Seconde et troisième formes d'intégrales

Le potentiel logaritiimique ^ , oa même toute fonction '\> ayant son paramétre ij nul et ses dérivées premières comparables à l'inverse de t aux grandes distances t, conduit aisément à deux autres formes d'intégrales, différant de celle qui précède en ce que la dilatation cubique 8 s'y annule.

Voici la première de ces deux formes ou types:

dx ' dy ' di '

A cause de io i — o, la dilatation cubique ^ = :r "*- t "^ tt

az dy az

y est bien nulle , et les équations indéfinies (1) se trouvent identiquement vérifiées. De plus, les dérivées de ^j^ étant du degré — 1 en a; — Xi, y — 3/1 , ^ , r, ou , du moins , comparables à l'inverse de t. pour t très grand , les conditions définies (3) sont aussi satisfaites. Enfin, les valeurs (36) donnent aux composantes Pi,, p^jf-,,} représentées par les formules (2) , les expressions sous forme condensée

d d'il (PJ-

OU bien, quand 4* est le potentiel logaritbmique (18),

d f dm, d /~ dm

et celles-ci, spécifiées pour la surface du corps, deviennent, en tenant compte de la première formule (31) •■

I (pour ^ = 0)

,„„, 1 d r'dm ^ d (~dm

yGoosle

Ainsi , la fonction arbitraire p égale , en chaque point de la surface, le quotient, par4TT|j., de la composante normale fz de la pression extérieure. La soluUorb obtenue (36) co»vient donc au cas oit la surface supporte en chaque point une pression normale p^ donnée, et des pressions tangenUelles Vu, Py dépendant, d'après les lois qu'expriment les formules (38) , des valeurs que prend cette pression, normale sur les divers éléments de la surface.

La seconde des formes annoncées d'intégrales pour lesquelles Q = o est celle-ci :

Elle donne bien identiquement 0 ou -5— -h —y- -+■ —j- = o

^ m éy dz

et, VU la relation A^ -j' =0, elle satisfait aux équations indéfinies (l).D'ailleurSj comme — m, ^ y sont deux dérivées, premières de ^ , elle vérifie également les conditions (3). Enfin, û et w se trouvant nuls, p^ égale zéro partout, comme w, P'ipx,Py i donnés, d'après (2), par les formules

vérifient la relation

rfiï dp

Par conséquent, cette troisième solution ou ce troisième type d'intégrales convient au cas où, la pression extérieure exercée sur la surface a partout sa composante normale égale à zéro, et ses composantes tangentielles variables de telle manière, d'un point à l'autre, que la dérivée de l'une, prise suivant sa propre direction, sott égale e analogue de l'autre.

Les déplacements s^ y font, même à l'intérieur,^ à la surface. On y a donc , sur toute l'étendue de celle-ci ,

Kj = o , et aussi , d'après les formules (39) , -7— ■+■ -~r- = 0 ,

relation exprimant rrue l'accroissement —, — 1 — — de l'unité ^ 4x m/

d'aire de la surface y est égal à zéro.

Le troisième type d'intégrales contient, comme les

deux autres, une fonction arbitraire des coordonnées de la

surface, fonction qui est p (a!i, y^ quand on prend -Jj delà

forme (19) ; et deux relations distinctes entre u, v, m, p^, p^

et p^ à la surface suffisent, par suite, à le faire reconnaître,'

pourvu qu'il les vérifie constamment. Il peut donc être

caractérisé, de môme que le premier type, au moyen de

deux conditions où n'entrent que les déplacements éprouvés

à la surface : ces deux conditions sont, non plus w=o, ï=o,

mais ïc=o, -r--t- ^- = 0. Ainsi, le troisième type répond

au cas oii les diverses parties de la surface n'éprouvent, ni déplacement dans le sens normal, ni augmentation ou diminution d'aire.

Le second type seul, (36) et (37), ne paraît pas suficeptible d'être ainsi défini au moyen de deux conditions simples ne se rapportant qu'aux déplacements u, v, m des divers points de la surface. Mais u et y, d'une part, jd,; etpy, d'autre part, y vérifient les deux conditions d'intégrabilité

(/w du dp-c dpy

dy dm 'd'y dw '

lesquelles deviennent, à la surface î: = o, deux relations en Xi et ^, bien distinctes , caractéristiques du mode d'équilibre qui les présente. On pourra donc , du moins , dire que le second type correspond au cas où les deux composantes tangentielles , tant du déplacement éprouvé à la surface, que de la pression extérieure qui s'y trouve exercée, égalent les dérivées respectives en x et y de deux fonctions des coordonnées xety des divers points de la surface.

17. — Types d'intégrales définis uniquement par des circonstances relatives aux pressions extérieures, et dont le principal concerne le cas oit ces pressions sont exclusivement normales.

Les trois formes d'intégrales (33), (36), (39) présentent ce caractère commun, que la composante normale p^ de la pression extérieure y est, sur toute la surface ^=0 du corps, ou nulle, ou simplement proportionnelle à la dérivée seconde de la fonction -J' par rapport à z, c'est-à-dire à — 2-Kp [x, y) quand on prend pour \ le potentiel logarithmique (19). En superposant d'ailleurs, de deux, manières différentes, les solutions (33) et (36), on en déduit deux nouveaux types d'intégrales, un peu plus complexes quant aux expressions de u, w, «?, mais plus simples quant à celles de jp^, py, jp^, où Pi continue à présenter le même caractère , et dans le premier desquels p^ eip)y s'annulent, à la limite z=o , tandis que, dans le second, ^^ y égale zéro comme dans le troisième type déjà trouvé (39). La possibilité de les déduire dos solutions (33) et (36) tient â ce que celles-ci impliquent des valeurs, i^Zbis) et (37), des pressions ^^, p^, p,, dont les secondes, (37), ne diffèrent, pour 2=o, des premières, (33 bis), que par des coefiicients numériques, égaux dans^^ et^^.

Le premier des types cherchés s'obtient en ajoutant respectivement, aux expressions (33) ou (25) de u, v, w préalablement multipliées par —— , les expressions (36), multipliées elles-mêmes par le facteur également constant -j—TT — -r- A cause du principe de la superposition des

effets, applicable ici vu la forme linéaire des équations, les valeurs (33 bis) et (37) , (32) et (38), de?)^, py, p,, propres à chacun de ces deux systèmes , s'ajouteront de même, et il viendra aisément :

1° à l'intérieur, ou pour z quelconque, fAin I . z^ d tl d^\

c'est-à-dire, si l'on prend pour ^ le potentiel (19) et qu'on

1 dH r'd'm.

ait , par suite , — r-r- = — I —— ,

la surface ,

(poufa = o)

= 0 , ft :

On peut remarquer, en passant, que les valeurs (40J de j!?j, et ^j acquièrent, tout près delà surface, à cause de la troisième formule (41 bis) , les expressions approchées très simples

(pour z très petit) {41 ter] l^ ^"''^^ ^\d<e dz j dû; ■ dx '

Appelons t?P la pression normale, infiniment petite, exercée sur un élément dœ^d^i de la surface du du plan des xp. On aura, à cause de la troisième formule (41 bis), dp = p^ dWi dp, ~ p («i , 3/1) dcOi dpi = dm, et, par conséquent ,

[42) dm = dF.

Ainsi, les petits déplacements, u, v, m, produits dans le cas où la surface n'éprouve sur chacun de ses éléments gu'wne pression normale dV, s'obtiennent en ajoutant les empressions (33) et. (36), ou (25) et (36), respectivement multipliées par

2 — et par y- — — r, puis en atPrihuant à chaque partie dm

de la couche matérielle fictive étalée sur la surface une valeur, (42), égale à la pression exercée au même endroit.

Si le corps ou milieu élastique considéré n'est autre qu'un sol horizontal soumis à des, actions verticales, il y aura avantage à concevoir celles-ci comme produites par le poids d'un sable très lourd, distribué sur la surface du sol en couche mince d'une épaisseur variable, et dont chaque partie , évidemment indépendante de ses voisines ou portée exclusivement par le sol soiis-jacent , constituera la charge exacte de la portion de surface qu'elle recouvrira. En effet, nous pourrons, alors, prendre justement pour la foncUon 4' ^ potentiel logarithmique de cette couche de sable, c'est-à-dire de la charge totale réelle, samf à, y introduire le poids de chaque grain de sable à la place de sa masse.

On trouvera, de la sorte :

1 ^frâl^ 1 d r~

1 ^frdV 1 d r

1 d^frdV 2X-h3[^

l^jj. dz'- ■ 4n-|J.(X-Hli)

iTtP-HiJ.) dz J r '

Observons que les voleurs de 0 pour z=o seront celles que donne la dernière formule (33) divisée par 4tt[a, et qu'elles égaleront , d'après la troisième (41 bis) , le quotient de — p^ ^aT\-\-li: Ainsi, la condensation, -^, éprouvée par la matière en chaque endroit de la surface est le rappwt, à la constante X-H[x, de la pression extérieure quis'y trouve exercée par unité d'aire. Lamé avait déjà reconnu cette loi. Une proportionnalité analogue, entre j?, et - 9 à la surface, se vérifie également, à cause des dernières relations (33) et (33 bis}-, quand les déplacements à la. surface sont exclusivement verticaux : alors le rapport de^^ à — 9 est Xh-^jj^ et non

plus "k-^ii-. Et , en vertu de la formule ^^ = — >.9 — Sj^ t- ,

cette proportionnalité, à la surface, de — ^ à p^, dans chacun de ces deux, types d'intégrales et même dans les autres que nous avons considérés (où 0 — o), y entraîne évidemment celle de p^ à la contraction — -r- éprouvée par de petites lignes matérielles verticales.

Le deuxième type d'intégrales cherché ici, celui dans lequel on a^i=oàla surface , s'obtient en ajoutant les expressions (33) et (36) de m, v, w, respectivement multipliées

par — et par — - — %r^-^- Les valeurs [ 33 Us ) et (37) de

■^ 4itii *^ 4 Ttii- (^ -*- H-)

pi, Py, pt, se superposent de la même manière et donnent :

On voit que cette deuxième forme peut être caractérisée, comme la précédente, par deux conditions où ne paraissent que les composantes de la pression extérieure : ce sont, non plus les deux relations ^^ = o et ^^ = o (pour^ = o),

mais ^j = 0 et ^ = -j^ (pour z=o) . La seconde exprime que les deux composantes tangentielles ^„^i,de l'action exercée par unité d'aire sur la surface admettent un potentiel, ou sont les deux dérivées respectives en x et ^ d'une même fonction de ces deux coordonnées de leurs points d'application. Elle distingue nettement ce type du troisième , précédemment obtenu, (39) et (39 Ms), où l'on a bien, également, p^ = o, mais où ^^ et p^ vérifient la relation

^ -v- -iï. = 0 , au lieu de la condition d'intégrabilité

div dy

dpx dp^

dy dœ

En résumé, les types considérés ici sont susceptibles d'être définis, tous les trois, au moyen de relations simples, au nombre de deux pour chacun, ne concernant que les composantes jî^,^^, ^j de l'action extérieure, sans qu'il y soit question des déplacements u, y, m.

Î8. — Formation de l'intégrale générale, soit au moyen de ces trois types, soit au moyen des trois types considérés en premier lieu.

'Si l'on superpose un système d'intégrales du deuxième, (44), de ces types à un autre du troisième (39 ôû), multiplié par - — , en introduisant dans celui-ci une fonction ^^

différente de ^, et en remplaçant d'ailleurs i^ et i/i par <p et cpi, afin d'éviter la confusion avec la fonction analogue employée dans le cas du premier type (40;, les valeurs de m, î^^w seront, d'après (33), (36) et (39),

1 ri d I èa Stcii L 2 (& V (h

\ d I ésf X -I- 2(1 \ ^^, "1

'i dy \ (h X-i-[i / (&J

l d / dH t&,\

et elles correspondront aux expressions suivantes

(45 Ms] i

On tire de celles-ci, par des différentiations immédiates, et en observant queles équations A;, f=o, ig ^1=*^ permettent de remplacer la somme des deux dérivées secondes en x et en 2/ de tp ou de 9, par la dérivée seconde en z, changée de signe, de la même fonction,

dp.^ dpy __^ \ d I d^<^\ dpx dpy 1 d^fi

dx dy ÏTT (fe \ (/s? y ' dy dte 2it (fe^

relations où f et fi sont séparées. A la surface, elles deviennent

dpx <ipy 1 f^^? '^p.r, dpy \ rPt^i

,eT) (pour 2 = 01 —-.- — =: — — — , — — = __-—.

Vu les deux fonctions arbitraires distinctes p , des coordonnées x^ , y^ de la surface , que contiennent ^ et tp, supposées prises de la forme (19), on doit pouvoir, dans les formules (45 Ms) , donuer à ^^^ et à ^^ , pour 2 = o , des valeurs quelconques en cci et y,, tandis que p^ s'annule à la même limite, en vertu de la troisième de ces formules. Donc, sauf le choix convenable de f et de f,, qui reste encore en suspens et qui paraît difficile (') , la solution (45) répond au cas où les pressions exercées sur la surface ont leurs composantes tangentielles arbitraires , mais leur composante normale partout nulle. Et il suffira évidemment de la joindre à la première dont il vient d'être parlé (form. 43),, ou qui convient quand la pression extérieure se réduit à une composante normale donnée en chaque point , pour avoir l'intégrale générale du problème tïaité , c'est-à-dire celle où les composantes ïj^,,^;,, jo» de l'action extérieure sont trois fonctions arbitraires des coordonnées iT] et g/i de la surface du corps.

Nos deux nouveaux types, savoir, le premier et le second des trois employés ici , n'étant que des combinaisons linéaires des deux premiers trouvés plus haut (n"' 14 et 16), il va sans dire que nous aurions également l'intégrale générale, en nous contentant de superposer trois solutions particulières empruntées respectivement aux trois types simples (33) , (36) , (39), obtenus en premier lieu.

(*) On verra au n" 40 bis (p. I©) qu'il est, au contraire, très simple, quand on y emploie les seconds potentiels !ogarithmic[ues T à la place des premiers ^^ : la difficulté que j'y avais trouvée, lora de la rédaction du mémoire, tenait à ce que je demandais la solution à ceux-ci -b , qui me l'avaient donnée dans lo cas de pressions normales, mais qui se trouvent ne plus convenir pour des pressions obliques.

) m. — VALEURS DES DEPLACEMENTS , DES DÉFORMATIONS ET DE