MINCES DE MATIÈRE ÈTALÈBS SUR LA SURFACE DU KOLIDE

IS. — Définition et propriétés les plus essentielles des divers

On appelle, d'ordinaire, potentiel relatif à une certaine masse , dm, lorsque celle-ci n'occupe qu'un volume infiniment petit en tons sens ou a des coordonnées déterminées ^\-> V\< ^i-, le quolient de dm par la droite

qui joint ce volume, c'est-à-dire le point {Xi , y, , 2i), à un point quelconque (x , p , z) de l'espace. C'est une fonction de X, y, z- finie et continue , du moins tant que la distance r ne s'annule pas, comme nous l'admettrons dans ce paragraphe. Et le potentiel pour une masse fmie et de dimensions finies , m, composée d'éléments contigus dm dont les positions respectives ont des coordonnées appelées x„i/i, 2,, n'est autre que l'intégrale

/dm — ■

Comme nous aurons ici à distinguer plusieurs fonctions analogues à celle-là, nous la désignerons, avec Lamé, parle nom de potentiel inverse, à cause de cette circonstance, que dm y est multiplié par l'inverse de la distance r.

Nous appellerons , au contraire, potentiel direct., à la suite encore de Lamé, la fonction

(11) V = j~ra

et, enfin, nous qualifierons de potentieVlogarithmique à trois variables l'intégrale

(12) -i ^ I Ifgl' — Zi^-r)d'm.

Nous l'appelons à trois variables, pour le distinguer d'un potentiel (;y/™(i??7-^Z(^ ou logarithmique à deux variables,

bien connu, / log r dm. dans lequel on suppose simplement r ~ V/'(a; — x,f-t-{i/ — ^,1^

C'est le potentiel logarithmique (12), non remarqué jusqu'à présent, qui nous sera surtout utile ici. Nous n'aurons d'ailleurs à le considérer , dans le problème de l'équilibre d'un sol élastique , que pour des valeurs de z plus grandes que z, ; en sorte que l 'expression z — z^-i- r y sera touj ours supérieure à r, différente de zéro, et que, le facteur log (2 — 2, -+- r) ne devenant jamais infini à une distance finie, le potentiel aura tous ses éléments, log (^ — z^-^r)dm, comparables h.dm, ainsi que leurs dérivées successives par rapport à ce, y, z.

En différentiant donc sous le signe/ le second membre de (12), soit deux fois par rapport à x, soit deux fois par rapport à ij, puis ajoutant les résultats obtenus et remplaçant la somme {x — a>if ■*-{y — ^,f par r^ — [z — 2,)^, il vient aisément

im,

D'autre part , la différentiation de (12) par rapport à z donne , une première fois ,

et, en différentiant encore,

Si Ton ajoute les équations (12 his) el (13 bis), il vient simplement

.,/lo.(.-.

équation fondamentale, qui nous servira dans toute la suite de ce mémoire.

Laformule(13) montred'aillenrs que lepotentiel ordinaire ou inverse U est la dérivée, par rapport à z, du potentiel logarithmique -}'.

Il en résulte que la relation (14), diflérentiée par rapport à z. donne immédiatement

(14 Us] ijU = 0 ou

ce qui est une équation, bien, connue, due à Laplace.

Enfin, Lamé a remarqué, en différentiant deux fois sous le signe /, soit par rapport à x, soit par rapport à y. soit par rapport à^, le potentiel direct (11), que l'on a

(15) Aï V = Tli!, r] dm = C^t- = 2 U ,

et, par suite,

(15 fe) Atia V = 2a3U = o.

Observons que le potentiel logarithmique ^ a pour cha-

cune de ses dérivées premières en x, y, z une intégrale dont tous les éléments sont des fonctions homogènes, du degré — 1, des variables x — a;,, y — y,, z — z^. D'après une propriété classique des fonctions homogènes, ses dérivées partielles secondes seront encore des fonctions homogènes, mais du degré — 2; ses dérivées partielles troisièmes des fonctions homogènes du degré — 3, et ainsi de suite.

Il peut être parfois utile de considérer le potentiel logarithmique ^ comme la dérivée par rapport à z d'un autre potentiel, un peu plus compliqué.

- (4 — îj) log (2 — ï, -H ,■} ] dm, dont les dérivées partielles premières sont — — ^= — i , dm ,

On trouve aisément, par de nouvelles différentiations,

^5 Y it>Y __ r dr,i __ ^>r

flx^ dy^ f r dz^ '

en sorte qu'on a aussi

(17) iî T = 0 ,

formules d'où se déduiraient les relations (14) et (14 bis).

J'appellerai cette fonction W le second potentiel logarithmique à trois variables (*), par opposition au précédent 4'.

(*) On verra au u." 40 bis (p.i^), qu'il joue, dans le cas d'actions tangentielles appliquées à la surface, le. même raie que le premier, ;, dans le cas d'actions normales.

Mais exprimons celui-ci, 4', poir une couche matérielle infiniment mmce,/dm, étalée sur le plan desa:^, c'est-à-dire sur la surface à laquelle sont appliquées les actions extérieures qui sollicitent notre corps élastique, afin de cherclier ensuite à en déduire des intégrales qui satisfassent tout à la fois aux équations indéfinies (1) et aux conditions spéciales qui y sont jointes. Les points (;»,, yj, z^) occupés par la coucho se Irouvant.tous sur le plan des x^, nous aurons ici z, = o, et l'expression de 4" sera simplement

(18) i = j log (ï -+- )•) dm.

On voit que le potentiel logarithmique de la couche pi-oposèe s'obtiendra, pour un foint quelconque [m, y, z) de l'espace situé d'un certain côté de la couche, en multipliant chaque élément de celle-ci par le logarithme népérien de la somme des deux distances du point considéré à cet élément et au plan même de la couche, puis en ajoutant tous les produits pareils.

D'ailleurs , z-^r sera bien positif en tous les points intérieurs au corps , c'est-à-dire pour ^ > o , conformément à l'hypothèse adoptée dans ce paragraphe II. Enfin, si p, ou ? {^\ , ?/i) , fonction continue de cci et y^ . désigne la densité superficielle de la couche , c'est-à-dire sa masse par unité d'aire en chaque point, la partie dm de couche qui recouvre un élément d'aire dx^dyi du plan des xy vaudra p(te, dy^, et la formule (18) s'écrira aussi

log(.

Les intégrations s'y étendent sans difficulté de iTi = — go à a^, = 00 et de y, = — x à yi = co , car la fonction p est supposée nulle en dehors de certaines régions limitées.