Recherche d'une première forme d'intégrales

On peut, avec le potentiel (18) ou (19), former trois intégrales différentes des équations du problème. Cherchons d'abord celle qui parait la plus importante.

La fonction 4* satisfait à' la relation i^^^ = '^î I^^ ^ ^^^ terme de moins que les équations (l) ; en sorte qu'elle n'est guère propre à vérifier celles-ci. Mais si, au lieu d'évaluer i^-l"; nous calculons ^iz'^), nous aurons

et^ par suite.

Cette équation , différentiée par rapport à ^, à ^ et à ^, donne

dy \ dz I

Or, à cause de ^/^i = o, et quel que soit un coefficient constant appelé K, ces trois relations (20) se confondront avec les trois équations indéfinies fl), divisées par i>., si l'on pose

dz-^ Az-l di!^

D'ailleurs, K se déterminera par la condition que les valeurs de m, -î?, w, h tirées de (21) donnent identiquement

Par suite, en tenant compte de cette valeur de K et portant les expressions (21) A.'iu.VjW dans les formules (2) [p . 52] des trois composantes ,p^,j)y,p^,â.Q la pression exercée sur un élément plan parallèle aux x y, on trouve :

Cela posé, il ne suffit pas que les valeurs (21) vérifient les équations indéfinies de l'équilibre; il faut encore qu'elles puissent satisfaire aux conditions qui concernent la surface s=o, et aux relations très simples (3) [p. 53], spéciales aux grandes valeurs de i. Or on voit de suite qu'elles ne véri-

lient pas ces dernières . en exceptant toutefois le cas où les valeurs de dm—p dm^dy-^ seraient, les unes, positives, les autres , négatives , et nulles en moyenne , cas où l'intégrale 4i=/]og {£-i-r)dm et ses dérivées reçoivent, aux points éloignés , des valeurs absolues incomparablement plus petites que celles qu'elles auraient en prenant tous les éléments avec le même signe. En effet, si les dérivées premières de l'expression (18) de "J- sont bien du degré — 1 enx — x^, y — y,, i;,*', et s'annulent pour r =00 , celles des ^, étant du degré zéro , deviennent alors infiniment plus grandes qu'elles et, de même que K-}*, ne tendent pas vers zéro, à part le cas, dont il vient d'être parlé, où l'on aurait /^w = o.

Mais toutes les dérivées de ^ ont , comme 4* ■, leur paramétre différentiel ignul et peuvent lui être substituées dans les formules précédentes (20) à (23), où ^ ne figure que comme étant une fonction pour laquelle on a i24'==o. Donc, rien n'empêche de remplacer partout, dans ces formules ci-dessus , 4^ par une de ses dérivées premières : ce qui abaissera d'une unité le degré de toutes les expressions en X — Xx , y — y\ , z, r, et donnera bien à m, «, w, pour les points très éloignés de l'origine, les formes (3).

i4. — Expression de ces intégrales.

Remplaçons ainsi 4' par —r- dans les formules (21) et (23),

en substituant à K la valeur (22) et observant que l'on a identiquement

(fd (~ dm d^p l~ ^ , li {~

Il viendra aisément, si l'on différentie au besoin, sous les signes / , les intégrales qui se présentent :

Ctterchons actuellement ce que deviennent les intégrales — ' I ""V ' / "i-j. q^and on s approche de la surface ou qu'on fait tendre z vers zéro. A. cet effet, nous souvenant des formules (19), nous remplacerons dm par P (ic, , yi)dccidyi; puis nous poserons

(27 ii's) «1 = œ -t- E C03 w , yi-= y -t-'R siii w , r^ ^ z"- ■+■ E*,

R, u*désignant ainsi deux coordonnées poiaires, qu'il est avantageux de substituer aux coordonnées rectangles a^,, y^ et qui sont comptées, dans le plan des xy, en prenant pour pôle le pied de l'ordonnée z abaissée du point [x, y, z) sur ce plan. Ces coordonnées varieront d'ailleurs, évidemment, w, de zéro à 2^:, R, de zéro à co. Les rectangles élémentaires dXidyi devant être , par suite, remplacés par les rectangles mixtilignes, R(^w(^R, que des cercles concentriques et des rayons vecteurs successifs découpent dans la couche, nous aurons :

R cos M, y -1- R sia o>) s R (^ R

coa ^1, y -y R sin 6.) 3» R rf R

Pour 2^ = 0, la première de ces intégrales n'offre rien de parLicTilier; car elle se réduit à l'expression

(29) (pour 3 — 0) j~= jd« j p{œ-+''Raos^,p-h'Raiaa]dli,

et colle-ci est finie, vu que p s'annule dès que R dépasse certaines valeurs , la couche yï^m ne recouvrant , par hypothèse, qu'une étendue limitée en tous sens.

■ Mais il y a lieu de chercher ce que deviennent les deux dernières intégrales, dont les éléments se présentent alors, les uns , ceux qui correspondent aux valeurs finies de R, comme nuls , à cause des facteurs z qui y paraissent en numérateur, les autres, c'est-à-dire cens pour lesquels R est iixfiniment petit, comme indéterminés ou même infinis, par suite de l'annulation de leurs dénominateurs quand on yfaitr=o et R=o. Pour voir quelles valeurs prennent ces intégrales à la limite considérée ^^=o, il suffit d'y poser Ti—zg, dR^zâg; ce qui les change en celles-ci,

--^= 1 d^ I p{^-hs^c«s^,y ^^îsm^i ^,

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