COS
= — ski ? sin t.
Si l'on désigne par p le rayon de courbure de la géodésique et par s l'arc de cette
1 ds p dt
suivant MN. Projetons-la sur MX et sur MY, ; sa projection sur MX doit, être
nulle ; on en conclut (43) l'équation des lignes géodésiques
c'est-à-dire
(6) , g ™ oos +.
Sa composante suivant MY, a pour expression
1 ds , dl,
;- sm * el. -i- -h a — Oc ■
p dt dt
en égalant ces deux expressions il vient, après simplification des résultats,
i ds . . ( d'\\ [Il — - = — sin tp sm i}' — e cos <o,
équation qui déiinit le rayon de courbure.
Pour avoir le rayon de torsion, il sufflt de même d'égaler deux expressions de la projection sur MZi par exemple, de la vitesse de la représentation sphérique de
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APPLICATIOIV l)i; r.A Mlh'lIODE CI^"ÉHAT^QUE A l ÉTUDE DES SUR^At
1 ds (,
•^ dt
c'est-à-dire, on tenant compte de (6) fit après simplification,
l'our u = 0, on retrouve bien l'expression de la courbure géodésiquc des trajectoires orthogonales (38).
46. Relation remarquable entre la courbui-e et la torsion d'une ligne géodésique ,
T- La comparaison des formules (7) et (8} conduit à une relation remarquable entre la courbure et la torsion. Si en effet on élimine entre ces deux relations on obtient
/sin u cos 9\ds . ,
Soit ). la distance du point central au point M ; on a
sin o cos u cos il- cos -f sin ■]/ 1 cos ?
îTTft ^ ~^^- "" ' "X ' ^' 7ds\ ~" ^VT'k^ '
sin f ^ cos f 7ds\~ îJ+F"' [dtj
et, en portant dans îa relation (9), il vient (40) m^^^,j^^
k cos tf ,
telle cstîa relation que je voulais établir.
On voit que pour un même point M elle ne dépend que de l'angle que la géodésique fait avec la génératrice.
La relation de M. P. Serret relative aux géodésiques dos surfaces dévolop-
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60 X. ANTOMARI
pables et dont nous nous sommes servis au n° 44 en est un cas particulier et s'en déduit en faisant k — 0.
47. Théorème de M. Bonnet. — Je terminerai ce qui est relalii' aux lignes géodesiques par deux propositions dues à MM. Bonnet et Beltrami.
Je reprends d'abord l'équation (1) des lignes géodésiques ; elle est satisfaite identiquement si le rapport - est constant et si à = ; or,
h signifie que la ligne de striction coupe les génératrices à angle constant ; de là la proposition de M. Bonnet (') :
Lorsque les génératrices coupent la ligne de striction à angle constant, celle-ci est une ligne géodésique de la surface.
48. Théorème de M. Beltrami ("). — La proposition de M. Beltrami s'énonce comme il suit :
3'oule surface réglée peut, par une déformation, être transformée en une autre et de manière qu'une ligne géodésique quelconque devienne une ligne 'droite.
Exprimons en effet que le plan osculateur de la trajectoire d'un point M est indéterminé, ce qui revient à exprimer que la trajectoire est une ligne droite. On obtient ainsi les deux équations
V^lt \ k
qui expriment que la courbe est à la fois ligne géodésique et ligne asymptotique ; mais si on les interprète autrement, on voit que si A et ^ sont des fonctions connues de t, et si de plus ^ est une fonction de t définissant une ligne géodésique, l'une quelconque des équations définit 9 ; de là résulte évidemment le théorème de M. Beltrami.
e l'École Polytechnique, t. X.1X,
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■ DE LA MÉTHODE urNLMATIOLK A l.'lÏTUDE DE3 SLRFACES HfiGLÉK
I IX. — Lignes de courbure
49. Équatlou des liijiies de courbure. — Soit M un point quelconque d'iinu ligne de courbure et soil ? la distance du point central correspondant au point M.
on trouve que les coordonnées du point I situé sur la normale en M et à la distance R de ce point sont, par rapport aux axes mobiles,
J!, = ^, î/i — — R sin f, !, = R cos ^ ;
les composantes, suivant les mômes axes, de la vitesse de ce point sont donc
On a du reste en dérivant l'équation (i)
Pour que le point I décrive une ligne de courbure, il faut et il suffit que sa vitesse soit dirigée suivant la normale IM ; ce qui exige que sa projection sur AX soit nulle et que ses composantes suivant AY et AZ soient proportionnelles à — sin <p et à cos f .
La première condition donne
J + n,mo + ^ =
la deuxième
Ue,
Î + Jsiii?+R(»-
dtl
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62 X. ANÏOMARI
L'éliminatioû de y entre les relations (1), (3), lA) et (3) conduit aux deux nouvelles relations
Pour obtenir l'équation des lignes de courbure, il suffit d'éliminer R enLre ces deux équations ; on obtient ainsi
("-s)L-Fn^-T
50. Équation aux rayons de eourbui-e pptneipaux. — Si au lieu d'élimiaer R entre les équations (6) on élimine -T- . on obtient l'équation admettant pour racines les rayons de courbure principaux ; cette équation ordonnée par rapport à R se met sous la forme
La comparaison de cette équation à l'équation (11} du § VI conduit à la proposition suivante :
En tout point d'une surface réglée la courbure totale est égale à la torsion géodésique de la trajectoire orthogonale qui passe par ce point.
L'équation (8) met en évidence une autre propriété. Pour qu'au point M les rayons de courbure principaux soient égaux et de signes contraires, il faut et il suffit que l'on ait
(9) i^^kh-(,[k'^i'} = Ù.
Cette équation est du premier degré en 6 ; il en résulte que si ^ est une fonction donnée de (, elle définit une valeur de fl et une seule ; donc une surface réglée étant donnée, on peut, par une simple déformation, en obtenir une autre telle que les rayons de courbure principaux soient égaux et de signes contraires tout le long d'une ligne donnée à l'avance.
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APPLICATION DE LA MÉTHODE CINÉMATIQUE A l'ÉTDDE DES SURFACES RÉGLÉES 63
51. Surfaces réglées mlnima. — Pour que les rayons de courbure principaux soient égaux et de signes contraires en chaque point de la surface, il l'aut et il suffit que l'équation (9) soit une identité. On en déduit
A = 0, /,■ --- C" cl li = 0,
donc les seules sur faces réglées minima sont les hélicoldes à plan dlrecleur.
52 . Autres propriétés relatives aux lignes de courbure. — Reprenons l'équation des lignes de courbure ; l'invariant 1 y entre au premier degré, de sorte que si ft, /c et î sont donnés en fonction de t, elle donne une valeur réelle pour 0, d'où, la proposition suivante, due à M. Beltrami :
Une surface régléeétant donnée, onpeutpar une simple dé formation en obtenir une autre admettant comme ligne de courbure la transformée d'une ligne quelconque tracée sur la première.
11 faut toutefois observer que la ligne tracée sur la première surface no doit pas être une trajectoire orthogonale des génératrices ; car, s'il eu, était ainsi, on aurait
, a"; dt
et Ton ne pourrait plus résoudre par rapport à H.
Il est évident a priori que les trajectoires orthogonales des génératrices ne peuvent être lignes de courbure ; ce fait résulte aussi de la forme de l'équation (7) qui montre en outre que dans une surface développable toutes les trajectoires orthogonales sont des lignes de courbure, ce qui était du reste aussi évident.
53. Condition pour que la ligne do striction soit ligne de courbure. — Pour que la ligne de striction soit une ligne de courbure de la surface, il faiit et il suffit que l'équation (7} soit satisfaite quand on y fait ^ — 0, ce qui exige que l'on ait
/( = Oh.
Toutes les surfaces jouissant de cotte propriété sont définies par les équations
flO) ?/-— fhdp^ + X'fi,
\ z = — fkd-;, + h!.
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