V- îq COE

lesquelles, vu les formules évidentes

J50 __3 i OO

deviennent , à la surface ,

(31) (pour.-o)

l /~ dm /~zdm

Les trois intégrales (29) et (31) se trouvant ainsi finies et déterminées même à la limite ^ = o , il est clair que leurs dérivées en « et ^ le seront également, poun'u que la fonction p soit finie et bien continue.

Par suite , à la surface du corps , les formules (25) , (26) et (27) se rédmsent aux suivantes :

I (pour z n^ o)

i -I- 3 ji f' dm — 4 r [i

-.0, v^O, 7B = ^^--—J^—, 9 = -^__--p(aT,y);

(32)^ ^ 2n2 d rdm. — 2ii5 d r~ dm

ï,-t-[i(fiJ!^ r ' " ^-^ X'- dy J r' ^ \-^%v>. d rdm , X-f-2ii , ,

Comme p est une fonction arbitraire, on pourra vérifier la dernière de ces formules toutes les fois que la composante normale p^, de la pression exercée à la surface sera directement donnée en fonction de ;» et y : en effet, il suffira de prendre p [œ, y) égal au produit de cette pression par le facteur constant -j—;; — ;—. et de composer la couche matérielle 4ïin{^-^-2ix) ^

fictive /(/m, étalée sur le plan des xy, de parties dm, égales,

pour chaque élément superlîciel d^dy de ce pian, a p {a?, y] dxdy. Les deux premières formules (32) étant d'ailleurs M = 0 , « = 0 , on voit que la solution obtenue (25) s'appliquera quand les conditions spéciales à la surface consisteront à s'y donner la composante normale de la pression extérieure et à y supposer nulles les composantes tan-

Cette solution constitue ce que nous appellerons la première forme ou le premier type d'intégrales ài(i la question proposée d'équilibre.

Comme le problème est complètement déterminé quand on se donne , aux divers endroits de la surface , u ou Px, V ou p^ , w ou p^ , son intégrale ne comporte plus qu'une fonction arbitraire de Wi et y^ dès qu'on astreint les quantités u, 'û, w, Px^fy, Pz^ vérifier , sur toute l'étendue de la surface, deux certaines relations. Donc, notre premier type d'intégrales, où paraît comme fonction arbitraire la densité p [Xi , y^ de la couche matérielle fictive et où , de plus, les valeurs de u, v s'annulent à la surface, fournit la solution la plus générale possible pour le cas où l'on doit avoir ainsi w = o, v = o quand z=o. Et l'on peut dire que ce premier Pype a pour caractère di&tincUf de n'admettre, à la surface, aucun déplacement tamgentiel u ou v .

H est défini , sous une forme générale et condensée , par les relations

OÙ 4* désigne toute fonction ayant son parainètre \ nul et ses dérivées premières, partout finies, de l'ordre de l'inverse de i aux grandes distances t , fonction qu'on prendra de la forme (19) si les valeurs de p^ à la limite ;; = o sont données.

Î5. — Autres intégrales déduites du même type, mais paraissant moins utilisables . — Ihrticularitès que présentent le potentiel logarithmique d'une couche plane et ses dérivées, à la surface de cette couche.

Rien n'empêcherait de remplacer ^, dans les formules

(21) et (23), noix plus par -~ , mais par -^ ou -—-. On

aurait alors des intégrales de môme forme que (21), avec la condition restrictive qaefdm vaudrait zéro ou que la valeur moyenne de p serait nulle. En effet, observons qu'un petit déplacement dx , imprimé au point {œ, y, z), met, par rapport à celui-ci , le point [Xi + dx, y^) de la couche dans la situation où était d'abord le point (tCj, y^. Donc, le potentiel

-ff...

yi)log(» -hr)dn!ié

ne change , dans ce mouvement , que par le fait de l'aocToissement qu'éprouve la densité (supposée partout continue) de la couche quand ou passe de son point ( Xi, y^ ) au point ( x^ -!- àx , ^i ) ; et l'on a

(34, ^=ijr-|->«iî(^-'i*.*..

expression ne différant de la première (19) qu'en ce que la fonction p (iCi, 3/1), astreinte à s'annuler à une distance infinie de l'origine, est remplacée par une autre fonction,

-4- 1 des mêmes variables , qui s'annule dans les régions où a^, ' ' ^ ^

s'annulait déjà la première. Seulement, comme on a

la valeur moyenne de cette nouvelle fonction est nuUe ; en sorte que le potentiel logarithmique (34) rentre dans le cas exceptionnel, signalé aux premières lignes de la p. 64, où les valeurs (21) de i{,v,w satisfont aux conditions (3). Voyons donc ce que deviennent à la surface, pour z =o, les formules (21) et (23). L'adoption des variables R, w introduites dans les relations (28) et (29) donne d'abord

/ (pour s =r o]

'^'j-l^ I do> l p[»-t-Rcos4>, y-^-RsiIlf«) (RlogR)(fR,

expression finie et continue comme l'est la valeur (29) de

jL = / ^ car on sait que le facteur R log R s'annule

à la limite R = o, quoique log R y devienne infini. Et les dérivées en a; et ^ de cette expression de «Jj seront évidemment finies elles-mêmes , si celles de p (2^1, y,) en Xi et y, le sont. On trouve, par suite, vu la valeur (22) de K et en se servant au besoin de la première formule (31) :

( pour z = o)

|x f~dm

Ici , aucune des composantes ?7s > Pb: P^ ^''^^^ reliée simplement à la fonction arbitraire p, que contient l'expression ^dxidyi de dm. On ne voit donc pas dans quel cas simple les intégrales [21) pourraient être utilisées : aussi je n'en ferai pas usage dans ce qui suit.

Il résulte des détails précédents quelques particularités , relatives au potentiel logarithmique 4' , qui ne manquent pas d'intérêt , et qu'il aurait même été préférable d'établir

directement à la fin du n° 12, quand il n'y aurait eu à cela que l'avantage de rendre ensuite plus rapides ou plus immédiates les applications qui en ont été faites dans le n" 14 et dans celui-ci.

En rapprochant l'expression (34 Ms) do iJj, de la formule (29),

où 1 — n'est autre que —, et de la première (31), on voit

que -jj et ses deux dérivées première et seconde en z ne cessent pas d'être finies et bien déterminées à la limite ^ = 0. Et , si l'on retranche la première (31} de trois fois la seconde (31), en observant que

on voit aussi que le produit z -j-^ s'annule à la raème

limite. Donc, le potenliel logarithmique d'une coucJie plane 7-esle fini eu déterminé, ainsi que ses dérivées première et seconde dans le sens z normal à la couche, quand le point {x, y, ^), d'oMrd situé du côté des z positifs, atteint la couche même; cette dérivée seconde, notamment, y vaut le produit de — 2tt par la densité p de la couche et, déplus , sa propre dérime en z, multipliée par z, s'y annule.

Quand la densité p varie graduellement d'un point à l'antre du plan des xy, toutes les dérivées en z du potentiel i^ sont même finies et déterminées à la limite 2=0, comme les deux premières. Car il suit de la relation i^ -Jj = 0 que la m^' , en général, de ces dérivées a son paramètre A^nul; ce qui exprime que la dérivée m ■+■ 2^ en z, changée de signe, égale la somme des deux dérivées secondes, dans les sens 3; ou ^parallèles à la couche, de la dérivée )«*"". Ainsi, tontes les dérivées par rapport à z s'évaluent au moyen des dérivées paires successives, en x et y, des deux premières seulement, et elles restent, comme celles-ci, finies à la limite 2 = 0.