X-i-2ix 1 r 1 /l\^ i^ 1 /l 3\îï,i

I ■■ aVi^+H') Kl L U2^ R,^ • 3 U 4J B,* ■■'

1 ~2^-i \^ J'" lï^l Ri^" ~ ■■■] ' (111)

1 x + 2|i 1 r i/iy^ Lll^Y^^

I *" ~47rf.(X-hii) t L "^ 2U/ t^ ^ 3 U 4/ t* "^■■'

La série qui exprime w pour i. < R,, lorsqu'on la calcule par la foiinule (98) et son analogue (où t et R échangent leurs rôles), n'est trouvée d'accord avec la première expression (111) de w, que si l'on pose l'égalité numérique

■ ^^ („Hi)(2ffl— 1) \ 2 4 ■■■ 2« y ■

Or cette égalité est bien exacte ; car on y arrive en remplaçant sous le signe/, dans le premier membre de (108), cos w par (1 — sin*w}^, puis en développant ce radical par la formule du binôme, groupant ensemble les termes affectés de la même puissance de sin w, intégrant chaque terme

et supprimant enfin des résultats le facteur commun -r-.

On voit, sur les deux formules (111) et même sur la première (109), que n> décroît sans cesse pour t grandissant de zéro à l'infini. C'est ce qui devait arriver. Car si, d'une part, on considère un point (x,i/) pris hors de la région d'application des pressions dP et s'éloignant de plus en plus le long d'un rayon ï., la droite r qui le joint au point d'application fixe d'ane pression élémentaire d¥ quelconque fait un angle aigu avec ce rayon t et devient une oblique de plus en plus écartée du pied de la perpendiculaire,

c'est-à-dire de plus en plus longue ; en sorte que le potentiel — et l'élément correspondant de «? deviennent de plus

en plus petits. D'autre part, à l'intérieur de la région d'a^plication, w doit être le plus grand aux points dans le voisinage desquels s'exercent le plus de pressions élémentaires rfP, ou pour lesquels il y a le plus de potentiels —

d'une grandeur relative notable : or le plus favorisé de ces points est évidemment le centre, quand les pressions sont distribuées uniformément surtout un cercle TtR,^.

33. — Remarques concernant, en général, la continuité des phénomènes sur le contour des régions d'application, et les formes que prend la surface.

Observons à ce propos que, lorsqu'on arrim de l'iniérieur au iord d'une région d'' ajjplication ayant une forme

convexe quelconque , le potentiel total j — de la couche

matérielle ^ctive/dPet, par suite, rabaissement proportionnel w vont en diminuant, quelle que soit la manière continue dont varie la pression par unité d'aire , ou densité fictive p de la couche , aux divers points de la région d'application , pourvu du moins que cette densité fictive p ne devienne pas infinie sur le bord même.

J'entrerai, pour le démontrer, dans quelques détails, nécessaires d'ailleurs à d'autres points de vue, et concernant le calcul de la dérivée du potentiel le long d'une ligne tracée sur la coucbe inème/dP.

Appelons dn un chemin infiniment petit, parcouru, dans un sens parallèle au plan des xy, c'est-à-dire parallèle à la surface, à partir d'un point intérieur {x,y,z) voisin de celui, [x, y), de la région d'application, que l'on veut considérer. Gomme r ne s'annule jamais dans le corps, on peut y

difFérentier le potentiel sous le signe /, et l'on sait que sa dérivée le long de la ligne dn vaut la composante totale , suivant le sens de cette ligne, des attractions newtonlennes qu'exercerait au point considéré la couche/^^P, distribuée sm' la surface de la même manière que le sont en effet les pressions dV. Or, quelque petit que soit z, si l'on considère les attractions exercées, dans cette hypothèse, par deux éléments matériels dP situés symétriquement de part et d'autre de l'ordonnée z du point , à des distances de celle-ci variables Aq qs. q-h- dq, et dans l'intérieur des deux angles i^w formés par deux droites se croisant au pied de l'ordonnée, l'attraction fictive de l'un de ces éléments aqd<ùdq sera

et sa composante parallèle au plan à.&?,xy vaudra le produit de cette expression par—, c'est-à-dire (?u o ~ — — ^.

Appelons sj ce que devient p pour l'autre élément symétrique : la résultante de leurs actions , projetée sur le plan desûî^, égalera

■ Faisons tendre maintenant z vers zéro et admettons que q soit très petit. Comme la fonction ? est supposée finie et continue dans tout l'intérieur de la région d'application,

le facteur ~^ diffère très peu de la dérivée finie de p prise 2 j

le long de la droite 2ç qui joint les deux éléments considérés de la couche matérielle fictive, et, d'autre part, le

radical (l -t-^) ^ tend vers l'unité. L'expression (111 h'is)

étant ainsi comparable à 2 (^ w (?? , même quand le point [x, y, z) devient le point [x, y) de la surface , l'attraction

totale exercée , dans le sens de dn , par les deux éléments considérés d^ est évidemment du même ordre , et les attractions analogues que donneront, toujours suivant dn, une infinité de pareils groupes d'éléments t^P, couvrant ensemble un espace de dimensions très petites symétrique par rapport au point {x, y), auront, par suite, une somme

insensible, comparable à \ ^di^ j dq = T^q, où q est très petit.

Il est clair, d'après cela, que, lorsque z tend vers zéro, l'attraction exercée dans le sens de dn par la coucbe fdP ne cesse pas d'être finie , continue et parfaitement déterminée , pourvu qu'on fasse abstraction des éléments (^P compris dans l'intérieur d'une figure infiniment petite en tous sens, symétrique par rapport au pied {x,y) de Tordonuée z, njais ayant, sauf cette condition, telle forme qu'on voudra. Et, par raison de continuité, cette attraction valuée ainsi exprime encore la dérivée correspondante du potentiel.

Donc, ladérwéedujwtentiel i ~,lelQngd'unepeÙiteligne

quelconque tracée sur la surface à partir d'un point («>,y), égale la composante totale, suivantla même ligne, de V attraction newtonienne gui y serait exercée, sur l'unité de masse, par la matière de la couche fictive fdB, si on calculait cette attraction en négligeant les éléments de la couche très voisins du point (œ,y) et intérieurs à un£ petite figure^ circulaire ou non, décrite autour de ce point comme centre de symétrie. Il Tb'y a d'exception que pour les endroits oie la densité p de la couche fictive varie brusquement d'unpoint à un autre ou a ,

du moins , sa dérivée infinie : alors, le facteur ~^ devenant infini, la dérivée du potentiel peut l'être elle-même.

Observons encore, à ce propos, que les éléments de coucha situés à de très petites distances q du point (x, y), et ê.ont on

néglige VattrmUon dans le calcul de la dérivée -r \ — j

peuvent rCêlre 'pas exactement symétriques deux à deux par rapport à ce point, pourvu qu'ils tendent à le devenir (ou que leur rapport tende vers V unité) à la limite q = o\ car une bande étroite en plus ou en moins , sur le contour de la zone négligée , est insignifiante; vu que la partie de cette bande comprise , par exemple, dans l'espace angulaire d<^ a son aire négligeable devant q^d<^ et n'exerce par suite, à la distance q, qu'une attraction infiniment petite en

comparaison de — — ou «w.

Tout cela posé , si la densité a reste finie sur le contour (supposé convexe) de la région d'application, la dérivée

— 1 — , pour un point intérieur voisin [x, y) et le long de

la normale dn tirée au contour, pourra s'évaluer en menant par ce point, perpendiculairement -à dn, une sécante, qui détachera un petit segment de la couche /ofP, et en négligeant dans le calcul de l'attraction de la couche ce segment, presque circuiaire , ainsi qu'une autre petite portion, sa symétrique par rapport à la sécante ou, sensiblement, par rapport au point [x, y). Or, dans ces conditions, la couche donnera évidemment une composante d'attraction (ou une dérivée) négative quand on marchera vers l'extérieur, vu qu'elle sera formée d'attractions élémentaires dirigées toutes vers l'intéiieur ; et c'est ce qu'on voulait démontrer.

Remarquons même que cette composante, si on n'y compte d'abord que les parties de la couche un peu éloignées, est continue à l'approche du bord ; en sorte que la dérivée

du mienéiel total ( — , c'est-à-dire -^ ( — , restera elle-

même continue sur le bord, à la traversée du contour de la région d'' application, toutes les fois que les parties adjacentes de la couche ficUve J'dP n'y donneront qu'une attraction insignifiante. C est ce qui arrive quand la fonction ^s'annule sur le hord et qu'elle est, dans le voisinage, à l'intérieur de la région d'application, proportionnelle à une puissance

de la distance aii bord dont l'exposant, n, soit positif. Alors, en effet, poiar un point de ce bord, la différence pi — p, qui entre dans l'expression (111 bis), a l'un de ses termes, pi o.u — p, relatif à un point extérieur et, par conséquent, nul, tandis que l'autre est de l'ordre de q" : l'expression (111 bis) se trouve donc comparable, pour^ = o, à g''~^dqd<-i, quantité dont l'intégrale par rapport à q , entre les limites très voisines zéro et g, est elle-même de l'ordre de q^dt^, c'està-dire négligeable en comparaison de t^w , comme dans îe

cas où le rapport - — - égalait une dérivée fuiio. Et l'on

en déduira de même que les attractions dues aux parties de la couche voisines du point considéré ne donnent, suivant une direction quelconque prise dans le plan des cep , qu'une composante totale insensible.

En réalité, p doit toujours s'annuler ainsi, sur le bord de la région d'application. Car, d'une part, il est peu naturel que cette pression passe brusquement d'une valeur finie à une autre toute différente . comme il arriverait si elle ne décroissait pas jusqu'à zéro , à l'approche du contour limite en dehors duquel elle est nulle. D'autre part , une expression de p qui ne s'annulerait pas sur ce contourlimite y rendrait discontinue et même infinie , comme on voit d'après (111 bis) , la dérivée de m par rapport à w, et obligerait la surface primitivement plane du corps à présenter, le long du même contour, une arête, une ligne anguleuse, circonstance encore moins admissible. Enfin, la supposition d'une variation brusque de p, en quelque endroit que ce soit du plan des xp, serait contraire à l'hypothèse fondamentale , que nous avons faite ici , de pressions extérieures purement normales à la surface du corps, ou, du moins, elle rendrait nos équations inapplicables en un tel endroit. C'est ce que nous allons démontrer.

Les formules (41 ter) [p. 76], d'où nous avons déduit p^;=o etpy=:o, à la limité 2^0, pour les points où la fonction p a ses dérivées fmies, prennent la forme indéterminée o X co dans le cas contraire. 11 nous faut donc recourir aux for-

mules plus générales (41) [même p.76], qui, vuiesrelationsr= v'('«i— 4^-i-(yi— y)^-^^^©* (?OT = rfP, donnent, par exemple ,

En traitant celte expression de ^j, comme on a fait au numéro 14 (p. 66 ) pour les expressions (28) de f -^^- et de j — ^j il vient

« = -— I sin«rf(^ I — ■ — — — - — - — — ■.

'i^ J, ■ Ji, ( 1 -H q^- )f

Or, à la limite z = o, le facteur ;; (x-t-zq CGSrij, y '^^q simol reçoit, dans l'intégration à effectuer par rapport à ^'j la valeur constante, o (^^-e cosw, y-v-z sinu), que prend la fonction p en un point situé, sur la surface, à une distance lufiniment petite £ du point considéré (a;, ^) et suivant la direction dont l'angle avec les x positifs est w. Si donc ou observe que

la valeur de f,^ devient

1 ri-K

(112) (pour2 = o) ;)„ = —— ( ,o (œ ^- e coa w , ?/ -h ; sui ,^) sm « ûff. ;

et elle n'est généralement plus nulle, quand la fonction 5 éprouve des variations sensibles le long de la circonférence infiniment petite de rayon s décrite autour du point {x^y) comme centre.

Si, par exemple, ce point {Xyy) est sur la ligne de séparation de deux régions, dans chacune desquelles p prenne des valeurs coiilinues, appelées ?{a:i,^,) pour l'une, a^ixy.yi) pour l'autre^ et si l'on a choisi la direction de l'axe des y

suivant celle de la normale à cette ligne en [m,y]^ menée dans la région où se produisent les valeurs a, celles-ci figurerontévidemment, dans (112), depuis w=;o jusqu'à (o=ii, tandis que ce seront les valeurs pi qui figureront pour la seconde moitié de la circonférence, savoir, dew=Tî à (i)=2rc, où sinw retrouve les mêmes valeurs que dans la première moitié , mais avec signe contraire . Il viendra donc , en

observant que ( sin « t? w = 2,

(112 ;^) (poa. . =,0) f, ^. l^±2Ê^îhyi. ,

valeur finie toutes les fois que =, {x,y) diffère de p [x,y) D'ailleurs , dans le même cas , l'expression de 'p.j. serait analogue à celle (112) de^^, mais avec le facteur oosw (/w à la place du facteur sinw d^, et, comme on a f^cosw (?w=o, elle s'annulerait. Ainsi, iouie discontinuité dans le mode de variation, d^ un point à l'auêre, de la pression normale p^=: a (x, y) que supporte la surface, entraîne inévitablement, le long de la ligne où elle se produit, l'existence de perturba^ tions spéciales non exprimées par les formules précédentes , et qu'on ne fait disparaître qu'en appliquant à cette ligne du corps certaines actions tangentielles^ siiivant la direction perpendiculaire qui va de la région des plus grandes pressions vers celle des plus petites.

Pour éviter de telles actions tangentielles , que l'énoncé de la question ne suppose pas quelque petites qu'elles soient en somme , et, aussi, les brusques changements de direction du plan tangent dans la surface déformée, nous admettrons Aovic (^uq là surface prend partout, même sur le bord de sa partie directement comprimée, une courbure finie , et que la pression exercée par unité d'aire, après avoir varié d'après des lois quelconques dans l'intérieur de cette partie, décroît plus ou moins rapidement jusqu'à zéro, près de son contour.

Ti'effet d'un tel décroissement, supposé purement local, sur les abaissements 7c produits ailleurs que très près du

bord, est d'ailleurs totalement insignifiant; vu qu'il n'introduit ou ne supprime qu'une pression totale insensible ,

ne fournissant qu'un potentiel j — négligeable aux distances finies. En d'autres termes, ce décroisse meni supprime les discotttmuilés qui, sans son existe^ice, se produiraient sur le bord ; mais il n'a aucune influence générale, ou n'ohlige à modifier aticune conclmion- concernant les déplacements pi'oduits à des distances sensibles du contour de la région d'application .

Je terminerai ces réflexions générales par une remarque concernant en particulier le cas de pressions , positives , pareillement distribuées tout autour d'un point central. Elle consiste en ce que la forme de révolution prise alors par la surface a son méridien convexe vers l'extérieur du corps, en tous les points situés bors du cercle-7t R/ d'application des pressions données. Autrement dit. pour

■c 'y R|, la dérivée, alors négative, -j- s'approcbe sans cesse

de zéro à mesure que t grandit. En effet, dans ce cas, l'expression de iv se compose, comme on a vu, d'éléments tous positifs , proportionnels à des séries de la forme (98) [p. 117]. Or la dérivée en t de ces séries a bien tous ses termes négatifs et d'autant plus voisins de zéro que t est plus grand.

34. — Mode de distribution parabohque de la pression , avec décroissance du centre au bord.

Revenons maintenantàl'étude des modes les plus simples (le répartition d'une cbarge donnée, et passons au cas d'une distribution parabolique des pressions décroissante jusqu'à zéro du centre au bord, ou supposons p proportionnel à R]'' — R^. On reconnaît aisément que, pour une force totale