RÉDUISENT A UN SEUL DE LEURS ELEMENTS

i9. — Déplacements élémentaires dans le cas où il s'agit du premier type simple d'intégrales.

Supposons inainLenant que la couche matérielle /(^»î ne s'étende que sur une très petite partie, t^w, du plan des œy, dans laquelle lîous admettrons qu'on ait choisi l'origine des coordonnées. Cherchons ce que deviennent alors les expressions des déplacements w, v, w, pour les trois types simples d'intégrales (25), (36j, (39), et pour le plus important des types composés, c'est-à-dire pour celui, auquel répondent les formules (43), où des pressions exclusivement normales sont exercées sur la surface. La distance r d'un point quelconque .du corps aux diverses régions te,,yi)dela couche ne différera pas sensiblement delà droite qui joint l'origine à ce point ; en sorte qu'on pourra prendre

»-=v/ii!S-i-yï+sS et appeler d'ailleurs dm la couche entière,

infiniment petite par hypothèse. Pour fixer les idées, nous supposerons horizontal le plan des xy, qui limite le corps, et nous admettrons que l'ax'e des z soit dirigé vers le bas.

Considérons d'abord les valeurs (25), qui correspondent au cas de déplacements exclusivement verticaux à la surface. D'après la dernière formule (32), dans laquelle on aura

p{x,^)=o partout, excepté sur l'élément cîa- où p= -^j ces défla-

cements se réaliseraient en effet, si la surface était a

ne se déplacer que verticalement et supportait, sur son é

ment plan di comprenant Voritjine <les cooi-données , une pression verôwaîe dP=p/h exprimée par la formule

Les relations (35) se réduiront à

= -— - dm, V — -— -- dm = -^ d

» = -—■ dm -I

Le rayon r mené de l'origine au point considéré faisant avec les trois axes des angles dans les cosinus sont—, —, —,

on voit que le changement de position effectué par chaque

molécule se compose : 1" du mouvement divergent -^ dm, le

long du prolongement de la droite r qui joint le point d'application de la pression extérieure dÇ â la molécule

même; 2" du mouvement descendant-. '■ .

Les déplacements sont donc symétriques (ont autour de la droite suivant laquelle est appliquée la force déformatnce (?P, comme il était évident; et il suffit de considérer ce qui se passe dans un plan méridien, par exemple, dans- le plan des zx, oii l'on a g/ = o, ^ = o. Nous bornant même au côté de ce planpourlequela^est positif, appelons a l'angle,

compris entre zéro et -^j que fait le rayonr avec l'axe A&sz,

de manière à avoir

Les troisièmes membres des formules (47) de u et w; donneront aisément, pour les valeurs du déplacement horizontal U , compté positivement en s'éloignant de l'axe de

symétrie ( c'est-à-dire de la force dP] , et du déplacement vertical w ,

( ""^ — sm «-^ _____.___cos .^-(^ —.—__.

Les seconds membres de celles-ci montrent que, pour les diverses molécules réparties sur la sphère de rayon r décrite autour de l'origine comme centre, les déplacements éprouvés se composent : 1" d'une translation commune

2 — — , dans le sens de la force ; 2" d'un déplace-

raent^ — sin a, effectué suivant la droite définie par les

cosinus directeurs cosa, — sina, ou qui fait l'angle a avec les r» positifs, du côté des ^négaLifs,et coïncide, par conséquent, avec la tangente au cercle représenté par l'équation a;^ -(- ï^ = î'*.

Donc, chaque couche demi-spkérique d'un rayon donné r, ayant fom^ centre le point d'application de la pression élémentaire d'? exercée surlecorps, avancedans le sens de celleci. sans cesser de faire partie d'une sphère de même rayon,

de la quantité '2 -^ gui-, d'après la formule (46j,

Seulement j comme on a

,„ f/m . dm . dm > dm dm

4y — am K cos K ^ — sin 2 « , — ■ — sin* «^ 1 cos2 «

les particules gui constituentla couche éprouvent, sur la swfacede la sphère dont elle garde la figure, un léger recul,

composé de la translation -^r— = -r-z — %—^ ^r—- , en sens ^ 2t 4 (X -I- 2ii-) 2ffiir'

contraire de la force d.P, et d'un déplacement, égal a cette

translation, effectué suwanù la di/rection qui fait avec celle de la force l'angle 2* dont la bissectrice est le propre rayon r aboutissant à la particule.

Ce dernier mouvement seul, propre aux diverses molécules de la couche demi-sphérique, aurait pour effet de les éparpiller sur toute la surface d'une petite sphère de rayon

-^, si on les supposait d'abord réunies en un même point,

à l'origine des coordonnées par exemple. D'ailleurs, l'éparpillement, uniforme dans le sens des cercles méridiens de la petite sphère, accumulerait, à son pôle situé du côté des z négatifs, toutes les molécules effectivement placées à l'équateur ou circonférence de base de la couche demi-sphérique et, aux environs de ce pôle, les zones à grand rayon et à grande surface (ou équatoriales) de la même couche; de manière à relever en moyenne sa matière ou à faire monter son centre de gravité, car il n'y aurait que les molécules de la calotte comprise entre a = o et œ = ^ qui s'y abaissassent. Comme le mouvement dont il s'agit relève chaque molécule de — -^ cos 2a, et que le nombre des molécules pour lesquelles a a une certaine valeur est proportionnel à sina, c'est-à-dire au rayon r sin a du petit cercle de la couche le long duquel ces molécules sont rangées, le relèvement éprouvé par le centre de gravité général égalera

la valeur moyenne du produit — — cos 2 « sin a, quand a y

varie de 0 à -^ , divisé par la valeur moyenne du facteur sin o Or on a

dm f~ 2

Le quotient des deux intégrales vaut donc — : et l'on peut

observer qu'il serait le même si , le corps étant supposé exister aussi du côté des 2 négatifs, ou la couche étant supposée couvrir une sphère entière et non une demi-sphère seulement, a variait dans l'intervalle double compris de o à ■Tt ; ce qui ne ferait que multipHer par 2 la -valeur de chaque intégrale. En ajoutant le quotient obtenu, -^,àla trans-

ie couche dans son mouvement de recul sur sa suiface, on trouve que ce mouvement de recul produit en tout, sur la couche, un relèvement moyen égal à

3 r 3(X-h2ia) 2Tr!J,r '

Ce relèvement, retranché de la translation

l-^^ii. dm dP X -I- [i r Stt [j.r

qu'a éprouvée de haut en bas la sphère sur laquelle la couche reste située , donne enfin

2{2X-(-5[ji.] dm __ 2XH-5ft rfp ^ ' ~ZQ^T^ ~ ~ SpTT^ 2;rH,r

pour le déplacement moyen imprimé à la couche par la pression extérieure d'P.

Enfin, si dr désigne l'épaisseur d'une couche, on obtiendra le déplacement moyen imprimé à toute la matière qu'entoure la couche de rayon r, en multipliant l'expression (51) par le facteur ^^dr, proportionnel au volume d'une couche, puis en intégrant le produit de 0 à /■ et divisant le résultat par/' r^ dr — \ 7^. On trouve ainsi que le dAplacement moyen de toute la parti» du corps qu'entouré une

sphère de rayon r, ayant son centre au point d'application de la pression rfP, vaut la quantité

2 IX -1- 2ix) In^T '

un peu supérieure au déplacement même du centre

de la sphère dont ne cesse pas de faire partie sa surface convexe.