AM'UMAHI
l'on ail ciitri' p el - uue relation de la l'orme
Or, si des équations (7) on tire p et -c en fonction de p, et t^, piiÎKijuû l'on remplace dans l'équation (9) en tenant compte de (8) il vient, loatos réductions faites,
(10) 'in^H- = 1,
ce qui montre que dans la seconde snrface l'arête de rebrousscment de la développable asymptote est aussi une courbe de M. Bertrand.
SI la constante C est nulle, il est évident que les arûtes de rebrousscment sont identiques.
On voit donc que si dans le mode de génération d'une surface réglée donné n° 14 les longueurs que l'on porte sur la normale principale sont égales et de signes contraires et ont pour expressions respectives
A sin(( + B) et — A sin(( + B),
A et B désignant des constantes arbitraires, on obtient deux surfaces applicables avec parallélisme des génératrices.
Ceci donne le moyen de eonstruire des couples de surfaces jouissant de la propriété énoncée en parlant d'une courba gauche quelconque.
28. Siirlaces l'éalécs ap plloal) les su i- l'ai ys séide. — L'élément linéaire dos surfaces réglées applicables sur i'alysséide ou sur riiypcrboloïde de révolution se ramène (') à l'une des formes suivantes :
(11) ds^ = du^ '\-{a^-i-b^)dv\
(12) ds' -^ du^ + [{u + avf+P]dcK'
Dans le premier cas, les génératrices de la surface réglée correspondent aux méridiens de I'alysséide, et dans le second cas, elles correspondent aux génératrices de l'hyperboloïde.
a Ikéoric géncrak des surfaces, par M. Darbous (3= pai'tic, pjgo 2Î1).
Hosted by
AI'PT.LCA'riO.X IIK T,A MKTMODE C.IMarA'L'LOlK A T.'CTUDE llKt^ SUIlt'ACES RÉr.LliES 43
D'autre part, si l'on pose
— ( hdl = <f(i), X =..< + ^((), l'expression (1) de l'élément linéaire d'une surface réglée se réduit à
HZ) ds' ^. du' + \lê +{u -^'i[t)Y\dt\
Si Ton identifie d'abord les expressions (H) et {13) de l'élément linéaire en posant
on obtient
fit par suite
Il suit de là que les surfaces régUes applicables sur lalysséide de manière que. les génératrices correspondent aux méridiens, sont celles pour lesquelles l'invariant h est nul et le paramètre de distriàutton constant.
Si l'on se reporte alors à la signification des équations simultanées
on voit que la surface est un lieu de binormales à une courbe gauche h. torsion constante ; donc
Lorsqu'une surface réglée est applicable sur Calysséide, la ligne de striction est une courbe à torsion constante^ et la surface est le lieu des binormales à cette courbe.
29. Surfaces réglées applicables sur l'hypei-boloïde de révolution. — Identifions les expressions (13) et (12) de l'élément linéaire. La correspondance entre les génératrices des deux surfaces sera définie par l'équation
v = t\ en outre, on doit avoir
là ^ b-.
44 X. ANTOMARI
donc quand une surface réglée est applicable sur l'hyperbolvïtie de révolution, les deux invanants h et k sont constants ; ce qui était du reste évident a priori puisque l'applicabilité des surfaces réglées génératrices par génératrices ne dépend que de h et de A. et que, d'autre part, dans l'hyperboloïde de révolution, h et k sont constants.
Prenons h ~ a et le = b ; toutes les surfaces réglées applicables sur l'hyperboloïde de révolution avec correspondance des génératrices aux génératrices, et rapportées aux axes fixes, sont définies par les équations
y ^j"(ap-H%)rfi-i-X^, z =j{a'(-\-b-!^)dl-^h!.
La ligne de striction est représentée par les mêmes équations où l'on a fait X = ; or on reconnaît dans ces équations, celles qui définissent les courbes de M. Bertrand ; d'oii ce théorème dû h. Laguerre :
Quand une surface réglée est applicable sur l'hyperboloïde de révolution, sa ligne de striction est une courbe de M. Bertrand.
30. Remarque I. — Qu'il s'agisse d'une surface réglée applicable sur l'alysséide, ou d'une surface réglée applicable sur l'hyperboloïde de révolution, il y a lieu d'examiner la nature de la développable asymptote. En appelant, comme toujours, p et -c les rayons de courbure et de torsion de l'arfitfi de rebroussement, on a, dans le cas de l'hyperboloïde,
ri+n.
le cas de l'alysséide s'en déduit en faisant
Ces formules définissent l'arête de rebroussement de la développable asymptote Dans le cas très simple où l+T = 0, elles deviennent
Hosted by
APPLICATION DE LA MÉTHODK CINILMATIOLE A L'ÉTUDE DES SURFACES RÉGLÉES AÔ
11 y a lieu d'observer que l'arête de rebroussement ne doit pas être quelconque, car il doit exister entre p et t une relation qu'on obtient d'ailleurs en éliminant / entre les expressions do p et de t.
31. Remarque II.— Considérons deux surfaces réglées R et R,. Soient 0, /i, k les invariants de la première exprimés en fonction de l'arc i de la représentation sphérique de cette surface ; soient de môme e„ fi„ k^ les invariants de la seconde exprimés en fonction de l'arc l, de sa représentation sphérique. Supposons qu'en faisant correspondre sur les deux surfaces les génératrices pour lesquelles C^ = l, on ait constamment
ce qui revient à dire que h, et h d'une part, /c, et k de l'autre sont les mômes fonctions de ( ; il est clair que les éléments linéaires des deux surfaces sont les mêmes et par suite que les deux surfaces sont applicables génératrices par génératrices, comme cela a d'ailleurs déjà été observé (24).
Considérons maintenant une seule surface R ayant un cdne directeur absolument quelconque et supposons qu'en faisant varier l de a îi è les invariants A et A passent successivement par les mômes séries de valeurs que si l'on fait varier t de c à d; alors la portion de surface qui correspond aux variations de t dans le premier intervalle est applicable génératrices par génératrices sur celle qui correspond au second. Il en sera ainsi en particulier si A et k sont des fonctions périodiques de ( ayant la même période, pourvu que fl ne soit pas une fonction périodique de ( de môme période que hel k ; car s'il n'en était pas ainsi, les portions de surface correspondant à deux périodes seraient non seulement applicables, mais superposables. — Si A et A sont constants, quel que soit 9 la surface est applicable sur elle-même dans toutes ses parties ; par exemple l'hyperboloïde de révolution est applicable sur lui-même dans toutes ses parties, mais comme est constant, il est superposable à lui-même.
I VI, ■ — Étude des trajectoires orthogonales des généhatriges
32. Pour étudier les courbes tracées sur une surface réglée, nous supposerons la surface rapportée à un trièdre parallèle au trièdre (A.XYZ), de même sens que lui et dont le sommet se déplace surlacourbc considérée; soit(M.X|Y,Z,) ce trièdre
Hosted by
ot soient n, b, c les composantes par rapport à ces nouveaux axes de la vitesse du point M, En appelant i l'abscisse du point central par rapport au point M, on a (évidemment
de sorte qne si x, y, z sont les coordonnées absolues du point M, on a aussi
trajectoire orthogonale de la surface, on a
dl db
\ dt " ' ' ^ '■
33 . Expressions du rayon de courbure normale el du rayon de courbure géodesique d'une trajectoire orlbogouale. —Soient MT la tangente en M à la trajectoire orthogonale, MN la normale principale, MB la binormale à cette courbe et enfin ML la normale en M à. la surface. Si l'on appelle V la vitesse du point M et s l'arc de trajectoire orthogonale, on a
Cherchons d'abord le rayon de courbure normale et le rayon de courbure géodésique en M à la trajectoire orthogonale ; désignons-les respectivement par pn et par pg; pour les obtenir il suffira de projeter l'accélération du point M sur la normale h. la surface et sur le plan tangent en M, ou, ce qui revient au même ici, sur la normale k la surface et sur la génératrice MX.
Or, si l'on différenlie la formule
= — 6(^-1- ')a,l. -l- cny.,
Hosted by
Ain'LKATlO.N l>i; LA MÉTHODE CINKMAÏIOU}'; A l.lilïUBE DES SURFACES RtlllLÉKS 47
ce qui montre que les composantes d(* Tiiccélératioa du point M siiivanL ks axes mobiles sont
La composante suivant MX est donc — b ; d'autre part elle est — ; on t donc
Je projeUe maiiilenaiiL sur la normale à la surface ; je remarque d'abord poui cela que les cosinus directeurs de celte droite sont
par conséquent, la projection de l'accélération sur cette droite a pour expression bc' — cb' ~ 1(ti^ -^ c^) ^
d'autre part la projection est égale à ~ ; on a donc
\' bc' — c/)'~Di/>^ + C')
On peut donner à ces formules une autre forme au moyen de l'angle o que fait la trajectoire orthogonale avec MY ; il suffit pour cela de poser
et il vient ainsi \ = r et
[ 1 cos ■*
La dernière se met encore aisément sous la fori
(6) i = l('l»oV
p. r\dl I
Hosted by
48 X. ANTOMARI
Ces formules prises sous n'importe quelle forme se prêtent facilement à l'étude des variations de la courbure normale et géodésique le long d'une génératrice. Ainsi l'on a
et si l'on pose p^ = Y, b — \, on voit que Von obtient une hyperbole équilatére pour représenter les variations du rayon de courbure géodésique ; l'équation de cette hyperbole est
Au point central la courbure géodésique de la trajectoire orthogonale est nulle, ir on a fi = ; quant à la courbure normale, elle prend la forme simple
34. Remarque. — On passe évidemment d'une trajectoire orthogonale à une autre en ajoutant une consfante îi fi.
33. Trajectoires orUio(|ooales qui souilles cercles géodésiques- — -Lorsque 6 et c sont des constantes, toutes les trajectoires orthogonales sont des cercles géodésî-
ques; les diverses expressions de — montrent que c'est là le seul cas où toutes les
Pi:
trajectoires orthogonales sont en même temps cercles géodésiques. Dans ce cas on a
et la surface est, comme on l'a vu {2a), formée par les binormaleB à une courbe à torsion constante, applicable sur l'alysséide. On sait d'ailleurs que toutes les fois qu'il y a sur une surface une famille orthogonale composée de géodésiques et de cercles géodésiques, la surface est applicable sur une surface de révolution de manière que les méridiens correspondent aus géodésiques elles parallèles aux cercles
L'expression de — prend la forme simple
or, si l'on se reporte à la génération de la surface au moyen do la développable
Hosted by
asymptote, on a
Ainsi, quand une surface réglée est formée par les binormales aux divers points d'une courbe gauche à torsion constante, le rayon de courbure normale en un point quelconque de cette courbe est égal à la- distance de ce point à la génératrice correspondante de l'arête de rebroussement de la développable asymptote.
Laissons de côté le cas particulier où i et c sont constants et cherchons s'il existe des trajectoires orthogonales qui aoicntccrclesgéodésiques de rayon m; on devra avoir
i^-(- t^ = —nib, c'est-à-dire
(7) 6^ + /^^ = mi,
égalité qui établit une relation entre les invariants de la surface, de sorte qu'en général il n'y a pas de trajectoire orthogonale qui soit en même temps cercle géodésique.
Supposons qu'il y en ait une et voyons s'il en existe une autre, cercle géodésique de rayon n; si l'on désigne par p une constante a déterminer, on devra avoir
(S) (* + pj> + f = -»(6 + |i)
en même temps que (7); d'où, en retranchant (7| et {H] membre à membre,
(9) lb^+^^ ^ [m — n)b—n'^.
Si l'on avait 2p i^ m — n, cette relation ne pourrait donner des valeurs constantes de p que si l'on avait b — C"^ ; on aurait alors à cause de (7| k ^ C" et nous rentrerions dans un cas déjà examiné. Pour qu'il y ait deux trajectoires orthogonales qui soient en même temps des cercles géodésiques de rayons différents, il faut donc que Ton ait
et par suitCj en vertu de (SI),
Hosted by
ot alors flnalciïient
Ainsi, chaijue /ois qu'une trajectoire orthogonale est cercle géodésique, il y a une autre trajectoire orthogonale qui est un cercle géodésique dont le rayon est égal et de signe contraire à celui du premier; le raisonnement prouve qu'il n'y en a pas d'autres.
36. TorsiOQ et torsion géodésique des ti'ajectoires orthogonales. — Cherchons maintenant la torsion géodésique des trajectoires orthogonales. Appelons -c le rayon rie torsion de la trajectoire orthogonale qui passe par M, u l'arc de la représentation sphériquc de la bmormalc; on a
d<j dts ds r dt di dl t
ce qui donne l'expression de la vitesse du p int [x de la représentation sphérique qui correspond au point M. Cherchons les composantes de cette vitesse suivant les axes mobiles ; pour cela appelons tu l'angle de la normale principale en M avec la normale ML, et ï, v], Ç les cosinus directeurs de la binormale par rapport aux axes attachés à la surface ; puis appliquons les formules du n" 1 en faisant abstraction de la translation. Une première expression de la composante suivant MX est ainsi
icconde expression est
on a donc
Hosted by
APPLlCAÏIOiN m; l,A HKTHODE CI.\ÉMAIigilli ,\ I,'ÉÏL1|)E IIKS SUKFACES llÉGT.ftES 31
en portant dans l'équation (10) il Yicnl, après avoir divisé par sin <u, d<^ r
d'oLi l'on tire l'expression tle la lorsion géodésique
fi|\ 1 (/o) sin cp c
■: lis ~ r ~ ï^ + c^
On voit en particulier que pour le point central le rayon de torsion géodésique est égal au paramètre de distribution de la surface.
Lignes asymptotiques
37. Ëqaalton des lignes asymptoliques. — Je ne dirai que quelques mots sur les lignes asymptotiques. On obtient immédiatement leur équation en exprimant que l'accélération du point M est dans le plan tangent à la surface en ce point. Or, si l'on conserve les mêmes notations et les mêmes axes que dans le paragraphe précédent, les composantes de la vitesse sont
dl
X étant supposé compté à partir du point central; ou en déduit immédiatement tes composantes de l'accélération en dérivant l'équation
et l'on obtient
L'équalion des lignet'
c'est-à-dire
;ymptotiques sera donc
/i ^- 0/; ^- 2).' k' — ex
lit ^ ni) ^ /;{/|-l-07v^i- 2J'),
Hosted by
52 X. ANTOMAIii
38. Condition que doivent remplir les invariants pour que la ligne de slricllon soit ligne aymptotique. — Pour que la ligne de slrielion soit lig^ne asymptoliqne, il faut et il suffit que l'cquaLion (1) soit identiquement, satisfaite pour X = 0; ce qui exige que l'on ait
39. Un cas d'intégration de l'équation des lignes asymptotiques. — L'équation des lignes asymptotiques s'intcgre lorsque la surface est un, lieu do binormales, d'une courbe à torsion constante, c'esL-à-dire lorsqu'on a
/i - et k = C'^
Si l'on pose en effet h = et k ^ a dans l'équation (1), elle devient
et donne immédiatement
arc ^K - = - 2 i ^''^ '
or, si Ton appelle p et t les rayons de courbure et de torsion de l'arête de rebroussement de la développable asymptote, on a
et d'autre part, si l'on prend pour variable ind(5pendante l'arc n de l'indicatrice sphériquQ dos binormales à cette arête de rebroussement, on a aussi
il en résulte que les lignes asymptotiques de la surface sont définies par l'équation
G désignant une constante arbitraire.
40. Tliéorème do M. Beltramt (*}. — L'équation dos lignes asymptotiques ne
Hosted by
APPLICATTON IlE LA MÉTHODE CINÉIÎATIQUE A L ÉÏUIIE DES SUliFACKS RKGIÉES
contient 6 qu'au premier degré; résolue par rapport à fl elle donne \k' — 2/cÀ' — kh
quo l'on peut considérer comme dâflnissant 9 on fonction do k, h et X. On a doue la proposition suivante, due à M. Beltrami :
Toute surface réglée peut être déformée de manière qu'une ligne quelconque tracée sur la surface devienne une ligne asymptotique de la transformée.
En particulier, si la courbe tracée sur la surface est une trajectoire orthogonale des génératrices, on a la proposition suivante, due à Bour ('} :
On peut par une déformation rendre toutes len génératrices d'une surface réglée normales principales de l'une quelconque de leurs trajectoires orthogonales.
41. Autre forme de l'équation des ligues asympto tiques. — On peut donner une autre forme à l'équation des lignes asymptotiques. Soit, pour cela, M un point quelconque de la génératrice et MT la tangente asymptotique en ce point. Menons par M le trîèdre iM.X,Y,Zi) parallèle au trièdre (A.XYZ) et appelons a, à, c les cosinus directeurs de MT par rapport à ce trièdre, f et ? les angles polaires qui définissent la direction. Soient enfin MN la normale principale à la ligne asymptotique et MG la projection de MT sur le plan Y,MZj.
La direction MN est celle de ta vitesse d'un point de coordonnées a, 6, c quand on fait abstraction de la translation de l'origine; or, les composantes de cette vitesse sont
da
^ I dl
Pour que MT soit tangente asymptotique, il faut et il suffit que MN soit dans le plan XMG, c'est-à-dire que Vï et Vz soient proportionnels à 6 et à c; ce qui donne, pour l'équation des lignes asymptotiques,
, de dh
(') Boui', Journal de l'Ecole Polylechnigtie, e:
Hosted by
j a — sin <f, (4) I ô — cos f cos il".
f c — cos !f sin i-,
et, en remplaçant a, è, c par ces valeurs dans réquation (3), on obtient, toutes réductions faites,
-^6H-ts,sm^.
On peut remarquer que Vj^, Vï et Vz sont précisément les composantes du déplacement qui donne la courbure de la ligne asymptotique ; de sorte qne si p est le rayon de courbure en M et s l'arc décrit par ce point, on a
ce qui permet d'obtenir le rayon de courbure de la ligue asymptotique.
I VIII. — LiCtNES géodésiques
42. Équation des lignes gëodéstques. - On obtient immédiatement l'équation dos lignes géodésiques en exprimant que le plan osculateur de la trajectoire d'un point M est normal à la surface; on obtient ainsi l'équation
-h' — i 2V + fi + ei
ou, en développant,
(1) f),a+PX>,"+fi^),)X(V4-fi)=-(V+A)(ÀV-
AIT Lie AT ION DK LA MÉTIIODK CLNiiLMAÏlOUi; A L liïUllK ln;s SULIFACKS KEGLKES OO
43. Forme remarquable de l'êquatlon des lignes gëodéslques. — Celle équation peut être mise sous une forme rcmarquablomûnt simple. Désignons en effet par a, b, c les cosinus directeurs par rapport aux axes (M.XY,Z,) de la tangente en M à une géodésique. Le déplacement de la représentation sphérique de cette direction est parallèle à la normale principale en M à la géodésique ; par suite il est perpendiculaire à la génératrice, et sa composante suivant MX est nulle.
Or, comme nous l'avons déjà vu à plusieurs reprises, la composante suivant MX du déplacement de la représentation sphérique est
da
on doit donc avoir, si la trajectoire du point M est une géodésique, et alors seulement,
Telle est l'équation réduite cherchée des lignes géodésiqnes.
44, Expression de l'ai^; de géodésique d'une surface développable. — Je vais donner tout de suite une application de l'équation (2) aux surfaces développables. Dans ce cas si l'on appelle '> l'angle de la géodésique avec la génératrice, on a
et par suite l'équation (2) donne
d'oTi, en désignant par G une constante arbitraire,
On achève facilement dans ce cas l'intégration de l'équation des géodésiques ; mais je vais en tirer une autre conséquence. On a, en effet, pour définir la g
cotg?--j-, c'est-à-dire
(3) cotg(C — =^ ^^^'
Hosted by
filj X. jVNTCIHAHI
d'autre part, en appelant S l'arc de géodésique, on a
dS' = [X= + {X' + A)sjrf(2, expression qui devient, en Yertu de (3),
{V + k)dt \dt
[i] rfS =
Cûs(C — t) sin{C — l)
Or, si l'on désigne par n l'arête de rebroussemeul de la dévcloppable el par p son rayon de courbure en M, on sait que l'on a
dt
du " dl
et l'équation (3) des lignes géodésiques devient
rfit+(w — t) cotg((— C) dt = 0; équation que l'on peut écrire successivement
du-\~u cotg {t—C)dl = s cotg{t — C)dt,
d[u sin((— €)] = <j cos(i — C)di, d'où l'on tire
{\ oos lt — C)dl'+-C'
sin(i — C) 11 en résulte pour l'arc de f!;éodés!que la formule
,„ ds c- /p=.°('-C)-"
''°' dl ""sin*(i — C) sin'(( — C)
Remarquons maintenant que l'on a
tg?--tî;U-C)
Hosted by
APPLICATION DE LA MÉTHODE CIWIiMATIOL'E A l'ÉTUDV: DES SURFACES RÉGLÉES 57
et rappelons que M. P. Serret a démontré dans sa thèse (page 139) qu'en chaque point d'une ligne géodésique tracée sur une surface développable, le rapport — ' des deux courbures de la géodésique est égal à la tangente trigonométriquc de son inclinaison sur la génératrice correspondante. On aura donc
|j! = -00tg((-C).
Or, dans la fonnnl»; [A) ■ au signe près; posant alors
/'psiu!( — C)(/.
sin^{i — C) et intégrant, il vient
(3) s^S, = -C'^^-ff[t)dL
Voici deux conséquences de cette formule :
1° Si !a surface développable est un cône, on a p = 0, et la formule (j) donne
Ri Sp— S .
d'où il suit que dans toute géodésique d'un cène, le rapport des deux courbures est une fonction linéaire de tare.
2° Si l'arête de rebroussement de la développable est une courbe dont la première courbure est constante, on a encore, en intégrant,
cos{;
Sill^ [t
iik;^
dans laquelle a est la valeur constante du rayon de courbure de rareté de rebroussement de la développable.
4ï. Rayons de «oui'bure el de torsion des gcodésiquos. — Revenons maintenant
Hosted by
aux lignes géodésiques d'une surface quelconque el cherclions la courbure et la torsion en un point quelconque M.
Soit MT la tangente à la géodésique en ce point,, tp et ^l" ses angles polaires par rapport au triédre (M.XYjZ,) défini dans le paragraphe précédent.
J'appelle :
a, i, c, les cosinus directeurs de MT;
a', b,, c, ceux de la normale principale MN;
«2, b-i^ <^îi ceux de la binormale MB.
On a :
Sill ?,
--^ oos 7,
