'et, et y l’inclinaison a"ev donnée à l’axe visuel sur sa position horizontale : les triangles a'cv, a'ta, 'a"cv fournissent :
cv 1
a'v igx‘
et ces trois équations multjpliées entre elles donnent : tgo; = sin K tgy.
L’angle x augcuente donc en même temps que y, et devient appréciable pour de très petites plongées du tuyau visuel ; en sorte que la moindre inclinaison de la charnière d’une alidade, sur le plan de sa base, occasionnera de graves erreurs dans les observations.
167. Pour fendre cette conclusion sensible par un exemple: déterminons l’inclinaison k' correspondante à une valeur de X qui ne peut être appréciée sur un limbe, dans les limites de plongées du § 165. Soit x — 5' répondant à une longueur graphique de i3 centimètres (0, et prenons y = 5>, nous au- tg5'
rons: sin k'=jS , log. sinK'= 7,9991 1 et k'= 64', qu’on
aurait trouvé immédiatement en écrivant 1 k — = — = — ■
On voit donc que, avec une très petite plongée de l'axe visuel, la charnière du tuyau ne pourrait être inclinée sur le plan de la régie, de plus de 64 centigrades, sans occasionner une erreur appréciable numériquement ou graphiquement.
Ainsi , il faut et il suffit , pour qu’une alidade plongeante soit bonne , que la charnière de son tuyau visuel soit parallèle à sa base.
(■) La qaantité Angulaire, inappréciable grapUiquemcnt à nne diatance
d, est donnée par tgæ:
looood
; si 05= 5', d ~
ivauotgS'
MESURE DES ARGUES
LES GORIOMÉTRES SIMPLES.
Giniralitêt.
168. On mesure un angle: en déterminant l’espace décrit par la ligne de foi d’une alidade, quand son axe visuel a passé de l'un des côtés do l’angle à l’autre ; et l’on reconnaîtra cet espace sur un limbe circulaire, par la différence des arcs séparant un rayon fixe des positions successivement occupées par la ligne de foi de l’alidade.
Tout instrument angulaire, ou goniomètbe, contiendra donc une plaque pleine ou évidée [fig. TI, 78, 82, 86, 87) portant un limbe circulaire, numéroté de :^ro â quatre droits , dont le centre servira de pivot à la base d’une alidade. Cette plaque sera montée sur un pied , de manière à s’établir dans un plan quelconque et à tourner dans ce plan.
169. La ligne fixe, destinée à comparer les positions de l’alidade , pouvant faire corps avec le limbe ou en être séparée; il s'ensuit que l’alidade pourra se mouvoir indépendamment du limbe ou y être attachée. Dans le premier cas, le limbe restera immobile pendant le mouvement de l’alidade, et son rayon zéro servira de repère. En second lieu, ce sera par le déplacement du limbe , devenu base même de l’alidade, que s’exécutera l’observation angulaire; et alors, l’alidade aura pour ligne de foi le rayon zéro du limbe. Ce zéro sera donc, dans toutes circonstances, l’origine des arcs séparant le rayon fixe, de chaque position prise par la ligne de fui de l’alidade.
C’est pourquoi , l’on distingue deux espèces de goniomètres: les uns à linü>e fixe [fig. 78), le repère étant le rayon zéro du limbe et l’alidade rvb en étant séparée ; d'autres à limbe mobile (fig. 87), le repère fixe cg étant isolé du limbe
SÉNÉRALITÉS SVB LES OONIOMÉTttBS. 103
tandis qup l’alidade kfo est attachée à ce limbe , en employant son rayon zéro co pour ligne de foi.
170. L’index d'un goniomètre marque l’espace parcouru par la ligne de foi de l'alidade; il appartient à cette ligne même dans le goniomètre à limbe fixe, et au repère fixe dans le goniomètre à limbe mobile
171. Un goniomètre sera en station; quand on pourra accomplir la mesure d’un angle par les seuls mouvements de son axe visuel rendu, avant tout, parallèle au limbe, suivant l'expérience du § 160 page 94. Cette pose en station consiste : 1.* à mettre en place l'instrument , en établissant le centre et le plan du limbe au sommet et au plan de l’angle ; 2.° à décliner le goniomètre, ou assujettir son repère à la direction fixe qu'il devra conserver pendant l’observation.
172. Donner un coup d'alidade suivant un alignement: c’est, le goniomètre étant en station, diriger l'axe visuel de l’alidade sur cet alignement, au moyen de la partie mobile du goniomètre , et reconnaître la graduation de l'index , qui termine alors le rayon commun à la partie fixe et à la partie mobile de l'instrument. Par suite, l’amplitude d'un angle vaudra la différence des graduations propres anx coups d’alidade donnés sur ses côtés, avec la même déclinaison ; cette mesure encourra donc une erreur de lecture double de celle du coup d’alidade.
173. Dans l’usage du goniomètre à limbe fixe : l’amplitude de chaque coup d’alidade, ou l’arc indiquant la position de la ligne de foi de l’alidade relativement au repère du goniomètre, après toute direction donnée à son axe visuel, a évidemment le sens de la numération du limbe vu par sa partie concave ; les angles, obtenus par la différence d’inclinaisons de même sens, § 51 page 22, auront donc, aussi, le sens de la numération du goniomètre à limbe fixe; c’est-â-dire que : les numéros du limbe augmentant de droite à gauche [fig. 78], la graduation à soustraire appartiendra au coup d’alidade sur le côté droit désigné, alors, comme premier côté de l’aille, pendant que le côté gauche en sera le second côté.
MESDBE DBS ANGLES.
lOi
itk. L’cmplui du guniumétre à limbe mobile repd le sens de l’arc , qui mesure chaque coup d’alidade, inverse à la numération du limbe vu par sa partie concave : parce que , supposant à cette numération le sens de gauche à droite (fig. 87], la graduation g, indiquée par le repère fixe après une direction ini|)oséc à l’axe visuel EF, sera l’inclinaison, dans le sens (gauche à droite) de numération du limbe, de ce repère sur le rayon zéro qui est la ligne de foi de l’alidade, § 109 ; cette graduation g mesurera donc l’inclinaison de la ligne de foi sur le rayon lixe, dans le sens (droite à gauche] inverse à la numération du limbe. Conséquemment, les angles, obtenus par la différence des coups d’alidade, auront un sons inverse à la numération du goniomètre à limbe mobile; c’est-à-dire que, dans la numération de gauche à droite, le côté droit sera le premier côté de l’angle , ou celui dont le coup d'alidade fournira la graduation à soustraire.
175. .Nous avons supposé, § 108 page 102, que l'axe visuel et la ligne qui porte l'index d’un goniomètre passaient par le centre de son limbe; mais, comme il est très difficile, sinon impossible, de satisfaire à ces conditions et de les conserver: il faut déterminer les erreurs que l’excentricité de ces lignes (leul introduire dans chaque coup d’alidade, afin de corriger les résultats obtenus avec l’instrument décentré.
Et d’abord, pour trouver l'erreur due à l’excentricité cq = t de l’axe visuel ro {fig. 71): dirigeons cet axe sur un point f que nous supjioserons joint au centre c; le petit an-
gle r/’c, ayant -L pour sinus et -^ 64 « pour amplitude, §
page 2o , sera la correction propre à 1 a graduation du coup d’alidade donné sur f.
On voit que celte correction deviendra négligeable : quand elle sera inférieure à l’inexactitude de lecture sur le
limbe, ou que la distance cf, du point de mire/" au centre c
de l'inslrument, dépassera 6400 — ; en supposant, parexeq)-
pie, f = o"’,o5, Ÿ=i, on aura : c/'>-3oo"'.
Ahibî, les coups d'alidade, donnés à des distances convena-
01 jU
