X -h- [ij -— -(- \iA^ro
as
D'autre part, les conditions spéciales à la surface zdeviendront :
I dr>'' dïB'\ (5) (p„„, = „, i. (-^..— j=„ ou .=„,
/ dm
f ÀO -h 2[l —y— = O OU W 1= o.
Enfin, les relations (3), où il faudra siipposer que k, kl, ^a puissent éprouver des changements finis, d'ailleurs inconnus , k', k\ , k\, prendront les formes :
Cela posé, appelons d^s = da; éy dz un .élément quelconque du volume î3 contenu dans la sphère de rayon t décrite autour de l'origine comme centre, et'ajoutons les équations (4} respectivement multipliées par tifd'^, v'd^, w'dts. Puis, intégrons le résultat dans toute la partie du corps qu'entoure la sphère, après avoir remplacé les termes
respectivement, par les expressions équivalentes
On pourra appliquer aux termes exactement intégrables, une fois la méthode dite de Green, bien connue, qui les réduit à des intégrales prises sur la surface enveloppe du volume considéré. D'ailleurs, ces termes s'annuleront sur chaque élément de la surface du ■corps, c'est-à-dire sur le plan des wy, à cause même des conditions (5) qni s'y trouvent vérifiées. D'autre part, les termes relatifs àla superficie de la sphère de rayon t contiendront en facteur le produit de u, v' ou m' par quelqu'une des dérivées de u% v', w' et
se trouveront, par suite, de l'ordre de petitesse de— pour
l'unité d'aire ; en sorte que leur somme, sur toute la surface convexe 1-m? de la demi-sphère qui est à considérer, sera
très petite de l'ordre de — et nulle pour t infini. Les termes
aux limites disparaîtront donc tous , pour x. infini , et il
viendra, en étendant les intégrales qui restent, changées de signe , à tous les éléments de volume da du corps,
/ dm' du' \ *
du' \ * /du f^"' A ' 1 r
dî J \ dy drr, j }
Comme les coefficients d'élasticité X, p sont esHentiellement positifs , cette relation ne peut être satisfaite qu'en posant à la fois, pour toutes les valeurs de a^. y, z,
dm ~'^ ' dy ~^'
A,- d»- *' dy ' d!K dz
du dv' ^^'~d^"^~dx
Celles-ci expriment, comme on sait, que u', v', ir' correspondent à de simples déplacements d'ensemble du corps,' sans aucune déformation intérieure. Les formules (6) obligeant d'ailleurs à faire m', v', nf nuls aux points infiniment éloignés de l'origine , un tel mouvement d'ensemble doit lui-même être supposé nul ; et l'on est bien réduit à poser
