ITI

([ui exprime, qu'en tout point v de la courl)e, le déplacement ([uelconque o.r sur la surface est perpendiculaire à la normale principale à la courbe, c'est-à-dire que la direction de la normale principale coïncide avec celle de la normale à la surface.

4ÎK — L'équation des lignes géodésiques, envisagée sous cette nouvelle forme, est l'expression vectorielle du système d'équations ordinairement employé.

En effet on a

d'-x ^jc d-fi d.t d-{> O'x (du \ - . tV-.f du dv . iV.r fdv\ ■

ds- dn ds'- Oc ds- dtr \ds J ^ i)ii(\{' dfi ds 0«'" \ds/

et, pour un déplacement quelconque.

ou

L'é([uation (III) devant être vérifiée quels que soient les accroissements Zu et or, on aura les deux conditions

[ d\v I O.r | La première donne

et

~d^ TrJ

~ =o. (IV)

r (\r I O.r "I d'à F 0^ dx '\ d\> V iV.f ^'\( (J^ L <)fi 1 ^11 J dft- | du dv \ ds- L «)«^ I 0« J \ ds r ô-.r I O.r "I du dç V O'^i; I d.v ~\ / di> \ '

(') Consulter à ce sujet II. Guass.ma.\>", Programme, i8yî, p. ~>.

86 ui:s uayEs tracées sun une .surface

Un calcul facile conduit à la tormc connue

. , d'à ^ I OE / du Y DE dn dç

ds' ds- '.i ()// \ ds / dç ds ds

OF I OCx \ / di> \ -

En procédant d'une manière analogue pour la seconde, on obtient

F ^' i C ^ i /'^ I *^E \ / du \ ■' OG dn dv ds- ds^ \du 2. dç J \ ds J du ds ds

I OG / di^\

Les équations (V) et (V") résolues par rapport aux dérivées secondes de u et de i> donnent un système de la (orme

d'-ti / du \^ du di> / dç \'- '

-d?='^\-di) -^'^^ ihirs^^ATs) I

d'v \ f dnY , r» ^" ^^^^ r ( ^^^\' \ ds^ -\dsj ' ds ds ^" \ ds j

(VI

dans lequel Ap A^, Bp... sont des fonctions données de u et de v. Telles sont les équations auxquelles doivent satisfaire les coordonnées u et s> d'un point de la géodésique exprimées en fonction de l'arc s de la courbe, la variable indépendante s étant définie par la relation

ds^ = {dx 1 dx\ ou, en adoptant la notation ordinairement employée, ^, [ du\^ ^, du dv ,, [ dv \^

5o. — Applicaïiox. — On connaît le rôle important que jouent les lignes géodésiques en mécanique. Nous examinerons ici deux applications d'ailleurs bien connues.

a\. Considérons un mobile lancé sur une surface fixe

UGSES GEODESiqVES 87

X = f\n, «'), le mobile n'étant sollicité par aucune force. L'équation dillerentielle de son mouvement sera

oii ni désigcne la masse du mobile et N la grandeur de la réaction normale de la surlace.

En multipliant les deux membres par le bivecteur normal à la

surface

[^4fJ-

dj' d'.i

Idx d\v I

On reconnaît donc que la trajectoire du mobile est une ligne géodésique de la surface.

La valeur de la réaction normale de la surface est donnée par l'expression

h). Le second exemple est celui d'un fil tendu sur une surface entre deux de ses points A et B. Nous allons montrer que, si l'on suppose le fil assez fin pour que son poids soit négligeable, la figure d'équilibre est une ligne géodésique.

Considérons un élément d'arc MMj = t/.r. Par hypothèse, la seule force extérieure agissant sur cet élément est la réaction N de la surface. Désignons par T la grandeur de la tension du fil d.t

h point.

L'élément \I>L est donc soumis aux tensions

en M et par e„ = -r~ le vecteur-unité tanaent à la courbe en ce

'■ ds ^

— T(>, et 1>, + d (Te„)

agissant respectivement en M et en M,.

Or, il faut que la résultante de ces deux forces fasse équilibre a la réaction normale ; d'où la condition

^(lV;=X.e„ (VII)

OU, en efrectuant la différeiitiation,

iVÏ. £', 4- T de„, = N. e.,.

On en déduit, en multipliant par \e,^,

dT [e« I ej + T [de, \ ej = o.

Mais la relation

donne

I deA = o.

On a donc

dT = o, d'où il résulte que la tension du fil est constante; soit

L'équation (VII) devient

To de,j = N. e,,

relation qui montre que la direction de,, de la normale prii\cipale à la courbe se confond avec celle de la normale à la surl'ace. Cette dernière équation peut d'ailleurs être immédiatement ramenée à l'équation différentielle des lignes géodésiques

En efl'et, il suffit de remplacer de, par sa valeur

d'x , ds

et de multiplier ensuite les deux membres par le vecteur e.,.

5i. — Nous terminerons ce chapitre en examinant encore la notion importante de courbure gèodèsique. Elle constitue, pour les courbes tracées sur une surface, une généralisation de la courbure d'une courbe plane.

LIGSKS GliODlisIQUES 89

Soit C une courbe tracée sur une surface ; en un point M de cette courbe menons le plan tangent à la surface et projetons C orthogonalement sur ce plan ; soit F la courbe obtenue.

On appelle courbure géodèsiqiie de la courbe C en M la courbure de la courbe F en ce même point. L'inverse de la courbure géodésique porte le nom de rayon de courbure gèodèsique; nous le désignerons par

p„=MO„.

Soit d'autre part p=MO le rayon de courbure de C en M

et 0 l'angle formé par la normale principale de C avec le plan

tangent en M.

En envisageant le cylindre qui projette orthogonalement C sur le plan tangent, on a, en vertu du théorème de Meusnier il" 20), appliqué aux courbes C et V

3„ cos

On a donc, pour l'expression de la courbure géodésique,

I cos B

Appliquons celte formule aux courbes U ((^ =; const.) et V /f :::= const.) d'uu système orthogonal passant par un point M de la surface

go DES UGSES TRACÉES SUR UNE SURFACE

L'élément linéaire a pour expression

ds^ = Yjdir -)- Gdv-,

tandis que les éléments d'arc comptés respectivement sur les courbes coordonnées sont donnés par

^.v = V^K du , d,s = \/G rfc ;

on a, d'autre part, pour les vecteurs respectivement tangents aux courbes U et V (n*" lo et 1 1),

I bx

(Considérons d'abord la courbe U ; désignons par o son ravon de courbure et par e,. le yécteur unité qui détermine la direction de la normale principale. D'après l'une des formules de Frenet

(no 7, FJ on a

I ôe„

OU

Et si l'on remarque que l'on a

cosO = [e,le-;j, on pourra écrire pour la courbure géodésique de U

En remplaçant les vecteurs e^ et e> p^n' leur valeur, on aura

I r dx d / I d.r \ n

v/ËG L ^ ^< v 7r ^< / J

Si l'on effectue les calculs en tenant compte de la condition d'orthogonalité

UGSES GEODESiqVES le second membre devient

i/o I- iv 0;? J"

Mais on a, d'nne part, en dérivant la condition d'orlhogonalité par rapport à //

I Ô^ â^ J "" ~ L d^ I 'àûàv J ' d'autre part, de la valeur

on déduit

i OE r O.r I O-.r T

On parvient donc pour l'expression de la courbure géodésique de U à la valeur