EXERCÉES SONT OBLIQUES

26. — Forme que prend la surface à d'assez grandes distances de la partie directement comprimée.

A cause de la superposition des petits effets, renfoncement, w, éprouvé par chaque partie de la surface du sol ou du corps élastique sous l'action de pressions normales finies, s' exerçant dans une région déterminée t de cette surface, égalera simplement la somme des enfoncements partiels (83) [p. 102] que produiraient, au même endroit^ les pressions élémentaires dP réellement appliquées aux divers éléments de j. Si donc d'^ désigne l'élément superficiel sur lequel s'exerce une des pressions élémentaires données dP, r sa distance à un point déterminé quelconque [w, y) de la surface, p la pression que supporte dw par unité d'aire , c'est-à-dire le rapport fini de dV h d's , enQn /une intégrale s'étendant à toutes les composantes élémentaires dV ou à tous les éléments d-^ de la surface directement comprimée, il viendra, pour l'enfoncement w produit au point que l'on considère,

/841 = '^-^^^ T— = '^^^'^ " Cl^

Cherchons d'abord une expression approchée des valeurs que reçoit w à d'assez grandes distances de la région a d'application des forces extérieures.

Je prendrai deux axes des œ et des y dirigés suivant les

deux axes d'inertie principaux de la couche matérielle fictive fdP, relatifs à son centre de gravité ou centre des forces parallèles/r/P. Si Xi et y^ désignent les deux coordonnées de Télément superficiel d^, on aura donc

(85) J"x,cfP = o, fy,dP = o, j^,^,y,^=o.

De plus, j'appellerai Pla résultan te/ï^P des pressions extérieures et PA*, PB^ les deux moments d'inertie principaux

^S(i) Pk^=.- Cû-i^dP, PEs= ff/t^dP

de la couclie fictive /(i?P par rapport aux axes respectifs des ?y et des œ.

Cela posé, a; ety désignant les deux coordonnées du point quelconque de la surface dont on veut calculer l'enfoncement, t la droite yfw^-htf^ qui le joint au point d'application de la pression résultante P, et u l'angle que fait cette droite avec les x positifs, on a w—^o cosw, ^=t sinu et, par suite,

Comme la distance x, est supposée ici d'une certaine grandeur par rapport a a;, et à y,, nous pouvons développer le radical par la formule du binôme, jusqu'aux termes de l'ordre des carrés des petits rapports de x, et ^i à t, inclusivement. Il vient ainsi :

\^-Tb

, cos « -t- y, sm w

- 2 lE, j/j cos 61 sin w -+- yi'^

En portant cette valeur de l'inverse de r dans le second membre de (84), puis en tenant compte des formules (85) et (86), on trouve aisément :

>. -.- 2 u. P r A' -1- B2 3 A* — BS 1

(87) « =- ——;— 1+ , , -+--r ^— cos2a> .

4 ^ ;«. (> -K jj.) i i: 4 1,2 4 t^ j

Pour de mêmes valeurs de -c , c'est-à-dire à égale dislance du centre des forces parallèles appliquées à la surface, l'abaissement produit w est le plus grand possible aux points situés suivant deux certaines directions opposées (celles des X positifs et des x négatifs si A est y B), dans le sens desquelles la région d'application o- présente les plus grandes dimensions ou a du moins ses parties les plus fortement pressées : il est, au contraire, le plus petit possible aux points situés sur les deux directions perpendiculaires. Ces différences, toutefois, ne paraissent que dans le dernier terme de la formule (87), terme de deuxième approximation, inversement proportionnel au cabe de la distance t. A une première approximation , obtenue au contraire en réduisant le second membre de (87) à son premier terme, inversement proportionnel à t. le déplacement fc est le même que si toutes les pressions élémentaires dV s'exerçaient au point d'application de leur résultante .

Dans une infinité de cas, tels que ceux où la région o- est circulaire, carrée, triangulaire équilatérale, etc., et où elle est sollicitée de la même manière de part et d'autre de tous ses axes de symétrie, les deux moments d'inertie PA^jPB^sont égaux. Alors le dernier ferme de (87) s'annule. D'autre part, on peut poser

en appelant K une certaine droite qui, dans l'îiypotbèse où toutes les pressions élémentaires t^P sont de même signe,

est évidemment inférieure au plus grand des rayons yfxi"^ H- yi^ , menés à partir du centre de la région d'application jusqu'à son contour. La formule (87) devient par conséquent, dans les cas dont il s'agit,

Les divers modeé possibles, considérés ici, de répartition d'une même charge totale P, entre les diverses parties d'une région donnée d'application, n'influent, dans cette formule , que sur la constante K , inférieure au plus grand rayon de o-, et ne font varier, par suite, que le dernier terme, inversement proportionnel au cube de la distance. Dès que » égale ou dépasse une fois et demie ce plus grand

rayon, le rapport -j-j est momdre que ~ et l'expression

de w ne diffère plus guère de ce qu'elle serait si toutes les forces parallèles d? étaient transportées au centre.

Pour des modes de répartition, non-symétriques, les termes de deuxième approximation auraient leurs valeurs maxima un peu plus grandes ; car, dans la parenthèse de

(89), la partie —-^ serait, d'après la formule (87), remplacée par celle-ci ,

doQt la valeur la plus grande possible, correspondant au

cas extrême -- — =-, ces 2 w = 1 , est -r-. Mais, même alors, il

suffirait de supposer la distance t égale à trois fois le plus grand rayon de la région s, pour rendre cette partie peu sensible devant le terme principal 1 de la parenthèse considérée. Donc, le mode de répartiUon d'une charge, à l'intérkur d'un certain- contour tracé sur la surface, n'influe pas d'une manière appréciable sur les abaissements produits à quelque distance hors de ce contour.

27. — Calcul général de la foi-ine de la surface, quand les pressions sont disposées pareillement tout autour d'un point central.

Cherchons aoLiiellement ce que devient, pour un point quelconque {x,y), la formule générale (84) du petit enfoncement n\ quand les pressions' exercées, p pçir unité d'aire, ont la même valeur sur tous les éléments égaux rfo- situés à une même distance R d'un point central, que nous prendrons pour origine.

Je décomposerai la région d'application, qui sera un cercle d'un rayon donné R,, en bandes annulaires, dont R désignera le rayon intérieur et £?R la largeur : sur chacune de ces bandes s'exercera par unité d'aire une certaine pression, dépendant seulement deR, et que je pourrai représenter par

Appelons :

ï, la droite fixe menée du point (a?, y) à l'origine,

r une autre droite, inclinée sur la précédente d'un ongle variable «, et joignant le même point [x, y) à un point quelconque du cercle de rayon R dont le centre est à l'origine.

Les droites que j'appelle r, et qui font entr'elles des angles d<ù infiniment petits, divisent la bande annulaire en parallélogrammes élémentaires. I,'un quelconque de ceux-ci a pour hauteur rd<ù et pour base la variation absolue, Sr,qu'éprouve chaque droite?* quand, sans faire varier w,on fait croître R de dK. La surface d'un élément est donc rdiùZr, la couche matérielle fictive qu'il supporte vaut par

suite ^rdiùh% et le potentiel qui lui est relatif égale pt^uS?'. Pour calculer Sr, observons que le triangle dont les trois côtés sont t., r, R donne

Rï = r" -H t* — 2«. cos u, ou bien, {'e — t- cos (,1 j^ = R* — ï * sin* m,

et, par suite,

(92) f = ^ cos « + v/r* — i» sinî«.

Si, dans le second membre, nous faisons varier R de dR, sans que t ni w changent, il vient

(92 his]

Le potentiel élémentaire p^uS? devient donc

*■ i/rî ts sin \.

Pour avoir le potentiel relatif à la charge totale que supporte la bande annulaire, il faut intégrer le second membre de (93} dans toute l'étendue de celle-ci. A cet effet, distinguons, le cas où le point ix.y) est intérieur à la bande, c'est-à-dire où l'on a t <^ R [et où une seule des deux valeurs (92)derest.parsuite, positiveljdu cas contraire où le point est extérieur et où R est moindre que t.

Dans le premier cas, la bande annulaire entoure complètement le point : l'expression (93) doit être intégrée depuis u= — T. jusqu'à w =7r ; ce qui donne en tout le produit de la pression totale S-^Rp^R, exercée sur la bande, parla

valeur moyenne , -r— \ — . ".. -. — de la fonction

yGoosle

(R^ — X? siii'^w)"^. Or, cette fonction ne dépendant de w que par le carré de sin w . sa moyenne est la même , soit qu'on y fasse varier w de — tî à ~ , soit qu'on y fasse croître

seulement w de o à -^. Le résultat obtenu peut donc

s'écrire encore

pR^R j'

Dans le cas contraire t ^ R, les deux expressions (92) de r sont positives, c'est-à-dire qu'à une même valeur de (0 il correspond deux éléments de l'intégrale calculée, ou que l'expression (93) doit être doublée. En outre, u y

variant entre les deux limites ^ arc sin ■ — qui annulent le

radical de (93) et qui correspondent aux deux positions où la droite )• est tangente au cercle de rayon R, il faut intégrer entre ces deux limites. Jl vient donc, au lieu de (94) ;

/- arcsin . R

— orcsin — V

Adoptons une nouvelle variable w' d'intégration , telle , que

OU que, par suite,

R COS u' T* i-ni../ ilJ R ^ns ..,' //..,

Vi-Ï--- v/^

L'expression (95) deviendra

Celle-ci ne diffère de (94) qu'en ce que R et t ont échangé leurs rôles sous le radical. Donc, en observant que la pression totale supportée parla bande estST^Rpf^Retque le

— se trouve multiplié dans la formule (84)

pai" ■ '■ „ r, on pourra énoncer comme il suit la loi

qu'expriment les formules (94) et (97) :

Une pression extérieure , répartie uniformément le long d'une circonférence d'un rayon donné, en^aine, aux divers points d'une autre circonférence concentrique Quelconque ùracée sur la surface, un abaissement égal au produit de

cette pression far le facteur constq,nt t — ■ et par la

moyenne des valeurs que -prend le radical [■â — R* sin^ w) "" 'i

et R désiqnani les

respectifs de la plus grande et de la plus petite d.e ces deux circonférences .

La formule du binôme donne

et l'an sait d'aill eurs que la valeur moyenne de sin^" w est "t 4'" "a~ • La moyenne des valeurs du radical considéré (t® — R^sin^u))"^ sera donc exprimée par la série convergente

(98) „^l-Hi)*^+-(iF-^-^(ilF-^-^ ■■■■ J-

Nous aurons enân le potentiel relatif à toutes les pressions données t?P, en intégrant l'expression convenable, (97) ou(94), depuisR=ojusqu'àR=lerayonRj de la région d'application, c'est-à-dire de lu I)ande annulaire comprimée la plus éloignée du centre.

Quand le point {x,y) est extérieur ù toutes les bandes, ou qu'on a t ^ R|, il suffit d'intégrer le dernier membre de (97) de R=oàR=Ri,aprèsy avoir remplacé p par sa valeur (91). Cette intégration pourra d'ailleurs se faire avant celle qui est relative à w et dont les limites sont constantes. Kt si l'on porte enfin dans la formule (84) l'expression obtenue, il vient :

s points extérieurs , ou pour ï. ^ K, )

,;^o S'il M^T, p.

Quand, au contraire, le point (a;,^) fait partie de la région comprimée, ou que t est plus petit que R,, il faut no se servir du dernier membre de (97) quB pour les bandes en dehors desquelles le point se trouve, c'est-à-dire entre les limites R=oet R = t, tandis que l'expressioii (94) convient pourlesautresbandes, oudeR=t à R^R,.On a donc alors la formule un peu plus compliquée :

{pour les points intérieurs, ou pour t <CRi)

(100) .^ >::'■ (^ '<- ,^)y(i L^jj^ sm^»

Dans les cas où l'expression /"(R^) de p est une fonction entière de R^, chaque intégration par rapport à R se fait de suite, eny adoptant le radical, yf-c"^ — R' im^ ou i/'R^—xJ^siu^o» comme variable.

Puis les intégrations par rapport à u s'effectuent en séries convergentes, après développement des radicaux par la formule du binôme. Mais on pourra obtenir aussi, et plus directement, ces séries, en multipliant l'expression (98), ou celle qu'on en déduit quand on y permute x, et R, par le

facteur r — r r pR rf R, et en intégrant ensuite les divers

termes, soit entre les limites R = o etR=Ri, soit de R = o

à K=x. ou de R = t à R = Ri.

28. — Profondeurs de la dépression auœ points éloignés et au centre.

Pourt ^ R,, on trouve ainsi ; [ x^2|i ri r^i

Cette formule, spécifiée pour les distances t sensiblement plus grandes que R, et réduite par suite à ses deuxprejniers termes, peut é\'ldemment s'écrire ;

Elle est bien d'accord avec la relation pins générale (89), on K^ a la valeur (88).

Dans le cas particulier V= o, c'est-à-dire quand les pressions exercées sur les diverses bandes annulaires sont de signes contraires et se neutralisent, la valeur (102) de w se réduit au second terme. Donc , un peu loin d'un cercle oî* sonû appliquées des pressioM se faisant siaUguemen^ équilibre eu pareillement distribuées tout autour de son centre , les abaissements p'oduits décroissent, à fort peu près, en raison inverse du cube de la distance à ce centre, et ils deviennent

Sil'expression de w est fort simple à d'assez grandes distances dti cercle d'application T;Kf des pressions, elle se calcule aisément aussi pour le centre même de ce cercle. En effet, le potentiel relatif à une bande annulaire ^r.^^dK y vaut 2Tiff^R, et l'on a, par suite,

1103; (pou.. =.01 ,. = -i^il- r %dK

On remarquera que les charges, (2^R(^R) p, de diverses bandes annulaires infiniment étroites 2icR(?R produisent, au centre, des abaissements 'iv pareils, pourvu qu'elles soient proportionnelles aus -longueurs 2ti:Rde ces bandes, ou qu'elles soient constantes par unité de longueur. Et, en effet , si un éloignement plus grand R du centre tend à y réduire la valeur de m, celte diminution est exactement compensée par l'augmentation qui résulte d'une plus grande longueur de la bande et, conséquemment, du poids plus fort qu'elle supporte.

Supposons, par exemple, p proportionnel à une certaine puissance, R""', de R. Admettons déplus, comme nous le ferons dans tout ce qui suit , que la pression- totale 2 -^/^^ p R (? R égale l'unité ; ce qui oblige à j)rendre

yGoosle

La formule (103) donnera (i 03 bis] {pour t =; o) «? = j

V enfoncement au centre égale donc celui qu'y produirait la pression effective, augmentée de sa n^"' partie, si elle s'exerçait tout entière sur le contour de son cercle d'application.

Quand n croît de zéro à 1 et de 1 à l'infini, c'est-à-dire quand la pression, qui d'abord s'exerçait surtout au centre, devient également répartie, et puis se porte principalement sur le contour, cette valeur de l'enfoncement diminue, dans le rapport de co à 2 et de 2 à 1. Cela devait être; car il est naturel que le centre se relève à mesure qu'on en écarte les pressions.

Concevons en second lieu que p; au lieu d'être proportionnelà R""\ varie d'après une loi analogue mais contraire, en s'annulant au bordR=Ri, c'est-à-dire en étant proportionnel à R,"'' — R""'. On trouve qu'il faut poser alors

pour que la pression totale égale 1 ; et la valeur (103) de w se trouve ôtre juste !e double de celle, (103 M's), qu'on a obtenue dans le cas précédent.

Il estclair que l'expression (103) de w se calculerait encore de suite dans une infinité d'hypotbèses différentes faites sur p. Comme dernier exemple , prenons

2;rR, \^R,ï R=

et nous trouverons immédiatement , en observant que dR , . R

-,■ - - - "^rc sin — ,

yGoosle

29. — Profondeur de la dépression, au bord de la région d'application et valeur -moyenne de l'abaissement éprouvé par cette ?'égion.

L'abaissement w éprouvé par le bord de la région d'application, ou correspondant à ï.=rR, , peut encore, quoique il soit d'une expression plus compliquée que celui du centre, se calculer sous forme finie, du moins quand la fonction.p=/'(H^) est rationnelle et entière par rapport àR^. En efi'et, les formules (99) ou {100} donnent

Prenons dans celle-ci le radical comme variable d'intégration ou, plutôt, posons

et, par suite,

a étant une nouvelle variable, qui grandira depuis cos w jusqu'à 1 quand R décroîtra de R, à zéro. Il vient :

On voit que , si /(R^) est une fonction rationnelle et entière de R^ l'intégration par rapport à œ donnera, dans

cette formule, une fonction ratioïinelle de cosw, et que l'intégration suivante par rapport à u, se faisant dès lors sur une fonction également rationnelle de cos'w, s'effectuera

sous forme finie , en y prenant (ang

des résultats simples.

Nous n'insisterons pas davantage sur cette formule (104), vu que, dans les cas particuliers les plus intéressants, nous déduirons aisément la valeur exacte de )^?, pourt^Ri, d'expressions donnant iv en tous les points de la région d'applicationsousla forme d'une intégrale définie simple, expressions dont l'établissement n'est guère plus compliqué que le calcul direct du second membre de (104).

Je ne pense pas qu'aucune valeur individuelle de w autre que celles qui correspondent à t=o et à ï.=Ri puisse s'exprimer en termes finis (an moyen des transcendantes accoutumées], dans les cas où p = /'(R*) est une fonction rationnelle et entière de R*. Mais on peut encore évaluer exactement, par une formule analogue à (104), le volume, ficda, qu'engendre en s'abaissant la surface a=TiR^ directement comprimée, ou, ce qui revient au même, l'abaissement moyen, —fw d t, éprouvé par cette surface.

Pour cela, calculons d'abord la capacité du creux qu'un élément de pression

dP = 2!rf,R</R = 2Tt/(Rî)RrfR,

s'exerçant sur une bande annulaire de rayon R et de largeur rfR, produit à la surface du corps, depuis le centre de la bande jusqu'à une distance quelconque t.

Cette capacité a évidemment pour expression 2 t^/ wt dt,

e , abstraction faite du facteur -, — -^ :, la valeur

yGoosle

moyenne de (R^ — i? sin'w) ""a quand, u y variant de zéro à-^^ ï. est compris entre zéro et R, et la valeur moyenne analogue de (t* — R^ sin* ^}~^ pour t > R , A. l'intérieur de la bande annulaire, la capacité totale est donc

Remarquons, en passant, que la profondeur moyenne de cette dépression, quotient de son volume par sa surface

~ R^, vaut -— — - , ou le produit par — de la profondeur sur l'axe, qui est la valeur de m pourt=o. Pour 5^ ^ R, la dépression considérée égale

! „ ' , +2';/. w-odi,

et , vu la relation évidente

on trouve aisément que sa valeur est

(XH-2[tWP /^T , .

" P f> + ri J. V

Il suffit maintenant, pour avoiV le volume cherché, yrot^o-, que décrit en s'abaissant la région d'application T^Rf de la pression totale donnée P, de fairej dans cette formule , t = Hi, puis d'intégrer le second membre par rapport à R, sous le signe/, depuisR=ojusqu'àR=R|', c'est-à-dire, de recourir au principe de la superposition des petits effets, qui s'applique à w et, par suite, &/wd's. Si enfin, pour éliminer lo radical, on pose, comme ci-dessus ,

et que l'on divise le résultat par -^"Ri afin d'obtenir, au lieu de fwd'^, l'abaissement moyen éprouvé parla région d'application, il vient

Mojenue de w ( sur toute l'aire a ou n R,

dOô'

1 7ra[X-H|i) y l C0S^„y ' [ ' I — COS^J' '"'

Toutes les fois que /est une fonctioa entière, l'intégration par rapport à « donne évidemment, dans cette formule comme dans (104) . une fonction rationnelle de cosw, et l'intégration par rapport à w s'effectue ensuite sous forme

finie, en prenant iang — pour variable. Par exemple, si l'on a f = f{E^] = -■ , c'est-à-dire si la

pression fdP , égale à 1 en tout , est distribuée d'une manière uniforme dans tout le cercleTuR'J, en observant que

on trouve de suite :

[ {Pour une distribution uniforme de la pression]

/ Moyenne de tb dans le cercle -E.^ = — - — — ■ .

Quand la pression, égale à 1, estré^Biiie parahoUquement le long des rayons, en s'annulant sur le contour ou pour R-Ri, on a

et, si l'on observe (\\ie

f 1(1— COS^ro)— -t(l-

,sn,)^ ^ 15(l + cos.)^

— — - sin M -+- — tanïT 1 tans' ' —

il vient aisément :

!{ Pour une distribution parabolique de k pression , avec annulation au bord ) 16 ï> ^- 2 ^J. 4 Moyenne de w dans le cercle ;rlîi* = --— ■

)i.lX-i-a} 3R,.'

résultat qui dépasse de ^ le précédent (106).

En ajoutant les expressions (106) et (106 bis] , multipliées respectivement par deux nombres, 1 — k^ik, quiaientpour somme l'unité, on obtiendra l'abaissement moyen w d'une région d'applicafion dont la charge totale, 1, se composerait d'une première partie. 1 — k, distribuée uniformément et d'une seconde partie, k , distribuée paraboliquement avec décroissance du centre au bord. Cotte expression est

X-1-2U. / k\ i [106 1er] Moyenne de n- dans le cercle tiR,'^ = — — 1 -i- ^rrr ir^-

Elle se réduit , pour A = — 1 ou pour p = — ^ (ce qui

est Ift cas d'une répartition parabolique avec annulation au centre), à

[Pour une distribution paraboliqae avec annulation au centre ]

(106 qmter) l Mojei

30. — Egalité des abaissements moyens que deux charges égales , arbitrairement distribuées le long de'' deux circonférences concentriques, produisent, chacune, aux points oit est déposée l'autre.

Avant d'appliquer les formules des numéros précédents aux niodes les plus simples de distribution d'une certaine pression totale, signalons une curieuse loi, relative aux abaissements m causés, sur le sol élastique dont il s'agit, par des charges n'occupant à sa surface que des couronnes circulaires infiniment étroites. Cette loi consiste en ce que, étant données deux charges égales, réparties ainsi, mais d'ailleurs arbitrairement, le long de deitx circonférences concentriques, chacune d'elles produit, aux points qti'occupe l'autre, un égal abaissement mopen : s-uiTement dit, si l'on divise en éléments d'égale longueur la circonférence d'application de l'une des deux charges, la moyenne arithmétique des abaissements qu'ils éprouvent, sous l'action de l'autre charge, égale l'abaissement moyen analogue qu'éprouve la circonférence d'application de celle-ci sous l'action de la première, Par suite , quand les deux charges cessent d'êtres égales, chacune ayant pour conséquence des déplacements qui lui sont partout proportionnels, les abaissements moyens considérés (ou partiels et réciproques) des

deux circonférences se trouveiit être en raison inverse des poids qu'elles supportent; en sorte que, si chaque charge est uniformément répartie le long de sa circonférence d'application, ou que le déplacement de son centre de gravité se confonde avec l'abaissement moyenne cette circonférence, le travail de la pesanteur, dans le déplacement subi par chaque charge, sous l'action de l'autre, est égal pour toutes les deux.

En effet, supposons d'abord que nos deux charges égales soient uniformément distribuées le long de leurs circonférences respectives, et appelons R le rayon do la plus petite de celles-ci, i celui de la plus grande. 11 résulte de la loi énoncée après la formule (97) [p. 116J que l'abaissement, alors commun, de tous les points de l'une des ciconférences, par l'effet de la charge que supporte l'autre, aura la même expression, quelle que soit celle des deux charges dont on étudie l'action. Le théorème est donc démontré pour ce cas d'une répartition uniforme ; et il suffit de faire voir que, dans chaque circonférence, l'abaissement moyen dû. à l'action de la charge supportée par l'autre ne changerait pas, si l'on modifiait à volonté la répartition de cette charge le long de sa ligne d'application. Or, c'est ce qui a lieu ; car, si nous décomposons les abaissements dont il s'agit en parties qui soient les déplacements verticaux to dus à chaque élément, pris ù part, de la charge considérée, et si, ne portant d'abord notre attention que sur ces déplacements partiels w , nous imaginons que l'élément de charge qui les produit change de place le long delà circonférence dont il occupe un point, il est clair que ces mêmes déplacements ne cesseront pas d'avoir lieu, en des points qui se transporteront, il est vrai, sur la circonférence où on les a pris, de manière à conserver leurs situations relatives entr'eus et par rapport à l'élément de charge. Donc, la moyenne des déplacements partiels w ne changera pas, ni, par suite, la moyenne des abaissements considérés, si l'uniformité primitive de répartition de la charge qui les fait naître est altérée arbitrairement.

31. — Analogie que présente, sous le rapport de cette loi de réciprocité , un sol indéfini en longueur , largeur et profondeur, avec uneplaque circulaire mince, appuyéeou encastrée sur tout son contour.

Il est remarquable que la même loi de réciprocité s'ohserve à la. surface d'une plaque circulaire mince, homogène et horizontale, appuyée ou encastrée sur tout son contour, et supportant deux charges égales, distribuées respectivement le long de deux circonférences concentriques au contour : l'abaissement m,oyen de Vune de ces circonférences, sous faction de la charge déposée sur Vautre, égale l'abaissement analogue produit sur célle-cipar l'effet de la charge de la

Il suffit encore de prouver que cette loi s'observe lors d'une distribution uniforme de chaque charge le long de la circonférence qui la supporte. En effet, dans de telles plaques, comme dans un sol élastique, les déplacements effectifs se forment par la superposition de ceux que produiraient séparément les divers éléments de la charge considérée; et il est clair que, tout le long d'une circonférence quelconque concentrique au contour, ces déplacements partiels et, par suite, leur moyenne, ne cesseront pas d'être les mêmes, à cela près d'un transport commun , autour du centre de la plaque, des points où on les observera, si le poids élémentaire qui les fait naître se déplace le long d'une ligne également concentrique au contour, c'est-à-dire, sans cesser d'occuper une situation analogue tant par rapport aux limites du corps élastique, qiie par rapport à la circonférence dont on examine les déplacements.

Bornons-nous donc à établir la loi énoncée pour le cas où tout est pareil autour du centre. On nous pardonnera cette courte digression , à raison de l'intérêt ^que présente

un rapprochement aussi inattendu entre une plaque mince, limitée latéralement, et un sol qui est, au contraire, indéfini soit en épaisseur, soit dans les sens horizontaux.

Rappelons d'ahord les formules générales, qui nous seront nécessaires, de la théorie des plaques planes élastiques. Je les extrairai de mon étude sur ces corps, insérée en octobre 1879 dans le Journal de mathématiques pures et appliquées, et faisant suite à un autre mémoire, relatif au même sujet, qui avait paru dans ce journal en 1871 .

Notre plaque, horizontale et sollicitée verticalement ou transversalement, étant supposée rapportée à un système d^'axes horizontaux rectangulaires des x et des^, si l'on y considère, au point (^,!/), deux coupes (fictives), normales respectivement aux a;, et aux y, la matière située au-delà de chacune de ces coupes exercera, sur celle qui est en deçà, des actions réductibles à une force verticale {effort tranchant) et à deux couples verticaux composés de forces horizontales, Fun {couple de flexion), normal à la coupe, et l'autre {couple de torsion) qui lui est tangent. Rapportons ces forces et ces couples à l'unité de longueur des deux coupes et appelons, respectivement, Z^, Zy les deux efforts tranchants, positifs quand ils sont dirigés vers les z positifs, v^, -Vy les deux couples de flexion et -. les deax couples de torsion (dont la valeur est très sensiblement la même), tous ces couples étant comptés positivement lorsqu'ils tendent à produire des rotations dans les sens qui vont des X ou des y positifs vers les z positifs. Avec ces notations , si Z, force dirigée vers les z positifs, désigne la charge de l'unité d'aire de la plaque , on aura '■. 1" pour l'équation indéfinie de l'équilibre ,

2" pour les valeurs des efforts tranchants,

7 — (^''"^ '^' \ 7 — ( '^'' ^"y] . \ dis dy r \ dx dy j ^

3° enfin, pour les valeurs des couples de flexion, et de

torsion, des expressions, linéaires parrapport aax. dérivées secondes eux et y du déplacement m et fonctions de îa contexture de la plaque, qui, dans le cas, auquel noua nous bornons ici , d'une matière homogène et pareillement constituée dans tous les sens transversaux, seront

h désignant l'épaisseur de la plaque, y- le coefficient de l'élasticité de glissement de couches verticales qui s'y déplacent dans les sens horizontaux, -n un rapport, dépendant de la contexture , égal à r~"ô~ P'^"^ "-^^^ matière complètement isotrope, enfin, A.^ l'expression symbolique

'^'^ ~d^ ''' Ces valeurs de v^, v^, -., portées dans celles, {Jj), de Z^ et de

(*) Les valeurs [c] de ^a-, 'y, r sont les dérivées , pai' rapport ai , , 2 , de la fonction

la L»J "■ ("5^ J * * (' s*) " " ("""J J-

Quand la contexture est quelconque, ces couples -/x, •'s, t cessent expressions aussi simples , mais ils continuent néanmoins à égaler 1 par rapport aux trois mêmes variables , d'une fonction homogène et entière du second degré, comparable encore à ft3. Considérons, en effet, le potentiel d'élasticité * par unité de volume , fonction homogène et du second degré soit des six déformations élémentaires d , g produites en chaque point , soit des sis composantes correspondantes de pression, et dont les dérivées partielles preinières sont ces six composantes de pression quand on la prend sous sa première forme , tandis que ce sont les six déformations éléjnentaires quand on la prend sous la seconde forme. Rappelons de plus que trois des composantes, celles qui expriment l'action réciproque de deux feuillets contigus de la plaque, sont ici négligeabies en comparaison des trois autres composantes Ni, Hy, T, exprimant les pressions horiKontalea exercées sur des coupes normales aux m et aux y. Nous aurons donc, pour les trois déformations correspondantes dx, dy, g , les formules

( dx, dv. 'e 1 =^ ^— .

luy, donnent, en supposant constante l'épaisseur, A, de la plaque,

■xh'^A

ef l'équation indéfinie [à] , divisée par [1 -ht,) —-, devient à sou tour

Cela posé , notre plaque circulaire, d'un rayon donné a

il •!' se trouvera réduit à ses ternies en Ni, Nji, T ; et l'on déduira aisément de i, si cette valeur do 'i' est espriinée , à l'inverse , en fonction do Oj, dy, g ,

Op on sait aussi que, lorsque la situation primitive du feuillet moyen est choisie pour plan des xy, Ti, î^, g ont les expressions

f VI. yw ef ) ^ — s I ■ . . 2 ' — ■ — .

^ ' »' ^' Kdx^ dy^ da^dyj

oii «1 désigne lo déplacement transversal du feuillet moyen ; en sorte que , d'une 1 a t î> t e t le fa te a^ et que, d'antre part , les dérivées de * en Zx, l^, g eg^ent le quot ent pa — e , de ses dérivées relatives aus trois nouvelles

iî dîit „ i^w , , , , var ables — — 2 -~— , indépendantes de s. Donc , en multipliant

dj.2 dy dxdy

Ni Ny T pa sd ntég ant sur toute l'épaisseur de la plaque et observant que — /(Nj; Ny T)3 ne ont autre chose que les couples -ix, /y, t. on aura les trois formules cherchées :

\ (tca dy^ dandy/

On voit que ia fonction, /'i'rfï, dont les trois dérivées par rapport auï variables dï-iu iPiu Lp-iu ■ ...

■ , -, 2 ■ - ■■■ expnment les couples de flexion et de torsion, représente

dœS dy^ dxdy ^ f f

le potentiel d'éiasticité de la plaque fléchie rapporté à l'unité de surface de son feuillet moyen , c'est-à-dii-e , le travail que produirait la plaque par unité d'aire si elle revenait k sa forme plane primitive. On pourrait donc appelercette expression,/i^ds, \q potentiel iJe /leaiion de la plaque. Poisson et smiout M. Kirchhofl" l'avaient considérée dans le cas d'une plaque isotrope.

et appuyée ou encastrée sur tout son bord, étant sollicitée pareillement tout autour do son centre (pris pour origine des coordonnées), Z et iv n'y sont fonction que de la distance, ï.= v'»^ ■+■ y'^ ,. à ce centre. On pourra donc, dans le calcul des dérivées partielles de w, se servir des formules

qui donnent, par exemple,

De plus, si l'on fait, dans la plaque, à la distance x. de son centre, une section cylindrique verticale, la partie centrale ainsi détachée parla pensée supportera évidemment, sur l'unité de longueur de son contour, un couple de flexion et un effort 'tranchant susceptibles d'être déduits des expressions {c) et {d) de v^^ et de Z^ par les simples

changements de-j^ en -r^ et de -3- en-^. En effet, ce couple

de ûexioiî et cet effort tranchant, que nous appellerons, l'un. M, l'autre, F, se confondent respectivement avec v^, et Za, sur l'élément de la section normal à l'axe desw, élément pour lequel des dérivées par rapport à x., ou prises dans le sens qui lui est perpendiculaire, se trouvent justement être des dérivées en ce, c'est-à-dire obtenues sans que y varie. Nous aurons donc , pour le moment ou couple M et pour l'effort tranchant F, par unité de longueur de la section circulaire ,

Sur le bord, c'est-à-dire pour t = a, l'effort tranchant F recevra une valeur telle, que l'on y ait «j=o, puisque ce

bord, .appuyéou encastré, reste fixe. Déplus, dans le cas de l'encastrement, le couple de flexion y est Juste ce qu'il faut pour que le plan tangent à la plaque conserve sa direction

première , c'est-à-dire pour qae -r s'y annule ; au contraire, dans le cas où le bord se trouve simpienient appuyé, ce couple est nul et, d'après la première formule {g), on y a

-— -i--f, A^a' = o. Donc, les conditions spéciales ail contour seront :

idw „ , ,

— — = o (bord encastre) , -—■ H- r, ij w = O (bord appujé).

Gela posé, et après avoir remplacé, dans le premier membre Ae l'équation indéfinie (e), iaiaîupar— y- i'^—j-Aj multiplions cette équation par trft., puis intégrons de 1^ = 0 à 1. = !.; et observons qu'il ne se produit' pour * = o, au centre de la plaque , aucune discontinuité capable d'y rendre infinies des dérivées de w, ni, par suite, la somme i^w,

, (^As w , ,, ■ d^^w

non plus que —j—, en sorte que l'expression t. —r— s'y

annule. Il viendra

fï)

On obtiendrfiit, dailloursj directement cette équation, en remarquant qu'elle exprime, d'après la seconde formule f^), l'égalité évidente de la charge /^Z (2^1 tc^t)^ supportée par la partie de la plaque comprise de t = 0 à t — t , et de l'effort tranchant total 2tcï.F, pris en signe contraire, qui lui fait équilibre et qu'exerce sur cette partie centrale le reste de la plaque.

L'équation {ij, iiuiltipliée par — et intégrée à partir de

t = o, donne, en appelant — 2 c la valeur finie de \ w pour 1=0 et en observant que/^'^Ztx^ test généralement, pour t très petit, de l'ordre de /""^ti^t ou de -â, ainsi que, par suite,

Celle-ci, multipliée à son tour par x.fh et intégrée do manière à annuler pour v=q, comme il le faut évidemment,

le produit t -j- , devient, après qu'on l'a divisée ensuite par t.

Appelons enfin /"la flèche centrale, c'est-à-dire la valeur de m pour t = o, et l'équation [k], multipliée par dx^, puis intégrée à partir de t = o, donnera

Dans cette relation, où Z est connu en fonction de t, il ne reste à déterminer que les deux constantes arbitraires c et f; on le fera au moyen des deux conditions {h) spéciales au bord de la plaque.

Achevons les calculs pour le cas, que nous avons en vue, où une charge donnée P se trouve distribuée tout entière le long d'une bande étroite, à une certaine distance R du centre. Alors la fonction Z est nulle dès que t diffère sensiblement de R; en sorte que l'intégrale/^"" Z {2'^x,dt], nulle pour ï. <^ R , garde la valeur constante P dès que t dépasse sensiblement R. Ainsi, l'expression/' Z tdt. égale

p OLt zéro, ou —, suivant que t. y est inférieur on supérieur

à R. En la multipliant par — et intégrant, il viendra

■ ( poufï. ^ R ).

On trouve de même, ensuite,

^ dx.

Zx.d-c

izéro ( pour t <^ R ) , PR2 r t^ t, / ï^ \ 1

17[m'°^B-+(R^-^)] SP^'OB).

Enfin, cette intégrale, multipliée elle-même par — , puis

intégrée à partir dcï.=:o, donnera la valeur de celle qui parait dans l'expression (7) de î?', et qm. égalera :

1" zéro , pour i <^ R ,

L'expression générale (?) de w, se dédoublera donc, en quelque sorte, et deviendra ;

(pou,<.<B) „ = f-±.^\

(') \ (pourt>K)

Il ne reste plus, maintenant, qu'à y déterminer les deux constantes c et /'au moyeu des conditions (/*) spéciales au contour où à la valeur a de ■o.

Supposons d'abord la plaque encastrée sur tout son bora. Alors, en déduisant de la seconde (re), différentiée, l'expression de -j- , puis annulant cette expression pour x. = « , il viendra la valeur de c\ après quoi l'annulation de ra dans la seconde [n), pour i=œ, donnera f. On trouve ainsi :

et les formules {%) deviennent :

(bord encastré)

Quand la plaque a, au- contraire, son bord simplement appuyé ou soutenu, la valeur de cse trouve en annulant,

pour t — â, lexpression de -r-^ + -r, ig td, ou de

qu'on déduit de la seconde (î^). Puis, cette seconde valeur {%) de TV, égalée à zéro pour x, = a, fait connaître /. Il vient :

(lO

jïAi^^ï^^y-'-^'^-^''

Par suite, les formules [n) donnent, pour les déplacements w des divers points de la plaque :

Les relations qui résolvent le problème étant ainsi obtenues , la loi à démontrer résulte de ce que les premières expressions {q) ou {q'j de m, relatives aux points intérieurs à la circonférence d'application de la cbarge P, et les secondes expressions {g) ou (g') de ?v, concernant les points extérieurs à la même circonférence, ne diffèrent Ifis unes des autres qu'en ce que t et R y écbangent leurs rôles. Donc la formule qui exprime, par exeniple, le déplacement w d'un point intérieur à la charge P, ou situé à une distance X, du centre moindre que R, deviendra, sans y rien changer, l'expression du déplacement m imprimé, par l'action d'une autre charge égale, à un point situé en dehors de la circonférence d'application de celle-ci, pourvu que x. soit le rayon de cette circonférence et que le point extérieur dont on parle se trouve à la distance R du centre ou appartienne à la circonférence d'application de la première charge. Ainsi, il y a bien égalité entre les abaissements que s'impriment l'une à l'autre deux telles charges. Et l'on voit que ce fait est dû, dans le cas de la plaque circulaire, à la même circonstance que dans le cas du sol élastique, savoir, à ce que, malgré la différence extrême des formules, (94)et(97) d'une part [p. 115 et 116], (5'}ou (2'') d'autre part, propres aux deux questions, les déplacements éprouvés par les points extérieurs à la circonférence d'application de la charge qui les produit reçoivent, dans les deux cas, les mêmes expressions que ceux des points intérieurs, à condition qu'on y prenne

pour la distance [au centre) des points considérés le rayon de la circonférence d'application, et mce-versa.

Quand l'une des deux charges égales est appliquée au centre, ou, ce qui revient au même, quand le rayon de l'une des deux circonférences qui les supportent est négligeable en comparaison du rayon de la plaque, si l'on vient à changer arbitrairement le mode de distribution des deux char'ges le long de leurs hgnes respectives d'application (par exemple , en ramassant chacune en un seul endroit), celle qui n'entoure qu'une partie infiniment, petite de la plaque ne cessera évidemment pas, à cause de la petitesse même (en tous sens) de cette partie, d'éprouver, sous l'action de la charge de l'autre , les mêmes abaissements dans toute son étendue, et, vu encore cette petitesse, la charge centrale, n'ayant subi que des déplacements insignifiants, ne cessera pas non plus de produire, sur la circonférence d'application de l'autre, des abaissements partout pareils. Ainsi les déplacements mutuels considérés , w, des deux circonférences ne différeront pas de leurs moyennes respectives, qu'on sait être restées les mêmes , et ils seront, par conséquent , encore égaux. La loi de réciprocité que nous venons d'établir comprend donc la suivante :

Une plaque horizontale, appuyée ou encastrée sur tout son contour et portant un poids isolé à une distance quelconque de son centre, éprouve, encecenPre, mi abaissement égal à celui qui aurait lieu à l'endroit oH est le poids, si on Ven était pour le déposer au centre.

Les mêmes considérations et la même loi particulière s'appliqueraient au cas d'un sol élastique, latéralement indéfini et supportant deux charges égales, arbitrairement réparties le long de deux circonférences concentriques, si l'une de celles-ci était infiniment plus petite que l'autre. Mais, comme tout point de la surface d'un tel sol élastique peut être pris ponr le centre de cette surface, on ne serait ainsi conduit qu'à une proposition évidente et, dès lors, sans intérêt, consistant en ce que deux poids isolés

i à la surface d'un sol élastique horizontal, subissent, chacun sous l'action de l'autre, le même abaissement.

33. — Cas d'une distribution uniforvie des pressions dans tout l'intérieur d'un cercle , à la surface d'un sol élastique.

Revenons maintenant à l'étude des formes que prend la surface d'un sol élastique, sous l'action de charges qu'on y répartit diversement. Appliquons, dans ce but, les formules (99) et (100) [p. 117] aux modes de distribution les plus simples des pressions dP, et, d'abord, au cas où la région d'application tu Rj^ supporte par unité d'aire une pression constante dans toute son étendue.

En supposant, pour fixer les idées, que la pression ■totale vaille 1, il faudra donc faire

dans les relations (99) et (100). Celles-ci, en observant que l'on a

-Gosw \d'^ = tang— — s

deviendront :

(pour t <^ R,)

X + 2i^ 1 fT (, ï-^ . „ \i ,

(poart>R,)

X^2[. 1 r"^ri/i?<'^'^''-''>*l *^''^"

-2f. 1 fT

i[x(X-H|A) t ^Q L V t* / jRi^siQ^i.

Au centre et au bord de la région d'application , la première (109) donne :

I pour t =: o )

Donc, une distribution uniforme des pi'essions sur toute V étendue d'un cercle fait frendre à la partie comprimée une forme concave, dans laquelle la flèche,, c'est-à-dire Vexcès de l'enfoncement du centre sur l'abaissement du bord, est la

fraction 1 -

centre et la fraction -^ \l ou environ -r^\ de rabaisse-

m^nt du bord .

Quant à V abaissement moyen , donné par (106) [p. 125 ],

w sur le bord et il dépasse, d'une fraction de sa valeur égale à i — "^Y : ou environ ^, la moyenne des deux enfoncements w au centre et sur le bord, moyenne qui l'exprimerait si on assimilait à la formé d'un paraboloïde celle que prend, en se creusant, la région d'application des forces.

Pour obtenir en série les valeurs (109) de w, il suffit de développer les radicaux par la formule du binôme, puis de réduire, et d'intégrer chaque terme des résultats. Pour la

seconde (109) , il est plus simple de faire a = — — dans la relation (101). On trouve, en définitive :

[poart<R,