X. ANTOMARI
Lorsque la ligiie de stricLioa est une ligne de courbui-c de la surface et que le paramètre est constiiiit, une proraière série do lignes de courbure est défn>ie par l'équation
et, par conséquent, toutes les lignes de cette série déterminent des segments égaux sur les génératrices. Les lignes de la seconde série sont alors définies par une équation de Riccati et, par suite, partagent h omo graphiquement les génératrices.
Il est aisé de voir que, réciproquement, les seules surfaces réglées dont les lignes de courbure d'une série déterminent des segments égaux sur les génératrices sont celles pour lesquelles /c est constant et dont la ligne de striction est ligne de courbure. En effet, cette propriété ne dépend que des infiniment petits du second ordre, de sorte que si elle est remplie pour une surface, elle Test également pour l'hyperboloïde osculateur suivant une génératrice quelconque ; or, les seuls hyperboioïdes jouissant de cette propriété sont les hyperboloïdes de révolution, pour lesquels A est constant et pour lesquels la ligne de striction est ligne de courbure. L'hyperholoïde osculateur suivant chaque génératrice doit donc être de révolution, ce qui exige que l'on ait
/.■ ^ C" et k ^--- (i/(,
ce qui démontre la proposition,
La démonstration me parad plus simple que celle qui a été donnée par M. Bioche dans les Annales de la Faculté de Toulouse.
S^i. Détermina lion de toutes les surfstces réglées dont la ligne de striction, est plane et est ligne de courbure. — Les équations (10) donnent simplement toutes les surfaces réglées dont la ligne de striction est ligne de courbure et est en même temps une courbe plane. Supposons en effet que la ligne de striction satisfasse à ces deux conditions ; on peut supposer que son plan soit représenté par l'équation s ~ C", -par rapport aux axes fixes ; or, par rapport aux axes fixes, îa ligne de striction est représentée par les équations (10) après qu'on y a fait X = 0.
La dernière de ces équations devant se réduire à z = C'°, il faut que t^Yi — 0, c'est-à-dire que yi soit constant ; mais alors la représentation sphérique de la surface est une hélice sphérique.
Ainsi, lorsque la ligne de striction est une courbe plane, si elle est en même temps ligne de courbure la représentation sphérigue de la surface est une hélice sphérique.
Supposons en particulier que le cône directeur de la surface soit de révolution ; alors, d'après le théorème précédent, aï la ligne do striction est ligne de courbure
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APPLICATION DE LA MÉTHODE CINÉMATIODE A L'ÉTUDE DES SVUFACES RÉGLÉES 63
de la surface, cette ligne est plane et son plan pst perpondiculaii'e h l'axe du cône directeur.
Cherchons la ligne de striction dans ce cas ; en prenant l'axe du cône pour axe des 3 du trièdre fixe et en appelant ç le demi-angle au sommet, on peut poser
a = sin f cos (u, ^j ^^ — siii tu,
p — sin f sin «j, pj — cos tu.
Y = cos f ; Ti — ;
dt = 8inçrf<u.
On en déduit
rfa, = — cos Lorfo*,
et par suite, les équations de la ligne de striction sont
X — 1 h cos urfu),
y ^ j h siii uidi», Soit d'abord A ^ »• ; ces équations donnent
c'est-à-dire un cercle, et la surface est un hyperboloïde de révolution. Prenons /; — r cos w ; on aura
y -= ~ cos 2w-hfi,
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(i6 X, AiNTOJIARl
Prenons enfin h — r cos/)w, et nous aurons
a: = *■ I COS (u Cosjjwrfo), y " r / sin "I cos;?u)rfu),
qui définissent une ligne plane algf^briquo si f ^^- La surface elle-même est algébrique.
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