A LA GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE PRÉFACE

L'œuvre de Grassmann ('), — H. Grassmann a enrichi la science mathématique d'une branche nouvelle qu'il désigne sous le nom de Ausdehnungslehre (ou science des grandeurs extensives). C'est la théorie des fondements abstraits de la science des grandeurs ; son application particulière au cas où l'on (ait intervenir la considération de l'espace constitue la Géométrie.

La méthode de Grassmann comprend un ensemble d'opérations parmi lesquelles la multiplication extérieure et la multiplication intérieure jouent un rôle très important. Elle conduit aisément à la résolution d'une foule de problèmes qui se présentent non seulement en Géométrie, mais encore dans toutes les branches qui se rattachent à la science de l'étendue.

Malgré leur puissance et leur simplicité, les méthodes du

(') Nous nous bornons à citer ici les deux publications fondamentales : i" Die lineale Ausdehnungslehre, Leipzig. 1844; 2° Die Ausdehnungslehre, Berlin, 1862, Dans ce dernier ouvrage Grassmann présente sa théorie sous une forme entièrement nouvelle.

Les Œuvres cojnplètes de Grassmann, publiées par M. Fr. Engel. comprendront trois volumes; les deux premiers, seuls ont paru; Leipzig, i8yi».

Fehk. Géométrie infin. I

savant professeur de Stettin sont restées méconnues de la plupart de ses contemporains. Cet insuccès doit être attribué au grand nombre de notions nouvelles que Ton y rencontre, et au formalisme si abstrait dans lequel elles sont présentées. Ce n'est guère que depuis une dizaine d'anrtées que les idées de Grassmann ont été reprises et développées par un certain nombre de géomètres dans les divers pays. Tout récemment, à l'occasion du cinquantième anniversaire de la publication du premier traité de V Ausdeliiiii ugsleJii'e ^ M. V. Schlegel(') a retracé, dans leur développement historique, les progrès accomplis dans ce nouveau domaine.

Aujourd'hui l'étude de ces nouvelles méthodes est facilitée dans une large mesure par les exposés élémentaires que l'on doit à MM. Schlegel (^), Peano (^), Kraft (*), BuRALi-FoRTi f), Hyde (*), Garvallo (^) , Caspary (*), et d'autres, et par la publication des œuvres de Grassmann annotées par ]MM. Liiroth, Ed. Study, J. Grassmamn, 11. Grassmann fils, G. Scheffers et Fr. Engel.

Objet de ce Mémoire. — Parmi les nombreux tlomaines où l'on applique avec succès les principes deVAusdehiiungsle/ire, celui de la Géométrie infinitésimale nous a paru particulièrement intéressant, et c'est dans ce sens que nous avons dirigé nos recherches. Nous nous proposons de montrer dans ce Mémoire combien la méthode vectorielle sim-

(') Zeilsclirift fiir Mathematlk und Physik, Leipzig', annép i89G. — Cette notice est accompagnée de nombreuses indications bibliographiques.

(') System der Raamhhre, 2 volumes. Leipzig, 187a, 187.^.

(') Calcolo geometrico, Turin, 1888 ; Edition allemande : Die Grundziige des geomeirisehen Calculs. Leipzig, i8()i.

(') Abriss des geometrischen Kalkiils, Leipzig, i8(j'J.

(") Introduction à la Géométrie différentielle, Paris, 1897.

(0) Tlie Directional Calculus, Boston, i8()0. — Le même autour a rédigé pour le teœt-bodk Jligher Mathematicn, publié par Merriman et Woodward, un chapitre intitulé Grassmanns Space Analysis.

(') Nouvelles Annales, 1891, 1892, 189J.

(•) Voir ses noies dans les Noue. Annales, 1898, 1899. — Consulter aussi ses Mémoires insérés dans le Bull, des Sciences math., 2" série, t. XI et t. XIII.

plifie l'étude des propriétés des eoiirbes et des surfaces. Cette simplification provient du fait que l'on renonce à l'emploi des coordonnées cartésiennes pour opérer directement sur les éléments géométriques; ces éléments sont soumis à certaines règles de calcul que nous résumerons brièvement dans Vliitrodaclioii.

L'application du calcul géométrique de Grassmann à la théorie des courbes et des surfaces a été déterminée pour la première fois par M. Ilerm. Grassmann (fils) dans ses Programmes de Halle (1886, 1888, 1893). Nous avons repris ces publications en les développant particulièrement en ce qui concerne la théorie des surfaces. On retrouvera donc dans notre Mémoire certains passages du travail de notre collègue de Halle , ces emprunts nous ont paru indispensables à l'unité et à la clarté de l'exposé.

Dans leur ensemble, les propriétés que nous examinons ici n'offrent rien d'essentiellement nouveau ; aussi avonsnous évité, le plus possible, d'entrer dans le détail de certains développements que l'on peut trouver dans les ouvrages classiques et dont l'exposé n'est guère modifié par l'usage du calcul géométrique. C'est le mode d'exposition basé sur l'emploi systématique des vecteurs, qui, seul, peut donner un certain intérêt à ce travail, et nous espérons avoir ainsi apporté une légère contribution à l'étude d'une branche qui n'a été que trop délaissée jusc[u'à présent.

Nous donnons maintenant un aperçu succinct des matières successivement traitées.

Le Mémoire comprend cinq chapitres :

Le Chapitre I est consacré aux courbes gauches. Nous établissons d'abord les équations de la tangente et du plan normal, puis celles du plan osculateur et de la normale principale. Viennent ensuite les généralités relatives à la courbure, à la torsion et à la courbure normale d'une courbe, avec les formules de Frenet et celle de Lancret.

Dans le Chapitre II nous abordons les éléments de la théorie des surfaces et nous montrons comment l'introduction de trois vecteurs-unité e„, e^, et e, simplifie l'étude des relations fondamentales du premier et du second ordre. Les éléments e„ et e„ sont les vecteurs tangentiels aux courbes coordonnées [u) et [v] ; l'élément e, est le vecteur-unité normal à la surface.

Le Chapitre III contient ce qui est relatif à la courbure des courbes tracées sur une surface : théorème de Meusnier, sections principales, formule d'Euler.

Les notions précédentes se trouvent appliquées, dans le Chapitre IV, à l'étude des courbures des surfaces. On obtient aisément les formules relatives à la courbure totale et à la courbure moyenne ; nous appliquons les premières à la détermination de la courbure totale d'une surface réglée, tandis que les secondes nous amènent à donner quelques notions relatives aux surfaces minima. Nous passons ensuite à la notion importante de courbure moyenne quadratique, dont nous déterminons l'expression à l'aide de la méthode vectorielle.

Le Chaj)itre V a pour objet les lignes particulières tracées sur une surface. Nous partons des systèmes conjugués pour en déduire, comme cas particuliers les lignes de courbure et les lignes asymptotiques. Les équations de ces courbes prennent une forme remarquablement simple et se prêtent à une interprétation géométrique immédiate.

Sont encore étudiées dans ce chapitre les lignes géodésiques et la courbure géodésique des lignes tracées sur une surface.

Afin de faciliter la lecture de ce Mémoire, nous résumerons d'abord, le plus brièvement possible, les principales opérations que nous empruntons au calcul géométrique de Grassmann.