IV. — La thansformaïion de M. Guiciiard
'22. Dans une note déjà citée, M. Guichard a énoncé la proposition suivante déduite de sa transformation :
Si i'«n considère une congruence de normales d une surface réglée, il correspond une
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Al'I'LLCA'nOK III! LA MÉTHODIi CIN'ÉMATIOUE A L^ÉTUDE IIES SURFACES RÉGLÉES 33
congruence dont ta surface moyenne est un plan, dont l'une des focales est une surface développable et dont Vautre est un lieu de paraboles.
Je vais donner la démonstration de cette proposition comme application des invariants et du triÈdre attaché à une surface réglée. Voici d'abord en quoi consiste la transformation de M. Guichard :
Soient une droite D {fig. 8), un plan P et un point do ce plan. Jemèneparun point M pris sur D la perpendiculaire Mm sur le plan P et je fais tourner le
point m de 90° autour de dans un sens convenu, ce qui l'amène en m'; puis, par le point m', jemènelaparallèle D' à D. Si D engendre une surface réglée R, et M une courbe de cette surface, D' engendre la transformée R.' de R; cette transformée varie avec la courbe décrite par le point M sur R.
Cela posé, soit AX une génératrice d'une surface réglée R et soit (à.XYZ) le trièdre attaché h la surface. Prenons pour trièdre fixe le trièdro {O.xyz) et supposons que le plan fixe de la transformation soit le plan des xy et que le point fixe soit le point 0. Soient î,-^, Z les coordonnées du point A (point central), M un point quelconque de AX et MN la normale à R en ce point. Si l'on appelle p l'abscisse de M par rapport à A, x, y, z, ses coordonnées absolues, on a
= ï+Tp;
d'autre part, les c sont
jmposantes, suivant les axes mobiles, de 1
vitesse absolue de M
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à(i X. ANÏOMAliT
ce ([Tii montre que les cosinus direclcurs de MN pat' rapport aux mûmes ases sont
Le point m a pour coordonnées
et le point correspondant m\
d'ailleurs si l'on mène m'N' parallèle à MN, cette direction étant perpendiculaire à AX et à la projection sur YAZ de la vitesse da point M, ses cosinus directeurs sont proportionnels à
— K + p«!, — /c^i + pPj, — /CTi + PTa-
Il en résulte que si X désigne l'abscisse d'un point quelconque p de m'N' par rapport à m', les coordonnées du point p sont données par les formules
(1) I y---- ? + ^? + î.(-^P. + pW,
( 3 = '■{—/(•!, 4-pYs)-
1" Quand M parcourt AX, m'N' enveloppe une parabole. — Lorsque M parcourt AX, ( est constant et p seul varie. Différentions alors les équations (1) par rapport à p et nous aurons la vitesse du point p quand M se meut sur AX. On obtient ainsi
I dx „ , d\ .
Pour que le point p décrive une courbe tangente à m'N', il faut et il suffit que sa vitesse soit perpendiculaire à la direction a. p, f et à la direction
pïi-H^ï,, P^i + ^f?3i pTi + ^Ta,
qui est celle de la projection sur YAZ de la vitesse du point M.
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APPLICATION DE LA MÉTHODE GISÉMATIIJIIE A l'ÉTUDE DES SURFACES RÉGLÉES 37
Or, si l'on ajoute membre k membre les équations (2) après les avoir multipliées respectivement par a, p, y, on trouve identiquement zéro. En opérant de même avec la seconde direction et exprimant que le résultat est nul, il vient
Ik -h PY, — ky, = 0, ce ([ui définit la valeur de À,
Je porte cette valeur de 1 dans les équations (1) qui définissent alors l'enveloppe de m'Ji'. On voit que le lieu déûni par ces équations est une parabole.
%" Le symétrique par rapport à m' du point p où m'N' touche la parabole décrit une droite.
Ce point est en efîet défini par tes équations (1) dans lesquelles on fait
Or, si l'on remplace "k par cotte valeur, p et a respectivement par Y,a,-.,Y, et P,7.-YiP„
il vient, après réduction,
ces équations défmissent bien une droite A, parallèle à la direction a^, fij, fa de l'axe de la parabole.
Dans les équations (3) qui défmissent la droite A, je pose
^T, — 2pTi = '-;
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00 X. ANTOIIARI
elles deviennent
Je vais montrer que si AX se ddplaefi sur R, la droite ^ engendre une surface développablû. Difl'érentions pour cela les équations (4) par rapport à l, ce qui donne
— ft? — /c^j -H l'a, -
- i(^ + Os! + '■'^i + Si-/,
dy
dl
fa+fai + f?,-
-l(P + lW + ."p, + Or(i,
dl dl
On a ainsi la vitesse d'un point quelconque \>. do i. Pour que cette vitesse soit parallèle à A, il faut et il suffit qu'elle soit perpendiculaire à a, p, ■( et à a,, Pi, Ti', or, si l'on ajoute les équations (5) après les avoir multipliées respectivement par H, p, •(, on a identiquement zéro; si l'on opère de même avec «i, p,, yi, on doit
/iy^ — /£-/ + /' 4- flr = 0, relation qui définit r.
La grandeur de la vitesse s'obtient en projetant sur kj, f.^, y^; on obtient
V = - h-(i -W-hr':
d'autre part, si l'on appelle maintenant p le rayon de courbure de l'aréto de rebroussement, on a aussi
de sorte que ? sera défini par l'équation
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Al'PLiGAriO.N DE LA MÉTUODE CISEIIATIQ [.■!■; A 1. É'I'UDE DES KUllL-'AflES RÉGLÉE?:
ILTUDE DE L ELEMENT LINEAIRE
23. Expression tlt; rôlément linéaire . — IS'ous avons VU (n" 8) quo la vitesso d'un point M sur AX, dont Tabscisse est >., a pour composaiilos suivant les asûs mobiles
di
Si donc ou désigne par s Tarcde trajectoire décrite par le point M, on a
Avec les variables choisies >> et ;, Tespression de l'iîléincnt linéaire d'une surface réglée est donc
(1) rf.!= ^ a(X^ + 2ArfX(;i + (r + P + >.^)(;;^
24. Suplaces réglées applicables génératrices par génératrices. — Cette expression est indépendante de et elle ne dépend que de A et de k. Prenons alors un cône directeur absolument arbitraire, ce qui revient à se donner arbitrairement 6 en fonction de i ; on pourra supposer les neuf cosinus directeurs des arêtes du trièdre mobile exprimées en fonction de t également. Supposons enfin que A et A se rapportent à une surface R donnée à l'avance et dont le cône directeur soit différent de celui qui a été pris arbitrairement ; toutes les surfaces réglées définies par les équations
z = f[lfi-i-/;-i.,)dt+ly,.
relativement aux axes fixes, ont même élément linéaire que la surface R et sont applicables sur elle génératrice par généi-atrice, d'où ce résultat bien connu :
// existe une infinité de surfaces réglées applicables sur une autre génératrices par génératrices ci toutes ces surfaces ne différent entre elles que par le cône directeur.
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■40 \-. APTOMARI
25. Surlaces rëgléos applicables avec paralléliBme des génératrices. — L'expression de l'élément linéaire ne change pas quand on change k en — k; d'où cette proposition de M. Beltrami(') :
Une surface réglée étant donnée, il en existe une autre qui lui m applicable et dam laquelle les génératrices correspondantes sont parallèles et de même sens.
Si la première surface est définie par les équations (2) relativement aux axes fixes, la seconde sera définie par les équations
'■ x = j\ha — lM.^dt-+-U, (3) y:-.f{h?-k'^,)dl-i-).^,
qui montrent que les deux surfaces, bien qu'applicables l'une sur l'autre, ne peuvent ôtre déduites l'une de l'autre par une déformation continue, car les tangentes aux deux lignes de striction aux points correspondants sont également inclinées sur la génératrice mais en sens inverse.
Par exemple, si les surfaces sont à plan directeur, les dérivées des élévations des génératrices par rapport à un même plan parallèle au plan directeur sont égales et de signes contraires, ces dérivées étant prises par rapport à ? ; si donc z et Si sont les élévations des génératrices correspondantes, on a
dz dz.
Il en résulte que les lignes de striction des deux surfaces sont symétriques par rapport à un plan parallèle au plan directeur.
26. RelalloDS entre les courbures des arêtes de ribrousseinent des développables asymptotes de deux suviaces réijlées applicables avec parallélisme des génératrices. — Soient l et l^ les longueurs qui, avec les arêtes de rehroussement.
I') Suila jlessione délie svper^cic rigate ; Annali di Matematica pura ed applicala, ■
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APPLICATIO:V DK f.A MÉTHODE CINÉMATIQUE A L'ÉTUDK [)ES SUUFACES HÉGI.ÉES 41
définissent les deux surfaces (14) ; soient, d'autre part, p et t les rayons de courbure et de torsion de la première courbe, p, et ■: ceux de la deuxième au point correspondant. Puisque les surfaces ont leurs génératrices parallèles, on a
c'est-à-dire
Kn exprimant que les invariants k sont égaux et de signes contraires, obtient
enfin, en exprimant que les invariatils h sont égaux, il
(6) p-(/+n=pi-{'.+'''t),
De CCS relations on déduit les suivantes ;
qui définissent entièrement la seconde surface au moyen de la première et, par conséquent, les arêtes de rebroussement en fonction l'une de l'autre.
