RAPPEL DE QUELQUES NOTIONS DE CALCUL GÉOMÉTRIQUE

I. — D'une manière générale tout calcul géométrique comprend l'ensemble des opérations auxquelles on soumet un système déterminé d'éléments géométriques (*). Il présente sur la géométrie analytique l'avantage d'opérer directement sur les éléments à considérer.

Les éléments géoinélriqucs qui interviennent dans la théorie de Grassmann sont les suivants : le point, le segment, le vecteur, le bivecteur (ou élément plan) el le trivecteur.

Tout élément géométrique présente au moins l'un des caractères suivants : grandeur, position, direction et sens. Dans la combinaison de ces éléments on fait usage de nombres (ou parties scalaires).

En ce qui concerne nos recherches, nous nous servons presque exclusivement du vecteur ; nous nous bornerons donc à rappeler ce qui est relatif à cet élément.

Segment. — Voici d'abord la définition du segment.

Etant donnés deux points A et B, le segment AB est la portion limitée de la droite joignant le point A au point B ; A est l'origine du segment, B est son extrémité.

(') L'idée d'un pareil calcul remonte à Lkibniz (i(")7<)) ; clic a clé développée pendant la première moitié de ce siècle par Môbius. dans son Calcul barycenlruiue (i()i7), par Bkllavitis, dans sa Méthode des EqtiipoUeHces (dès i833), par Grassmann, dans son Ausdehnungslehre (1844) et par Hamii.ton, dans sa Théorie des Quaternions (i8.ï3). Parmi ces méthodes, celle de Grassmann est certainement la plus générale, mais, pour les raisons indiquées plus haut, elle est restée, pendant longtemps, la moins connue.

On appelle grandeur (ou module) de AB, le nombre positif qui mesure la distance AB.

Un segment est déterminé par sa grandeur, sa position, sa direction et son sens.

Vecteur. — Le i>ecteui- se distingue du segment en ce que sa position n'est pas déterminée. Ainsi, étant donnés deux points Aj et B,, le vecteur <7j = B, — Aj peut être appliqué en n'importe quel point de l'espace.

Si l'on considère un second vecteur a^^^^B^ — A^, les vecteurs a^ et a.^ sont égaux si les segments A,Bj et A^B^ ont même grandeur, même direction et même sens. Il en résulte qu'un vecteur est déterminé par sa grandeur, sa direction et son sens.

La grandeur d'un vecteur est évaluée au moyen d'un vecteurunité e, ayant même direction et même sens. On a, par exemple, a^ = pe,, p étant un nombre.

Nous pouvons nous dispenser de parler ici de la notion bien connue de la somme (géométrique) de deux ou plusieurs vecteurs, ainsi que de la différence de deux vecteurs.

Trois vecteurs a^,a.^.a.J, sont dits coplanaires \oviiC[ui\s sont parallèles à un même plan. On montre que, dans ce cas, l'un d'eux est une fonction linéaire des deux autres, c'est-à-dire que l'on doit avoir

.fj et .r^ étant des nombres.

IL Produit extérieur. — Le produit extérieur {^) [a^a^\ de deux vecteurs a^ et a^ est caractérisé par les relations

[r7j(7.,] :=: — [/^a^i]) d'où ['^l'T'i] = ['^■>'^->J "^ o.

Quelques auteurs désignent un pareil produit de deux vecteurs sous le nom de bivecteur.

On fait correspondre au produit extérieur [rt,«J l'aire du parallélogramme dont les côtés sont a^ et a.,. Le signe de l'aire

(') Ausdetmungslehre {\^!^!^),'^, -«S à ji !^i^. — Afin de distinguer le produit extérieur d'autres produits, nous ferons usage de la notation de Grassmann en mettant les facteurs entre deux crochets.

INTRODiCTlOX

varie avec le sens clans lequel on parcourt le pourtour du parallélogramme. Nous admettrons comme sens positif le sens contraire à celui des aiguilles d'une montre.

Fig. I.

I.e produit de deux vecteurs est nul, si l'un des vecteurs est nul, ou si les deux vecteurs sont parallèles.

On a donc pour la condition de parallélisme de deux vecleiirs

On démontre aisément les relations suivantes :

["i («i + «jj = [«1^2] + [^1^3]' \?a,a,\ = :A'',<'-^. et [«,«,] = ['',(^/, + ?«i)']

0 étant un nombre.

Considérons maintenant le produit extérieur de trois f'ecteitrs a,,a^,a^, désigné aussi sous le nom de trivecteur. 11 est caractérisé par les relations

Au produit [a^a,a.^ on (ait correspondre le volume du parallélipipède dont les arêtes, issues d'un même sommet, sont «,, a.„ a^. La détermination du signe se fait en comparant le parallélipipède [a^a/i^ au cube unité [^le^ejj = i . Le signe sera positif si le tricdre a^a^a^ a la même disposition que le trièdre e^e^e^', il sera négatif dans le cas contraire. Nous supposons le trièdre e^e^e^ tel que, pour un observateur debout sur le plan e^e^ et traversé des pieds à la tète par le vecteur e.^, une rotation de 90" de droite à gauche amène c^ sur Cy

I>e trivecteur [«'^jrt.^^jj est nul si l'un des vecteurs est nul, ou si les trois vecteurs sont parallèles à un même plan. La condition

g INTRODUCTION

de coplanarité de trois çecteurs peut donc encore être écrite sous la forme

III. Produit intérieur {*) . — Pour le produit intérieur de deux vecteurs a^ et a^, Grassmann a recours à la notation [û^,|«j]. Un pareil produit est caractérisé par la condition

Les vecteurs a^ et a,^ que nous considérons ici sont des vecteurs quelconques pris dans l'espace ; on peut d'ailleurs toujours les supposer appliqués en un même point.

Au produit intérieur de deux vecteurs on fait correspondre l'aire d'un rectangle ayant comme dimensions l'un des vecteurs et la projection de l'autre sur le premier.

Il est facile d'établir un rapprochement entre ce produit et le produit extérieur de deux vecteurs. En effet, si nous supposons les deux vecteurs appliqués en un même point, nous pouvons dire : le produit intérieur de deux vecteurs a^ et a^ peut être envisagé comme le produit extérieur de a^ par le vecteur \a.^ obtenu en faisant tourner a,^ d'un angle droit dans le sens de a^ vers a,y

Le produit intérieur de deux vecteurs est nul si l'un des vecteurs est nul, ou si les deux vecteurs sont perpendiculaires entre eux.

On a donc pour la condition de perpendicularitè de deux vecteurs a. et a..

Envisageons maintenant l'angle a que forment deux vecteurs quelconques a^ et a^ supposés issus d'un même point de l'espace ; cet angle est compté dans le sens de a^ vers a.^ Si l'on désigne par mod a^ et mod a^ les valeurs absolues de a^ et de a., on aura, d'une part, pour le produit extérieur,

[rt^aj = mod a, mod a.^ sin a.

(') AusdehnungsJchrc, 1862, impartie, chap. iv cl chap. v, g 7.

et, d'autre part, pour le produit intérieur,

[a^ \ a^] = mod a^ mod a^ ces a.

On en déduit

sin

L mod a^ mod «, J ' L mod a, mod a^ J

Pour le cas particulier de deux vecteurs-unité e^ et e^, on a simplement

sin OL ==[e^e.,], cos a = [e^ |ej].

De l'expression

[rtj j aj = mod a^ mod «^ cos a,

on peut déduire la valeur numérique du module d'un vecteur. On a, en effet, pour le produit intérieur d'un vecteur par luimême.

[a, ] o,] = (mod a^'.

Le produit [«,|«i], que l'on écrit pour abréger sous la forme [rt,]!. est appelé carré intérieur du vecteur a^ ; il correspond à un carré dont le côté a pour mesure mod a^. On a donc

mod a, = V [«1 1 a,] =V «J-.

Ainsi on obtient le module d'un vecteur en extrayant la racine carrée de son carré intérieur.

Considérons par exemple dans un plan deux vecteurs-unité e^ et e, formant entre eux un angle a.

On a donc, par hypothèse,

e,: = I , e/. = I , [e, ! e,] = cos a.

Tout vecteur a de ce plan peut être représenté par une expression de la forme

x^ et .r^ étant des nombres. On pourra écrire

[a\a] = [(.r,e, + t,cJ j (.r.e, + j-.e,)],

,o INTRODUCTION

OU

(mocl a)- = it\ -\- 2 cos a..jc^x.^ -\- xl.

Si les deux vecteurs-unité sont rectangulaires, on a simplement

mod (I = V .r,"'-|- .r.,'.

On préfère souvent éviter la racine carrée et déterminer le module d'un vecteur a à l'aide du vecteur-unité e,^ ayant même direction et même sens. Dans ce cas on a

mod a = [a \ e„].

Remarque. — Le produit intérieur de deux vecteurs limité au svstèmc plan offre une grande analogie avec l'opération i(^i=^i\/ — i) dont fait usage Argand dans ses Essdis (Paris, 1806). Si à la place du symbole | on se sert de l'unité imaginaire /=V — I, on parvient pour le vecteur à une expression d'un emploi très commode (*).

Prenons, dans un système plan, deux vecteurs-unité rectangulaires E, et 1*^^. On a donc

E.^=i, E^=^, [E,E,]=i, [EJE,] = o.

Soit a un vecteur du plan. On entend par \a ou ia le vecteur obtenu par la rotation de a d'un angle droit dans le sens de Ej vers Eg. Cette opération appliquée une deuxième lois donne lia = — a, d'où il résulte que r ^ — i .

Les expressions [«j|a, | et [a^ia.,] sont é(|uivalentes.

On a, pour tout vecteur a,

mais, puis([ue

on aura

a = .^jEj + ,^^J\i^ = [:i\ -\- a:./) E,

et, si l'on pose

niod {I = 2

(*) Consulter à ce sujet AiisJehnungslchre, 18G.2, n'' 90, et les ouvi'iiges cites de

PeAXO et de BUKALI-FORTI.

LXTRODUCTIOy 1 1

on volt que tout vecteur du plan peut se représenter par

a = pe'>.Ej Z) étant l'angle formé par les vecteurs E, et a.

IV. Index d'un vecteur ou d'un bivecteur ('). — Envisageons le bivecteur déterminé par deux vecteurs a^ et a^ supposés appliqués en un point P de l'espace. Soit a^ un vecteur perpendiculaire en P au plan [«i«j] et mené dans un sens tel que le trivecteur [fljrtjrts] soit positif; nous donnons au vecteur a^ une longueur telle que son module soit égal au nombre qui exprime l'aire [a^a^\■

Le vecteur ainsi défini est ce que l'on appelle Vindejc du bivecteur [«, «^] ; on le représente par la notation

Réciproquement on dit que l'index du vecteur a^ est le bivecteur [«,aj, et l'on écrit

En particulier on peut prendre pour le bivecteur défini par \a.. le rectangle ayant comme dimensions la longueur de «„ et l'unité de longueur.

Le symbole | que nous employons ici est le même que celui dont nous avons fait usage dans la multiplication intérieure de deux vecteurs. Il est facile de constater que sa signification reste lu même. En effet, considérons le trivecteur [abc\\ désignons par (Hindex de [bc], c'est-à-dire, posons

d = \[bc] ou \d = [hc\.

On pourra remplacer [abc] par le produit [a\d]. Ce dernier représente encore le volume du parallélipipède [«Ac], puisque, par définition, la longueur du vecteur c? correspond à l'aire [bc\.

(') Gkassmann emploie le nom de Frgci/trnng. mais en se plaçant à un point de vue beaucoup plus fjénérul ; voir AusdchnungKlehre, i8()2, n» 89 à n" Ç)!. Hyde se sert de la dénomination de tlic complément, BtRALi-FoRTi de celle d'o/iera/ina index (l. c, p. 27).

Les formules qui suivent résument les propriétés les plus importantes concernant l'index d'un vecteur ou d'un bivecteur :

Il a==a, \xa = .T\a (^x quantité numérique),

l(^a-i-h) = \a^\b, [{a-j-b)\c'] = [a\c]-}-[b\c], [\a\h]=:\[ah], ■ [\a]i=al;

a^b,c représentent des vecteurs ou des bivecteurs.

Considérons maintenant le trivecteur -unité trirectangulaire

On a

e;i = e;i = gji = I [e, | c,] = [e,\e;\ = [e, | e J = o

^1 = I [6,63] k, = il [e/3] = [e^e,]

e-i = I [636, ] k^ = Il [<^3^i J = [636,1

Co

IkeJ 1^3 =11 [e,e,\=[e,e,\.

Tout vecteur « rapporté à ce système peut être représenté par une expression de la forme

dans laquelle x^,x^ ,x^ sont des quantités numériques. On a, pour l'index du vecteur a

I « = K-^i^i + -^262 + -^363) = -^ kl + ^2 1 62 + -^3 1 63,

I « = -'^'i [^2^3] + X., [636,] + ^3 [e.ej.

La longueur du vecteur a est donnée par la formule

mod a =v «i , Or on a

al = [a\a]:= [{x^e^-^x,e,-]r x^e.^) \ [x,e^-^x.^,-\-x^e^] 2 I 2 I 2

-Xj -|- XI — |— JTg,

d'où Ton déduit,

mod a = v^^-f-^H- ^3.

INTRODUCTION i3

V. Produit intérieur de deuxbivecteurs.{^) — Soient deux bivecteurs [^^,«2] ^^ U^^-i] ^^^ ^^^^

En vertu de cette égalité, le produit intérieur

peut être remplacé par le produit extérieur

Ainsi le produit intérieur de deux bivecteurs donne un trivecteur ; il peut être envisagé comme résultant de la multiplication extérieure du premier bivecteur par l'index de l'autre.

On a la propriété

Examinons maintenant le carré intérieur d'un bivecteur, c'està-dire une expression de la forme

Soit b le vecteur index, on a

b = \[a^a^] et |Z»f=[«,«2]-

Par définition, la longueur du vecteur b est donnée par le nombre qui exprime l'aire [«j^g] ; on a donc

mod b = mod a^. mod a.y sin [a^a.^, ce qui nous conduit aux égalités

[a,«Jl= [a^a.^ \ a^a.^ = [a^a^b] = [ba^a.^\ ^[b\b] = bi.

Ainsi, le carré intérieur d'un bivecteur est égal au carré intérieur de son index.

(') Voir Grassmann, Ausdehnungslehre, 18G2, chap. iv et Grassmann (fils), Proa;ramme, 1886, p, 17.

i4 I.XTRODUCTION

On en déduit

[«.ja^J^ = (mod «,)■ (mod<7.,)" siu" [a^a.,) = (mod a^y (mod <7.,)"' — (mod a,)" (mod «.,)' cos" («,«j)

ou enfin,

relation qui, pour le cas particulier de deux vecteurs rectangulaires, se réduit à

[a^n^]i=a^^a^l , puisqu'alors [,'/|[^/J = o.

Nous sommes ainsi conduits ii la valeur numérique de l'aire iV un bivecteur. En effet, de l'égalité

[ajrt2l- = (mod (7,) -(mod «,)- sin-(c/j('/J il résulte pour l'aire | a, « J

mod (7| mod a^ sin [a^a.^^ = v[r/, «.,]■.

On obtient donc la valeur de l'aire d'un bivecteur en extrayant la racine carrée du carré intérieur de ce bivecteur.

Cependant on préfère souvent appliquer directement la définition du vecteur index et calculer l'aire d'un bivecteur en déterminant le module de l'index du bivecteur donné.

Cette détermination peut se (aire de deux manières, ainsi que nous l'avons vu plus haut ; d'une part, le module de b^^\[a^a.,\ peut être calculé au moyen de la formule

mod/>=^v/''- ;

d'autre part, on l'obtient encore en ayant recours au vecteurunité e^ perpendiculaire au bivecteur. Dans ce cas on a

mod Z' = [e3|/>>], et comme

la valeur numérique de l'aire sera donnée par l'expression

L\TRODUCTIOS ,5

c'est-à-dire par le trivecteur déterminé par les vecteurs a^ et a, et le vecteur index de longueur unité.

VI. Déterminants. — L'usage des déterminants simplifie beaucoup l'exposé de la géométrie analytique ; mais leur maniement exige toujours une étude spéciale. Par contre, dans la méthode de Grassmann^ la théorie des déterminants se présente comme une simple conséquence de la multiplication extérieure (').

D'une manière générale la multiplication extérieure repose sur la convention unique que le produit de deux quantités e,. et e,, appelées unités^ change de signe quand on intervertit l'ordre des facteurs ; il en résulte que tout produit renfermant deux fois la même unité est nul (").

On vérifie aisément que cette propriété s'étend encore aux quantités a,

iii = a,- 1 Cl -\- a,, j e.^-\- -f- a,- „ e,„ [i=\,-î k)

fonctions linéaires des unités Cj, <?.,,... c„. Considérons les n formes

= a,,,, e^ -h y.„oe, + + a,,,,,*',,

et efiectuons le produit extérieur [a, a^rt.,...«,j].

Dans le développement chaque terme contiendra n facteurs numériques suivis du produit extérieur des n unités e^, e^,...e„, prises dans un ordre déterminé. Ce dernier produit peut toujours être ramené à la lorme \e^e,...e„\ affectée du signe + ou —

(') AusJeliHungslchre, \%(yi, n" (Ja. — Pour la théorie des déterininaiits, considérée ù ce point de vue, consulter par exemple la Raum'ehre de Schlf.gei. (u" partie), l'ouvrage de Kkaft et le Mémoire de Cakvallo, Nouv. Ann., 1891.

("} Envisagée d'une manière aussi générale, le multiplication extérieure joue un rùle important non seulement dans le calcul géométrique, mais encore dans l'Algèbre ; voir à ce sujet, outre les travaux précités, la Notk que nous avons publiée dans les Mouf. Ann. en i8y5.

suivant que le nombre des transpositions effectuées a été pair ou impair.

On pourra donc écrire :

Le coefficient A est ce que l'on appelle le déterminant des formes a^a^...a^.

En particulier, si l'on suppose que [eje,...e„]= i, on a simplement

On reconnaît aisément que les propriétés fondamentales des déterminants se déduisent immédiatement de celles de la multiplication extérieure.

Nous nous bornons à rappeler ici une propriété dont nous aurons besoin dans la suite et qui est basée sur la multiplication de deux déterminants.

Pour simplifier l'écriture nous nous limiterons au cas de /z = 3.

On a pour le produit des déterminants

^l.\ «2.2 ^"Xfl «3.1 «3,2 a3 3

et A^ =

^, ft ''■i

Hl,! Pl,2 ri,3