ASSUJETTI A CINQ CONDITIONS
g 1. — Trajectoires des points du corps
S3. Calcul do ta vitesBe. — On Sait que le inouvoment d'un corps solide assujetti h cinq conditions peut s'obtenir en faisant rouler et glisser une surface réglée mobile sur une surface réglée fixe : celle-ci sera appelée la base et celle-là la j-oulette. La base est le lieu des axes hélicoïdaux dans l'espace ; la roulette est le lieu des axes hélicoïdaux dans le corps. Je me propose, dans cette seconde partie de mon travail, de faire l'étude géométrique du mouvement U l'aide des invariants de la base et de la roulette .
Je passerai d'ailleurs rapidement sur les détails bien connus de cette étude pour ne m'attacher qu'aux points qui paraissent comporter quelques développements nouveaux.
Je vais d'abord exprimer la vitesse et les accélérations des divers ordres d'un point quelconque du corps, en fonction des invariants de la base et de la roulette. J'appelle A, k, e les invariants de la base; A,, k,, O; ceux de la roulette; les deux surfaces se raccordant constamment, on a
Soient (A.XYZ) {/tg. 9) le trièdre attaché k la base et {O.xya) un trièdre fixe dans l'espace. Je détermine les cosinus directeurs des arêtes du trièdre (A.XYZ), par rapport au trièdre fixe,, par le tableau du n' 1 et j'appelle ?, i, ï li^s coordonnées absolues du point A (point central de la base) .
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68 X. ANTOMAHI
Je figure àpart le trièdre (A|.X,Y,Z,) [fig. 10), le trièdre attaché à la roulette, et j'appelle (Oi^ij/iïi) un nouveau trièdre fixe dans le corps; le trièdre (A, .XjYiZ,} coïncide, à chaque instant, avec le trièdre (A.XYZ), Il est clair que les arcs des représentations sphériquesde la base et de la roulette sont égaux à chaque instant, de sorte qu'on peut les supposer égaux au temps.
Soit Ml le point du corps qui coïncide avec le point M à l'instant i, et soient X, Y, Z ses coordonnées relativement aux axes (A,.X|y,Z,) ou, ce qui revient au môme, relativement aux axes (A.XYZ); soient enfin V,, Vy, V^ les composantes, suivant les axes mobiles, de la vitesse absolue du point M.
Les formules (1) du \y -1 donnent
étanl. lixe dans le corps, en vertu des formules du n" 12 on a
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APPLlCAÏlU^f 1>E LA MliTHODK CINÉMATIOl']': A I. ÉTUDlî DES SURFACES RÉGLÉiîS (iU
On en conclul
[ Vs — /' — /',, (3) I Vv={0-e,)Z,
On voit tout de suite que les deux surfaces rouleiiL l'une sur l'autre «i l'on a
k zr-. ft, ;
ceci résulte d'ailleurs de ce que, dans ce cas, les deux surfaces sont applicables, ot par suite on a
h=-.h, i't k = It,.
Si l'on pose
les formules (3) prennent la forme simple
et si l'on veut simplement la direction de la vitesse, on peut au vecteur qui la représente substituer le vecteur proportionnel dont les composantes sont respectivement
de sorte que si l'on appelle x, y, s les coordonnées absolues du i)oinl, \f, les composantes de ce nouveau vecteur sont.
l dx i dy i dz,
'Z>' di' Z"dï' w' dt'
j'ajoiite que l'on a
et des expressions analogues pour les deux autres composantes,
S6. Calcul de l'accélération du premier ordre. — Les composantes de i'accôlc-
; on les obtient en
70 X. ANTOMAIU
dilférentîant les deux membres de l'équation (6) et des équations analogues, après les avoir multipliés par m. Toutefois, si l'on se borne à faire l'étude du mouvement au point de vue géométrique, il importe peu d'avoir l'accélération totale ellemâme ; il suffit d'avoir la composante normale de cette accélération ; dans ce but,
1 dx
on remarque que la différent! ation de l'expression - ■ -j: ^^ des expressions analogues donne deux espèces de termes. Je prends par exemple - ■ -^; en diiîérentiant, on obtient
la' dx i d'^x
~^ ■ t77~'~w ' UF'
or, le premier terme correspond à un vecteur dirigé suivant la tangente et dont, par conséquent, la projection sur la normale principale à la trajectoire est nulle ; il en résulte que, si l'on veut tout simplement l'accélération normale, il suffit de différentier le second membre de (6) et des équations analogues ; on substitue ainsi h l'accélération totale un vecteur qui a la même composante normale. Si 7,,, Tï' Ts sont les composantes de ce vecteur suivant les axes fixes, on aura
et des expressions analogues pour v,, et -fs. On en conclut
(Il fv- R + /t — ^Y,
et la composante normale de l'accélération sera la même que celle du produit par 10 du vecteur défini par les équations (7).
37. Calcul de raccélérallon A» aecoiiiJ ordi-e. — En opérant d'une manière analogue pour l'accélération du second ordre, on voit que pour avoir la composante de cette accélération suivant la binormale à la trajectoire on peut, au vecteur qui la représente, substituer celui qu'on obtient en différentiant les expressions analogues à
La difîérentiation do cetfo expression donne, après réduction au moyen des
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APPLICATION DE LA MÉTHODE CINiblATlOUB A I.'j'îTlJDE DES SDHl'Af.ES RÉGLÉES 71
formules (2),
<x[R"— R — 2/( + ((u + 0,) YJ -F a, [211' 4- k' + (1 -h ,.=)Z — <,/Y -i- (a, — 0)Xj
-+- :!,! — 0R+ (to — 11)7; + h, —{\ H- (.2)Y — ,^'ZJ.
Il en résulte que la composante de l'accélération du second ordre suivant la binormale est la même que celle du produit par u, du vecteur dont les composantes suivant les axes mobiles sont
(8) I l\^ 2R'-+-A'-+{l-ho,=)Z — o,'Y + (,.. — 0)X,
Dans ce numéro et dans le précédent on a posé
li' — ^ R" —^'^ , ^
~ Ut' ~ 'UF' "' ~''dï'
58. Condilions nécessaires poui- caructériser un mouvement. — Voici tout de suite des conséquences de ces divers résultats :
Le mouvement d'un corps solide assujetti à cinq conditions dépend de cinq fonctions, 6, e^, fi, Aj, li. Les propriélés infinitésimales du premier ordre ne dépendent que du rapport
celles du second ordre ne dépendent que de R, R', A et w; enfin, il est visible sur les formules (8) qu'il faut aller jusqu'aux infiniment petits du troisième ordre pour définir complètement le mouvement, car, les cinq fonctions n'apparaissent toutes que dans l'accélération du second ordre.
// suit de là que deux mouvements non identiques peuvent se correspondre de façon que les infiniment petits d'ordres 1 ei 2 soient identiques; il faut aller jusqu'au troisième ordre pour caractériser complètement le mouoemenl.
59. Applications. — Cela posé, faisons quelques applications des formules trouvées. Cherchons d'abord le lieu des points pour lesquels l'accélération normale est nulle, c'est-à-dire le lieu des points dont les trajectoires ont un contact du deuxième ordre avec leur tangente ; ou encore, le lieu des points d'inflexion des trajectoires. 11
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