LIÉ AU CORPS

62. Je me bornerai ici à indiquer comment on peut obtenir les coordonnées d'un point de l'arête de rebroussement en fonction des invariants des deux surfaces. Soit (ro) un plan invariablement lié au corps. Considérons-le à un instant donné

et soient PQR {fig. 12) sa position par rapport au trîèdre attaché à ta base et P'Q'R' [fig. 13) sa position par rapport au trièdre attaché à la roulette, ces deux trièdres étant eux-mêmes figurés à part, bien qu'ils soient constamment confondus. Menons AH et A'H' perpendiculaires respectivement à PQR et à P'Q'R' et a

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p la longueur AH — A'H' ;

a, b, c les cosinus dirc^cleurs de cette perpendiculaire par rapport au trièdre mobile.

Supposons d'abord que la roulette soit immobile et cherchons comment varie f quand le trièdre (A'.X'Y'Z') se déplace sur cette surface ; pour cela nous remarquerons que le point H' se déplace toujours dans le plan PQ'R', de sorte qu'il nous suffira d'exprimer que la vitesse du point H' est constamment perpendiculaire à la direction a, 6, c. Or, les coordonnées du point H' par rapport autrièdre (A'.X'Y'Z') sont

jsa, pfi, fc ;

donc les composantes de la vitesse de ce point par rapport au même triùdrc ont pour expression (n" 1)

, dn db

dt ' dt ' " '

dû de , ^ , dt ^ dt '

Si l'on ajoute, après avoir multiplié respectivement par a, h, c. on doit a ytc = 0,

dp Ht c'est-à-dire

formule qui définit la variation de p quand la roulette est immobile.

Cela posé, remarquons qu'à l'instant considéré le plan (ra), supposé rapporté à l'un quelconque des trièdres (A. XYZ) ou (A'.X'Y'Z'), a pour équation

(2) a\ -t- 6Y -+-CZ ~p = U.

Désignons par le symbole S toute variation correspondant à un déplacement du trièdre (A'.X'Y'Z') et la roulette étant supposée flxe; soit de même S| toute variation correspondant à un déplacement du trièdre (A. XYZ) sur la base. Pour amener le plan (») d'une position à une autre, on peut concevoir que la roulette restant fixe le trièdre attaché à. la roulette passe de la position (A'.X'Y'Z') ou (A, XYZ) à une position 1A;.X;y;z;) ; par rapport Et ce nouveau trièdre, le plan qui n'a

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de position dans l'espace, occupe une position PÎQ',R|, et sonéquation esl

(3) (a + 3a]XH-(é+Si)Y+(c-t-5C)2 — (p-^5p} = 0.

On peut concevoir ensuite que la roulette se déplace de manière que (A.X.YZ) vienne en (Ai.XjYjZ,) et par suite aussi (k', .%[Y[Z',) en (Ai.XiYiZi) ; dans ce nouveau déplacement, les coefficients ne changent plus et l'on imprime à tous les points du plan le mouvement du système, de sorte que les nouvelles coordonnées