H- 2 lîi^J = environ ™ ^-- -H - -g-^ j

Dans ce mode de répartition , le dixième environ de la pression totale est distribué uniformément, et les neuf

autres dixièmes parabolique ment avec accroissement du centre au bord. La profondeur ra , sur l'axe et sur !e contour de la région d'application, se trouve supérieure d'un dixième à ce qu'elle serait sur le bord si toute la pression était distribuée uniformément; mais elle dépasse à peine les 21 trentièmes de ce qu'elle serait au centre dans ce dernier cas.

La valeur moyenne de vu, calculée par la forinule (106 tei^)

, ion A 1 "^ -^2:^ 1,2534 ^ ,. , .

[p.I2L)J, égale ^ — - — —7 -— - — : son excès sur l'abaissement

-' Il (;, -(- ,1) Kl

7D au centre vaut donc la fraction ■ , ou presque -^,

de l'abaissement moyen lui-même; ce qui prouve que la courbure de la surface est encore très sensible.

36. — Mode de répartition pour lequel la surface comprimée reste plane el horizontale.

Il est intéressant de cbercher quel mode de répartition des pressions extérieures dV laisserait à la surface comprimée sa forme plané et horizontale, c'est-à-dire donnerait à l'enfoncement w la même valeur, non seulement au centre et au bord du cercle d'application -R,^ de ces pressions , mais aussi dans toute son étendue. Alors la dérivée de k' en t serait nulle de ï.=o à i;=Ri: ce qui, d'après un théorème démontré au numéro 33 (p. 144), reviendrait à dire que la couche matérielle fictive /(/P, recouvrant le cercle îjRf , n'exercerait aucune attraction sur un point {x,y) intérieur au cercle, abstraction faite du moins des éléments matériels d2 les plus voisins du point {x, y) et situés symétriquement, ou à fori peu près, de part et d'antre de celui-ci .

Pour découvrir un tel mode de répartition, imaginons que la matière active fdV soit distribuée , en couche homogène d'une épaisseur constante très petite, sur toute la surface S = 4tîRÏ d'une sphère de rayon Ri ayant même

centre que le cercle i^Rf ; cliaque élément dS en recevra la

on mène des plans découpant l'espace en angles polyèdres infiniment petits et, par suite , la couclie sphérique en éléments cnrrespotidants , opposés deux à deux , dont dS, dS' désigneront les bases, ceux-ci auront même épaisseur dans le sens de la corde, issue du point {x, y), qui les joindra ; car les deux parties d'une droite qu'interceptent deux sphères concentriques sont égales. Ces deux éléments, à bases ^S ou dS' , se trouveront donc proportionnels à leurs sections par des plans normaux à la corde, c'est-à-dire proportionnels aux carrés des deux segments, 01, 01', de cette corde, comptés à partir du point (x, y). Par suite, les attractions qu'exerceront au point {x,y) les éléments

considérés , -r-^ - se neutraliseront exactement .

4TtRi* ' 4t(R(ï '

comme tout le monde sait. Cela posé, appelons z, z' les ordonnées des bases dS et dS', r et r' les droites, qui joindront les pieds de ces ordonnées au point (x, y). Les côtés 01 , r et ^, 01', t' et z' formant deux triangles semblables , les deux attractions considérées varieront dans un même rapport, et ne cesseront pas de se détriiire exactement, si dS d6' 47rR,ï' SÔV

transportées , le long des droites z,z', sur le cercle même -R^, ou viennent couvrir, au lieu des éléments dS, dS'

de la surface sphérique, leurs projections, ds= -^ dS, d'y' = — dS'; sur le plan de la véritable région d'application des pressions , en échangeant ainsi les distances 01 , 01' qui les séparaient du point [x, y) contre les distances proportionnelles r, r' .

D'ailleurs, si l'on considère, en particulier, les éléments de la couche qui se projetteront sur le plan des xy dans le

voisinage du point considéré [x.y], deux d'entr'eux correbpoudants, ou ayant des bases comme dS, dS', se trouveront aux extrémités d'une corde sensiblement perpendiculaire au plan des xp, plan de symétrie de la sphère; et les deux projections, d-y, d'y , de leurs bases seront symétriques par rapport à ce point [x.y)^ à des infiniment petits négligeables près.

Donc, lorsque chaque partie, j-^, de la couche d'abord

étalée sur la sphère sera venue occuper l'élément (?» du plan des xy sur lequel se projetait sa base, l'attraclion totale de la couche sur le point intérieur quelconque {^x,y) se trouvera nulle, abstraction faite des éléments (^^ très voisins du point (Xj^) et compris dans un petit contour sensiblement symétrique de part et d'autre de ce point. Par suite,

le potentiel / — et l'abaissement w auront les mêmes

valeurs sur toute l'étendue du cercle -R^, Et le résultat serait évidemment le même, si l'on avait d'abord étalé toute la matière fictive fd^ sur une seule demi-sphère , ayant pour base le cercle -Rf; car la projection, sur ce cercle, de la couche relative à l'autre demi-splière , ne fait que doubler ce qui provient de la première.

Ainsi , le mode de répartition pour leqtiel la surface comprimée reste plane et horizontale s'obtient en concevant la pression totale distribuée uniformément-, comme une charge matérielle, sur toute la surface convexe d'une dem.isphère décrite au dessus du cercle d'application comme base, puis en imaginant gue la charge de chaque élément de la demi-sphère soit transportée en réalité à la projection de cet élément sur le cercle même de base.

La part de la pression totale que supporte un élément d'y de la région d'application vaut donc, avec les notatioQs ci-dessus ,