Déformations qui s'y trouvent produites

Cherclions actuellement à nous rendre compte des déformations produites aux divers points. A cet effet, nous occupant d'abord de co qui se passe dans un plan méridien, par exemple, celui des zx considéré du côté des x positifs, nous chercherons ce que deviennent , après les déplacements, deux éléments rectilignes menés, à partir d'un point quelconque [x,z) ou (?•,«}, l'un , dr, dans la direction du prolongement du rayon r qui y aboutit, l'autre, ds, dans le sens perpendiculaire suivant lequel r ne varie pas et a grandit.

Le premier, dr^ défini en direction par les cosinus directeurs siua, cos a, a pour projections primitives sur les axes dx=dr sm. a., dz= dr cos a. Par suite, les déplacements respectifs, horizontal et vertical, de sa seconde extrémité, dépassent les déplacements analogues de la première, des quantités

\ do: e/z / \ dx dz j

Portons dans celles-ci les valeurs des dérivées de u^w en x,z déduites de la première et de la troisième (47), avec substitution der sin a et r cos a à a? et à ^ dans les résultats ;

puisajoTitonsces accroissements aux projections primitives de l'élément matériel dr, qui étaient sina(/r et cosœ(^r. Nous trouverons que ces projections deviennent, après les déplacements,

dm , [• dm J, -i- 3^. dm 1 , ;53) sina 1 cos« dr, cos« 1 — — cos« — ~ —~\dr.

En faisant la somme des carrés de ces expressions (avec suppression des termes en dm^, évidemment négligeables), puis extrayant la racine carrée du résultat, nous obtenons simplement, pour la nouvelle longueur de l'élément rectiligne ,

r X -H âii (/m 1 ,

54, 1 — 2 T^ ~ cos H dr.

La dilatation linéaire de cet élément, rapport de son accroissement à sa longueur primitive, est donc

, X -I- 2(1 dm '55) 3, = — 2- t^co8«.

Le quotient de la première expression (53) par (54) nous donnera d'ailleurs, pour le sinus du nouvel angle que fait avec les z positifs l'élément rfr déplacé,

):-¥-Z\). dm . 1

Pendant que les déplacements s'effectuent, l'élément matériel //?■ tourne donc un peu, de manière que son angle a avec les z positifs croisse de

Xh-3|i dm .

;56) -:^ — — — - sm B.

Occupons-nous maintement du second élément matériel rectiligne, ds, dont les projections primitives sur les axes

sont dx= cos a ds, dz = — sin a ds. Après les déformations, ces projections vaudront

(cos a. H ;— COS « — — -— sma ds, ( — ainn A -~ cosa r— sihh) (W.

(ï» «î dx (h

Portons-y les valeurs déjà calculées des dérivées de m, w. et elles deviendront

(5,) (oo..+^».2.)</,, (si„.+ i^sm2.)&.

On en déduit^ comme tout- à-l'heure pour (54), la nouvelle longueur de l'élément matériel ds,

(58) (1 -H —^ cos ^.] ds,

et, par suite, la dilatation qu'il a éprouvée

dm

(59) ^' = -r cos a.

Le quotient de la première expression (57) par (58) donne d'ailleurs le cosinus du nouvel angle qu'il fait a'^'^ec les x positifs, du côté des z négatifs,

en sorte que cet angle s'est accru, ou que l'élément f^ a tourné, de la quantité

comme on aurait pu, du reste, le déduire du fait, impliqué dans les formules (48), que l'élément ds reste tangent à un

cercle de rayon r le long duquel il avance de ~ sin a.

L'excédent, sur cet angle (60), de celui, (56), dont a tourné dans le même sens l'élément matériel dr,. mesure la diminution éprouvée par l'angle,' primitivement droit, de ces deus éléments l'un par rapport à l'autre, ou ce qu'on appelle leur glissement mutuel. Ce glissement vaudra donc

Pour achever de définir les déformations éprouvées par la matière au point [x,z) du plan méridien des zx, il ne reste plus qu'à calculer la dilatation ?„ éprouvée par un élément matériel rectiligne dn normal à ce plan et qui, par raison de sj'métrie, ne cesse pas de lui être perpendiculaire. Cet élément appartient à un cercle parallèle , ayant son centre sur l'axe de révolution ou de symétrie, et dont le rayon x devient x+u ou r sina-i-U. Son allongement par

unité de longuenr est donc — r— . En y remplaçant U par la

valeur (48), il vient

(62) tt„ = cos K.

La dilatation cubique û sera la somme des dilatations linéaires, (55), (59), (62), de trois petites droites matérielles rectangulaires. Sa valeur ainsi calculée,

63 S = — --- - ■ -— — cos K,

concorde Men avec celle que donne immédiatement la formule (26) [p. 65].

En résumé, il se produit, en un point quelconque de la couche de rayon r, d'égales dilataùions suivant l'arc de méridien et suivant un cercle parallèle delamême couche; ces dilatations ont pour valeur

2(l + 2|i) 2iif)-"

La contractwn qui a lieu en même temps dans le sens de l'épaisseur de la couche, eu la condensation 9 de la matière, sont respectivement les produits de la somme de ces deux

dilatations linéaires par les nombres constants ■ :^ - - eu y^—-

Enfin, le prolongement matériel du rayon r, primitivement noTTnal à la couche, s'incline un peu vers le haut de celle-ci, de manière à tourner par rapport à elle d un angle variable , égal au produit delà condensation — ^ ^«rtangûc.

2i. — Pressions intérieures mises enjeu par ces déformations.

Au moyen des quatre déformations i^, 5„ t)„, g, on évalue aisément les composantes normales et tangentielle , N^, N,, T, des pressions exercées sur les éléments plans perpendiculaires aux petites droites dr, ds, et la pression N„ qui sollicite un élément superficiel situé dans le plan méridien, force évidemment dirigée suivant la petite droite dn perpendiculaire à ce plan. On sait, en effet, que

(65) Nr==Xe-+-2!i?r, N, =Àe+ 2[ia, , N„ = ÀO-t- 2ij,Ô„ , T=:!ig.

D'ailleurs, ces quatre composantes N, T permettront, comme on le sait aussi, de déterminer toutes les pressions intérieures que supporte le corps suivant les divers sens.

Si l'on substitue dans les formules (65), à 0, 3^, û„ î)„, g, leurs valeurs (63), (55), (59), (62), (61), il vient :

(65 dis

dm ' 2ix* dm 2ii-* dm ,

6^ __ cos « ~ j-—- — cos «, T = ^-— - ~ SI

Les deux composantes, l'une, normale (dirigée suivant le prolongement du rayon r), l'autre, tangentielle (suivant l'arc ds) , de la pression exercée par la couche demi-sphéri-que

de rayon r sur celle de rayon r <- dr, sont — N, et — T. On voit que ceHe action, d'une couche demi-sphérique sur la suivante se compose, par unité d'aire : X" d'une compression

normale, 6^^ —^ cosa^ inversement proportionnelle au carré

du rayon r de la couche et en raison directe du cosinus de l'angle a que fait ce rayon avec la verticale ou la normale à

la surface du corps: 2" d'u7ie force, r-^— -j , dirigée verticalement de haut en bas ou vers l'intérieur du corps { c'est-àdire faisant avec le rayon r prolongé et avec Tare ds les angles qui ont respectivement pour cosinus cosa et — slna) , force constante sur toute l'étendue de la couche et inversement proportionnelle au carré de son rayon.

Observons que cette dernière pression verticale équivaut, pour toute l'aire 2-^r^ de la couche demi-sphérique, à une

poussée de haut en bas égale à r dm. La précédente,

6p — cosa, devenue 6h-^cos^k enprojectionsurl'axedes^,

donne une poussée analogue, (6u-^oos^a) i^T.r'^sincf.d'x),

sur une zone élémentaire de rayon r sin « et de largeur rda-y et, par suite, une poussée totale égale à

sur un calotte demi-sphérique. La couche considérée exerce

donc en tout une pression ayant pour valeur —- dm+4-i>-dm,

pression égale, d'après(46j, à celle, d)?, que supporte la surface supérieure , comme il le fallait bien pour l'équilibre de la demi-sphère terminée à la couche.

Observons encore que, si l'on découpe dans la même couche, en menant une surface conique normale à ses deux faces, une calotte ou un ménisque dont le rayon de base

soit r sina, les deux composantes, suivant l'arc ds et suivant le prolongement dr du rayon r, de la pression exercée sur la tranche ou contour de cette calotte vaudront par unité d'aire Nj et T, forces dont la résultante , d'après (65 bis)^ a

pour valeur r —r-c^i se trouve dirigée suivant une hori-

zontale issue de l'axe des z. On voit donc que les sections normales faites, dans une couche demi-sphérique, perpendiculairement à ses plans méridiens, sont soumises à des tractions horizontales, constantes par unité d'âire et précisément égales à la pression verticale uniforme, ^ ^,

qu'exerce chaque couche sur celle qui la supporte en outre de la pression normale, variable, 6 f^ —^ cosa. Enfin, les

sections méridiennes de la couche sont soumises à des tractions N„, qui égalent, en chaque endroit, la composante normale, ii,,des tensions horizontales dont il vient d'être parlé.

22 — Déplacements élémentaires pour le second et le troisième des types simples d'intégrales.

Passons actuellement à l'étude du second type simple d'intégrales , toujours pour le cas où le potentiel ^ ne conserve qu'un seul de ses éléments, log {z ■+■ r). dm, relatif à une masse dm recouvrant une portion infiniment petite d^ du plan des a^g. Les déplacements u,v,n'' ont alors, d'après (36) [p. 72], les valeurs

( dïog[z--\-r) , xim, !^log(sM-r) ydm

-4-r)' "" iy '^~ ryz^r)'

où )■ désigne la distance du point quelconque [x, y, z) du corps à rélémentf^T, sur lequel est supposée prise l'origine

des coordounées. D'après la dernière formule (38} [p. 72"] , les actions extérieures exercées sur la surface n'ont pas d'autre composante normale qu'une pression dP, appliquée à l'origine suivant l'axe des z et égale à

(67) dP = iny. dm.

Les relations (66) montrent que-w dépend seulement de '/', et que u,v sont les produits respectifs d'une même fonction de r et 2 par les cosinus des angles que fait, avec les X et les y, le plan, qui contient le rayon r et l'axe des 2. Donc , comme pour le pj^emier type simple d'intégrales , les déplacements se font symétriquemeni tout autour de l'axe des z, c'est-à-dire tout autour de la droite d'application de la pression normale dP.

Il suffira de considérer encore la matière comprise dans le plan des zx, du côté des ^positifs. En continuant à poser x=r sin a, z=r cds a, oii a est l'angle, compris entre o et

—, que fail le rayon r avec les z positifs, les relations (66)

donneront, pour le déplacement horizontal U et poiir le déplacement vertical w,

sîn a dm. dm o. dm

68 U=- - — = — tang-, w = —-.

' 1-4- DOS a)- r 2 r

D'après les formules (66), eu vertu desquelles « e t w égalent les dérivées en.x &iz d'une même fonction (fmlog(r+^), le déplacement total se fait, dans le plan méridien des zx, normalement aux courbes dont l'équation est

r ■^- z ^ une constante positive c.

Or ces courbes, à cause de la propriété même, r=^c — z, qui les caractérise, sont les paraboles ayant pour foyer l'origine et pour directrices les diverses horizontales z=s menées au-dessous. Leur concavité est tournée vers le haut, et leur tangente en chaque point, bissectrice de l'an-

gle que tait, avec une verticale dirigée vers en haut, le prolongement dr dn rayon r aboutissant à ce point, a pour perpendiculaire la bissectrice de l'angle adjacent fait avec dr par le prolongement vers en bas de la même verticale, c'est-à-dire la tangente aux paraboles r=corist -^z, dont le foyer est l'origine et l'axe celui des z, mais dont la concavité est tournée vers le bas. Ces dernières paraboles sont donc les trajectoires orthogonales des premières et c'est, en chaque point, suivant leur direction que se font les déplacements. Ainsi, des couches minces, découpées suwant des jparaholoïdes de révolution à axe vertical ayant pour foyer l'origine et concaves vers le bas, conservent leur forme et leur position : la maUère qui les compose glisse seulement sur leur superficie, en s'abaissant d'une quantité qui, à cause des formules (67) et (68), a pour valeur

En chaque point d'un méridien, la tangente aux couches paraboliques est évidemment inclinée sur l'axe de révolution ou des z d'un angle moitié de celui, a, que fait avec une parallèle à cet axe le prolongement du rayon r. Le déplacement total s'y effectue par conséquent suivant une

direction dont l'angle avec l'axe des ^ est —, comme le

montrent d'ailleurs les relations (68).

A la surface, les deux composantes horizontale etvm'-ticaU des dépla,cements sont égales ; car, l'angle a y étant évidemment de 90", le déplacement total se fait en chaque point dans une direction inclinée de 45° sous l'horizon. Cette circonstance distingue essentiellement le type d'intégrales considéré 'ici d'avec lepremier, oit lés mouvements étaéntexclmwement verticatix à la surface, et d'avec le t?'oisième, où, ils se font partout horizontalement.

Occupons-nous enfin de ce troisième type, correspondant

à certains modes desoUicitationde la surface par des actions uniquement tangentielles. Dans le cas où la couche fictive m se réduit à un seul élément dm placé à l'origine, on y a, d'après (39) [p. 73] , des déplacements représentés par les formules

d\os{z +■ r] , d\os{î -^ r) ,

f70j « = 5J J. ^ e = ëJ 1 ^^^ «, =, o.

dy dm

Les composantes horizontales du déplacement subsistent seules : la seconde, v, n'est autre que la première u du cas précédent, qui aurait ainsi tourné de 90" dans le sens de ox vers oy\ et la première, u, n'est autre que celle v du même cas changée de signe, c'est-à-dire ayant tourné également, dans le même sens, de 90". Donc le déplacement total a la valeur du déplacement horizontal qu'exprime la première formule (68) , et il s'effectue perpendiculairement à ccluî-là , c'est-à-dire suivant les 'parallèles , qui sont les cercles horizontaux ayant leur centre sur l'axe vertical de révolution ou des z. Chacun de ces cercles, supposé matériel, éprouve un simple mouvement de rotation autour de son centre, dans le sens de ox vers oy: son rayon égalant r sina , l'angle de la rotation vaut le quotient du second membre de la première (68) par r gin«, c'est-àdire le quotient de dm par r* (1 -+- cosa) ou par r [z i-r).

23. — Déformations et pressions intérieures dans le cas du second type.

Considérons, dans les modes de déplacement représentés par les formules (66) , deux petites droites matérielles primitivement rectangulaires, ds, ds', menées, d'ans le-plan méridien des zx et à partir d'un même point [x, z) ou [r, a.), Tune, ds, tangente à la paraboles — ^=const- qui passe parce point, l'autre, t?/, tangente à la parabole r+^=const. qui y passe également, et, toutes les deux, dans les direc-

tions suivant lesquelles le rayon vecteur r grandit. La première, liî, de même sens que les déplacements produits au même endroit, fait avec les x et les z des angles ayant

pour cosinus sin — , cos— . Les cosinus analogues pour la

seconde, ife', sont cos — , — sin~.

On trouve, par le mode de raisonnement employé au n" 20, que les projections de la première sont devenues , après les déplacements,

dai.

c'est-à-dire, en y calculant les dérivées de m et w au moyen des formules (66) et posant x=-t sin «, z=t cos a dans les résultats,

/ H \ / dm % -¥- cos « \ . / K \ / dm\ ^71) sin- 1--

Il en résulte, en procédant comme on l'a fait au n" 20 ^p. 87), la nouvelle longueur de l'élément

la dilatation qu'il a éprouvée

dm / 1 — cos a \ dm 1, 1 . « \

et, vu le rapport de la première (71) à (72), le nouveau sinus de l'angle que fait l'élément matériel ds avec l'axe

L'élément ds a donc tourné, dans le sens des ox vers oz, du petit angle

De même, les projections de l'élément ds' deviennent

/ K dti « dn . a \ ,,

cds — -<- cos — Sin — - I as ,

/ . a (^VB « ''"'■'< \ vy — sm — ■ -+- cûs — sm — « >

OU bien, après !'effectuation-des calculs et la réduction des

résultats,

On en déduit, pour la nouvelle longueur delà petite ligne ds',

pour sa dilatation.

elj pour le cosinus du nouvel angle qu'elle fait avec l'axe desi»,

l «M du . « \ Ta dm al

L'élément ds' a donc tourné, dans le sens de oz vers ox, du petit angle

égal à celui , (74) , dont a tourné , en sens contraire , l'élément ds. Par suite^ le glissement relatif des deux éléments ds, t?/est le double, changé de signe, de chacun de ces angles ; en sorte qo'on a

(79) g == tang ~ = — 2 Û,, tang -~.

Enfin, la dilatation »)„ d'une petite droite d% normale au plan méridien est celle qu'éprouve la circonférence matérielle horizontale décrite autour de l'axe des z avec le rayon T sin«, et gui grandit dans le rapport de r sina à r sina hU. On a donc, d'après la valeur (68) de Ij.

La dilatationcubiqueO— 3, +-i)„.+-i)„ est bien nulle, comme il le fallait, quand on y porte les valeurs (73), (77) et f80) de  a.., 5„. '

Quant aux composantes N,, N,-, N„, T, normales et tangentielie, des pressions exercées sur les éléments plans respectivement perpendiculaires aux petites lignes ds, d^, d7h, elles ont pour expressions

N, = 2 [1 D, , N,- = 2 n &,., N„ == 2 H- ?„ , T = fi g.

Sans nous arrêter plus longtemps à ces formules, nous remarquerons qu'elles donnent, pour l'action exercée, sur chaque couche parabolique (r — ^=:const.) de forme et de position invariables, par la couche analogue qui l'entoure, une traction perpendiculaire au rayon r, traction dont les composantes normale et tangentielle sont respectivement,

d'après (77) et (79), N,.= ;. ^ , T = — ^^ ~ tang -^ , et dont l'intensité par unité d'aire a pour valeur -.

24. — Déplacements que produit une simple pression normale, exercée sur un élément de la surface.

Cherchons enfin les expressions des déplacements pour le type d'intégrales composé, particulièrement important, qui correspond an cas où la surface ne supporte que des pressions normales, et où la couche fictive m dont on prend le potentiel logarithmique, couche étalée sur la surface, n'en couvre qu'un élément dt ou se réduit à une quantité infiniment petite dm.

D'après les lois énoncées dans la première partie du n" 17 (p. 76), ce cas est celui où les pressions exercées sur la surface se réduisent à une seule , dP, égale à dm et appliquée au centre de l'élément d^, que nous choisissons pour origine des coordonnées : de plus, les valeurs des déplacements Wj y, w s'y obtiennent, en ajoutant les expressions de M, «»,«? relatives au premier et au deuxième type, c'est-à-dire (47)

et (66) [p. 82 et 93] , respectivement multipliées par -t — et

par— 7 — r. La droite suivant laquelle s'exercelapressiont^P

étant évidemment un axe de symétrie ou de révolution, on peut se borner à considérer les déplacements produits dans le plan méridien des zx et substituer, par suite, aux relations (47) el (66) les formules plus simples (48) et (68) [p. 83 et 93].

Donc, si l'on appelle toujours

r la droite qui joint le point d'application de la pression dp au point quelconque [;», y, z) du corps ,

«l'angle, variable de zéro à -^, que fait celte droite avec la direction de la pression (?P,

et si l'on remplace dm par dP, les expressions du déplacement horizontal U et du déplacement vertical w fournies

— too —

par les troisièmes membres de (48) et de (i mettant finalement pour sin2a l'expreèsion

) seront , en

4oos' -

tans~oo!. = 2(l + c

os.) DOS.

^"Sj

et,

de

même, 2cos''a — 1 pour cos2a

lie / ,^^

tang

L'enfoncement tv et le retrait — U , qu'éprouvent des cercles concentriques ou conasiques , tracés , les uns , à la surface, autour du point pressé, les autres, à l'intérieur, sur des cônes de révolution ayant pour sommet ce point et pour axe la pression exercée, sont donc régis par des lois très simples, dont la première consiste dans leur proportionnalité inverse à la distance r au sommet.

X^e déplacement vertical w, partout de même sens que la force déformatrice dP, est d'autant plus petit, à égales distances r.du. point d'application de cette force, que l'angle a est plus grand, ou qu'on est plus loin de la droite suivant laquelle elle s'exerce.

Quant au déplacement horizontal U, il est nul pour a=o, par raison de symétrie, mais positif (quand la pression dP l'est elle-même) pour les valeurs assez peu grandes de «, c'est-à-dire dans la partie du corps sous-jacente , directement comprimée et qui, par suite, se dilate ou se détend dans les sens latéraux, comme on pouvait le prévoir. Cette partie est limitée par le cône qui a son sommet au point d'application de la pression dP^ et dont les génératrices font avec celle-ci l'angle a pour lequel s'annule le facteur

Le cosinus de l'angle dont il s'agit vaut doue

-i-Vi-i

I! est évidemment inférieur à ^ , c'est-à-dire à un

nombre qui doit atteindre tout au plus -1- : car, dans tous les solides, X paraît être au moins égal à ji. L'angle considéré dépasserait donc toujours 60" (').

Pour les valeurs de « plus grandes que la racine de l'équation (82), le déplacement horizontal U devient négatif. Ainsi la pression dP a pour effet de rapprocher de sa droite d'application la matière extérieure au côue dont il vient d'être parlé, matière qui semble comme attirée vers l'axe du cône.

C'est ce qui arrive en particulier à la surface du corps ou du sol, c'est-à-dire pour a = 90". Les circonférences concentriques qu'on y décrit, d'un rayon quelconque r, autour du point d'application de la force dP comme centre , se contractent ; leur rayon diminue, d'après la première (81), delà quantité

(82 *ù) (pour; =o)

(*) La formule même cos^ a -i- ces a = ■— montre que, lorsque le rapport

de i à fi grandit de zéro à 1 et puis de 1 à Tinfini, ou que décroît de 1 à ^,

puis lie 4- ù zéro, l'angle a grandit lui-mèuie de arc cos 1^ = 51" SCf environ

à arc C08 ^*~' = 68" 32' environ , puis de cette dernière valeur à 90". Dans les corps plastiques oii ). serait incomparablement plus grand que I» , on aurait donc a. = 90" : le cône sur lequel le déplacement horizontal U s'annule y coîncidorait avec la surface même du corps.

En même temps,, ces cercles s'abaissent d'une quantité proportionnelle, yui, vu la deuxième (81), a pour expression

L'enfoncementJîi est plus considérable que ie retrait — TJ; car son rapport à celui-ci égale le quotient de X t-S^j. par ,«, c'est-à-dire au moins 3, d'après ce qu'on vient de dire.

La formule (83) exprime une loi importante que nous utiliserons dans les deux S^§ suivants , et qu'on peut énoncer ainsi :

Une pression d?, exercée normalement sur une partie infiniment petite de la sur face d'un corps élastique plan, d'une, largeur et d'une profondeur indéfinies, produit, en tout point de cette surface situé à une distance quelconque r de la partie pressée, un enfoncement égal au facteur cons-

tani-r — 2 — , multiplié par le poie?iliel — obtenu en assimilant la pression dP à une matière qui occuperait son point d'application.

On remarquera que les déplacements w décroissent, autour du point d'application de la pression dP qui les produit, comme grandissent les circonférences 2-r.r sur lesquelles o^i les observe. //y a donc, en quelque sorte, conservation des effets de la pression dV à toute distance r sur la surface, puisque ces effets (qui sont les déplacements w), multipliés par les étendues %ir sur lesquelles ils se répandent, donnent des produits constants.

Il est à peine nécessaire d'ajouter ici que les formules de ce numéro ne s'appliqueraient plus, si la distance r du point {x , y, -z) à l'origine devenait comparable à i^^, c'est-à-dire aux diinensions de la très petite surface. (/'t sur laquelle s'exerce la pression considérée dP. En effet, dans

cesformules, lesintégralesyr(^./log(i;+-î') ÉÏP, j —.que

contenaient les relations plus générales (43) [p. 77], ont été réduites à un seul de leurs éléments ; de sorte que rfP et d'3 sont censés y tendre vers zéro avant que r ne s'annuie lui-même. Quand donc r est de l'ordre de V^^, il faut décomposer d^r en éléments iniiniment plus petits encore et calculer m, v, w par les formules (43) : les termes y étant comparables au quotient des diverses aires en lesquelles on aura décomposé t^w par une distance de l'ordre de r ou de VTi, les valeurs intégrales de u, v, m seront elles-mêmes comparables à l'aire totale, d'y, divisée par Vd<z, ou comparables aux dimensions de l'élément de surface di. Donc, les déplacements u.v^iv produits par la force dP ne deviennent pas infiniment grands pour r=o, malgré le dénominateur r qui s'annule alors dans les formules (81) : c'est, an contraire , l'influence du numérateur t^P qui l'emporte dans ces expressions , et qui les rend infiniment petites même en ce point.

Si les formules (81) à (83) doivent être remplacées par d'autres plus complexes, (43), quand le point {x, y, z) n'est distant de la région d'application An que de quantités comparables aux dimensions de cette région, il est clair, à l'inverse, que, dans le cas oîi la région d'application t des actions extérieures sera finie, mais où l'on ne considérera que des points du corps assez éloignés de cette région, les formules simples (81) à (83) pourront être substituées, sans erreur sensiljle , aux expressions (43), sauf à changer r/P en /rfP ou P ; en d'autres termes , on pourra supposer tous les éléments dV de la charge réimis en un même point, lorsque cela reviendra à ne les déplacer que très peu par rapporta la distance où ils sont des parties du sol dont on étudie les

35. — Lots de la transmission de cette pression normale à Vintè-

rieur, sur les couches de matière parallèles à là surface : comparaison avec les lois analogues pour les types simples d'intégrales.

Arrêtons-nous encore un instant à l'étude des effets d'une pression normale élémentaire dP, pour chercher comment elle se transmet, dans l'intérieur du corps, sur les diverses couclies de matière parallèles à la surface. li nous suffira, pour cela, de considérer les formules (41) [p. 76], qui, en réduisant /t^m à dm=dP être, /isî^-yî Vs* , donneront les composantes de l'action exercée par chacune de ces couches sur celle qui !a supporte, ou qui est contiguë et plus profonde. Il vient ainsi ;

(83 bis]

On voit que la pression élémentaire rfP, exercée sur la surface à l'origine des coordonnées, fait naître, sur toute l'étendue des couches parallèles à cette surface, des pressions obliques, dirigées suivant le prolongementdes rayons r issus de l'origine, et égales en chaque endroit, par unité

de superficie, à -;; r= r — ; cos^'k. Il émane donc, enhqne

droite, du point d'application delà pression donnée, comme des répulsions, s'ea^erçant sur toutes les couches parallèles à la surface : ces répulsions ou, pour mieux dire, ces pressions intérieures, proportionnelles à celle qu'ion exerce au dehors, varient m raison composée inverse du carré r^ de la distance

et du carré —^ du raffort de cette distance à la profondeur de la couche qui les supporte (*).

Observons que, si l'on mène, par ie point considéré {sc,y,z) et dans le plan méridien de ce point, c'est-à-dire dans le plan de l'axe-des z^ une perpendiculaire au rayon r émané de l'origine, cette perpendiculaire ira couper l'axe des Jaune certaine distance D de l'origine et formera, avec le rayon r et l'axe des ^, un triangle rectangle dans lequel la droite D sera l'hypoténuse, r, un côté de l'angle droit, et, z, la projection de ce côté sur l'hypoténuse. On

aura donc r*— Dz, ou ~ = =-^ ; et la pression exercée sur la

couche passant par le point [x, y, z) se trouvera être inversement proportionnelle au carré de la droite D. Or, celte droite est évidemment la même pour tous les points d'une sphère passant par l'origine o et ayant son centre sur oz; car l'hypoténuse D n'est autre alors que le diamètre de la sphère normal au plan isoy. Donc, en résumé, dam toute l'étendue d'une couche sphérique infiniment mince , tangente à la surface du corps au point d'applicatwn de la force normale donnée dV, la pression que supporte l'unité d'aire des élément plains parallèles à cette surface est constante , en raiso7i directe de la force dÇ, dirigée suivant les cordes émanant du point de contact et, pour différentes couches sphériqties, inversement proportionnelle à leur surface.

Il faut, pour l'équilibre d'un cylindre d'un très grand rayon et d'une hauteur z quelconque , décrit dans le corps autour de la force extérieure d¥ comme axe, que cette pression c^P, en se transmettant de couche en couche, garde son intensité totale ; car les pressions appliquées aux deux hases du cylindre doivent à elles seules se neutraliser, celles qui le sont à sa surface convexe étant, par

(*) Je démontrerai ou n" 40 bis (p. 187) que cette loi est comprise lians une autre non moins simple, concernant le cas d'une prerision oblique quelconque exercée en un point de la surface du solide.

unité d'aire, comparables à l'inverse du carré de son rayon, c'est-à-dire, comme partout, à l'inverse du carré de la distance à l'origine, et n'ayant, par suite, sur toute la surface convexe , qui est seulement de l'ordre de la première puissance du même rayon , qu'une résultante négligeable. Et, en effet, sur la coucbe située à la profondeur z^ l'intensité totale de la pression exercée est

2tt I p^rdr, vu que celle que supporte, en tout, une

couronne élémentaire , ayant pour rayon intérieur Vî-^t-î' et pour largeur d /)•* —s* , égale le produit de jj^ par l'aire

de la couronne ; produit qui n'est autre que 2np^rdr, où le rayon \fr^~-z^ peut varier de zéro à l'infini et, par suite, r, de ^ à co . Or, en substituant kp. sa valeur (83 Ms), l'intégration donne bien

On remarquera que les formules (83 Ois) ne contiennent aucun coefficient d'élasticité ; en sorte que la Iransmùsion des pressions, à partir de la surface, sur les couches de mali&i^e qui lui sont parallèles, se fait de la même maniè^-e dans tous les solides ùoiropes.

Il n'en est pas tout-à-fait ainsi sur des coucbes ayant d'autres directions ; car la manière dont s'y distribuent

les efforts supportés dépend du rapport ■. On trouve.

par exemple , au moyen des formules (81) ou (43j , que les cylindres circulaires conaxiques décrits autour de l'axe des z ou de la force rfP subissent, par unité d'aire, des compressions (positives ou négatives) dont la composante normale est

dp

et que les pians méridiens menés suivant le même axe éprouvent des tractions exprimées de même par

{ \>. dP ( z *■ \ „ i' '^^ / __}__\

\ X -h- [A 2 77 r2 \ »■ r -*- zj ), -1- il 2 n r» V 1 m- cos «^

) - JL fE J-i ■ t — \

[ X -(- |1 2 ir ,■* ^a l ^"^ " ''"^ 2 / '

tractions positives pour a < arc cos.^±:l= 51" 50' et négatives pour « y 5r 50', c'est-à-dire près de la surface.

Il va sans dire que les relations (83 Us), tout comme celles du numéro précédent, ne conviennent plus dans le voisinage dé la région d'application, et que, là, il faut décomposer cette région en une infinité d'éléments et recourir, soit aux formules générales (41) [p. 76], soit, pour les valeurs de z bien moindres que les dimensions de la même région d'application, aux formules plus simples [41 his) et (41 ter].

Observons que les pressions exercées sur des couches parallèles à la surface sont également régies par des lois intuitives dans les deux de nos trois types simples d'intégrales où ces pressions admettent des composantes normales , savoir, dans ceux que nous appelons le premier et le deuxième.

Commençons d'abord par ce deuxième type. Les formules (37 ôw) rp.72] y donnent, en réduisant r à ^ x'^^y'^^z^ %ifdm à dm ou, d'après la troisième (38), à— — :

dF

iP

(83 ter)

On voit que cliaque couche se trouve encore comme repousséepar le point d'application delà composante normale dP de la pression extérieure, et, toujours , en raison inverse du carré de la distance r. Mais, ici, ces pressions intérieures, au lieu de dépendre du rapport de la distance à la profondear de la couche, ont la même intensité dans toutes les directions; d'où il résulte que la surface même est soumise à des actions tangentielles. La poussée totale

X^ C"^ àr

p^rdr^zdV j ^., que supporte

chaque couche , a la valeur zdP l ) = dP, comme iHe

faut.

Enfin , le premier type simple d'intégrales étudié au numéro 14 (p. 65) pouvant évidemment être considéré comme une combinaison linéaire du second, dont on vient de parler,et de celui où îa surface ne supporte que des pressions normales, les actions exercées sur les couches parallèles à !a surface j seront encore assimilables à des répulsions, inverses du carré des distances r, mais dont une partie ne dépendra pas de la direction, tandis que l'autre variera en raison inverse du carré du rapport de la distance r à la profondeur z de la couche.

§ IV. — CALCUL DES DÉPRESSIONS QUE PRODUISENT, A LA SURFACE d'uN

SOL HORIZONTAL OU d'uN CORPS ELASTIQUE PLAN D'UNE LARGEUR ET

d'une PROFONDEUR INDÉFINIES , DBS PRESSIONS EXTÉRIEURES