R,^ 2uR.ï * 2^fi, ViV

Et la pression ? par unité d'aire est

J^lle décroît du bord au centre, où elle est juste deux fois moindre que dans le cas d'une répartition uniforme.

Par suite de la relation (124), l'enfoncement w, le même sur toute la surface comprimée depuis le centre jusqu'au contour, se trouve être précisément celui que nous avons calculé à la fin du n" 28 (formule 103 ter, p. 120),

{125; (po«..<H,) «.-^^-r-r-

v(>--HH.:,8R, '

commun à toute la région comjfrimée est léffèrem,ent inférieur, du douzième environ de sa valeur, à l'a moyenne (106) [p. 125] des abaissements qu'on aurait observés dans toute cette région pour une distribution uniforme de la charge.

Ce même enfoncement, exprimé par(125), dépasse sensiblement celui qui se produit au centre et au bord, dans le mode de répartition auquel répondent les formules (122) et (123), puisque son rapport à ce dernier égale celui des deux coefficients numériques 1,2337 et 1,1. Mais il est à

peine plus faible , du — environ de sa valeur, que l'enfoncement moyen éprouvé par la surface comprimée dans le même mode complexe de répartition delà charge. En eifet, d'après la formule (106 ter) [p. 125], cet abaissement moyen est à l'abaissement commun (125) comme 1,2534 est à 1,2337.

37 . — Extension de ce mode à une région comprimée elliptique.

La même méthode de recherche s'appHque au cas où la surface comprimée est une ellipse et non an cercle. Imaginons que l'on construise, sur cette ellipse comme section diamétrale, un elhpsoïde quelconque, et que la matière fictive /(^P soit étalée à la surface de celui-ci, on couche homogène mais d'une épaisseur variable, de manière à remplir l'espace compris entre cet ellipsoïde et un autre infiniment voisin , concentrique , semblable et semblablement placé. Comme les deux parties d'une même droite qu'interceptent entr'eux deux ellipsoïdes pareils sont égales, une surface conique infiniment petite, ayant pour sommet un point {x, y) intérieur à l'ellipse donnée^ détachera de la couche deux éléments, dont j'appellerai t^S, d^' les bases, et dont l'épaisseur sera la même dans le sens d'ime génératrice du cône ; leurs volumes seront, par suite, comme pour une couche sphérique , directement proportionnels aux carrés de leurs distances ^, 0Î' au point ix, y). Donc, les attractions exercées en [x, y) par ces deux éléments se neutraliseront; et elles ne cesseront pas de se neutraliser, si on transporte les deux éléments sur le pian des xy, le long des deux ordonnées z et z de dS et d'S>' conjuguées à ce plan diamétral des xy , eu faisant ainsi varier proportionnellement leurs distances au point {w^y). D'ailleurs, deux éléments de couche, à bases e^S, rfS', qui, dans ce mouvement, viendraient se placer très près' de {x,y), sont situés aux deux extrémités d'une corde presque conjuguée au plan de l'ellipse donnée ; en sorte que les deux parties 01, Si' d'une telle corde- sont presque égales , et les projections obliques, d-:^, £?/, de dS , dS' sensiblement symétriques de part et d'autre du point {œ. y). Ainsi , l'attraction totale à considérer, exercée en tout point

intérieur à Tellipse d'appliciition , restera nulle, si l'on transporta la partie de couche recouvrant l'élément quelconque dS de l'eilipso'ide sur la projection d^ de cet élément dS, projection obtenue en menant de chaque point de dS des cordes conjuguées au plan diamétral des wp. Par

sera invariable, et w y aura la même valeur.

On pourrait supposer encore toute la matière fictive /^P placée sur une seule moitié de l'ellipsoïde, sur celle qui est, par exemple, au-dessus du plan des x^. Car les deux éléments correspondants que détachera de la couche totale, sur les deux moitiés respectives de l'ellipsoïde, un cylindre infmiment petit ayant ses génératrices conjuguées au plan . des 3^, ont évidemment même section normale, et épaisseur égale dans le sens des génératrices ■. le transport oblique, sur le plan des a;^, de la couche recouvrant le demi-ellipsoïde inférieur, ne fait donc que doubler l'effet de la couche provenant du premier demi-ellipsoïde .

En résumé, pour avoir un. mode de répartition daTis lequel la région ellipt/ique d'applicaiion des pressions exUrieiires reste plane et parallèle à sa situation naturelle , il suffit de construire un demi ellipsoïde , sur cette ellipse comme section diamétrale, de distribuer, sur la surface convexe de ce demi-ellipsoïde, lapression totale donnée, assimilée à une charge matérielle, proportionndlemsnt, en chaque point, à la distance de cet ellipsoïde à un ellipsoïde infiniment voisin, coficentrigue , semUable et semUablement placé, puis de transporter, sur l'ellipse d'application, chaque élément de la charge ainsi répartie, en lui faisant suivre pour trajectoire une droite , conjuguée, dans l'ellipsoïde, au^plan même de l'ellipse.

Prenons les deux demi-axes a, h de l'ellipse comme axes des œ et des y, et le demi-diamètre conjugué, c, de l'ellipsoïde comme axe des z. Si l'on décompose l'ellipse en éléments superficiels da égaux, des cylindres menés suivant leurs

contours, avec des génératrices parallèles aux z^ découperont la couche fictive, étalée sur le demi-ellipsoïde, en éléments ayant leurs sections droites évidemment égales. Ces éléments de couche , charges destinées aux parties correspondantes (Zs- de la surface d'application, seront donc entr'eux comme leur épaisseur suivant le sens des z, c'est-à-dire comme la différence des ordonnées,

des deux ellipsoïdes qui limitent la couche. A cause

if c ^ c de la similitude admise, ona^=— et-T^ = --. D'ailleurs,

g' ne diffère de c que par un accroissement infiniment petit de. Ainsi, l'excès / — z s'obtient en difTérentiant

\/c^ ^«^—-y^y^ sans faire varier, sous le radical, aucun

autre terme que le premier c*, et il est proportionnel à la dérivée du radical par rapport à la racine carrée de ce terme, dérivée qui égale

La charge ou pression supportée par l'unité d'aire de chaque élément (Ït se trouvera donc partout en raison directe de l'expression (126).

Les lignes fT égale pression , ou le long desquelles p reçoit la même valeur , sont les ellipses ayant pour équation

(127) ~— -*- ~ =L une coDsLante 7,

ellipses semblables et concentriqtœs au contour. L'une d'elles a pour demi-axes a k'y, b V'y : l'aire qu'elle entoure vaut itffl&y ;

et la bande comprise entre deuxellipsesconséculives, caractérisées par les valeurs Y, Y -H <^y du paramètre, égale -r^ahd-^. La pression p par unité d'aire y étantproportionnelle, d'après (126), à (1 — t)"^, la charge delà bande l'est elle-même à -^ah^i — ■j')~^(^y = — 2îtffl6(^Vl~y, et la pression totale exercée sur l'ellipse l'est également à

' r^{\~yf'^ dy^2^ab.

. Comme on convient de prendre une charge totale égale à 1 , la pression ? par unité d'aire vaudra évidemment le quotient de l'expression (126) par ce résultat 2r:ab, c'est-à-dire

i,fi-4-Cï

£a pari de pression totale afférente à Vunité d'aire, en chaque point (x,y) de Vellipse d'application, égale donc l'inverse du produit de %t. par la racim,e carrée du tnnôiwe aW — «V — ^^' où a et b désignent les deux demi-axes de l'ellipse.

38. — Calcul des abaissements produits, dans le cas oit la région comprimée est un cercle et reste horizontale.

Nous expliquerons au § suivant (n" 47) une difficulté qui ^e présente sur le contour de la surface comprimée quand on admet qu'elle reste plane jusqu'au bord même, difficulté résoluble en remplaçant l'arête vive de la surface par une petite partie arrondie, conformément à la réalité : nous y obtiendrons aussi [n" 51) l'expression des abaissements w pour le cas d'une région d'application elliptique, et nous démontrerons fn" 53) une propriété remarquable qu'y présente le mode de répartition des pressions. Contentons-nous ici d'appliquer lesformules (99)et (100) [p. 117]

au calcul de w pour le cas où la surface comprimée est un cercle et où p est exprimé par la formule (194). Nous vérifierons ainsi, notamment, que l'enfoncement w a bien, dans toute l'étendue du cercle JtRf, la valeur constante (125).

Nous aurons à y utiliser les deux formules de calcul intégral

XT r 1 sin a H- siiiM "I

log — — arctg [cos ^ tg a) U., = o,