sin « sin&i\ (/m

OÙ a désigne un angle quelconque, inférieur toutefois à —

en valeur absolue. Ces formules peuvent se démontrer eu partant de celles-ci ,

— lop; =^ I — — ,

l BUl w 3111 (a -t- (j) ,,/„ cos « -t- cos 5)

! C'" cosw cffû 1 1 H- sin M sin w

f r~'^ 2coaadu

J 1— sin^asin^i. ^ "'''^ '*^°^ " 'ë <-) ' ■

dont les membres s'annulent, dans la première, pour a— ^o, dans les deux autres , pour w = o , et qui se vérifient par la différentiation, en remplaçant à la fin, s'il s'agit de la première,

par leurs expressions connues en sin ■ ■ „■■■-, cos-^ , et puis

2cos^-^ cos -^ par cosan-cosu. Multiplions ces trois relations (130), respectiveitient, par d<ù, d'-i, da, et intégrons ,

dans toutes, de ii>=o à 1^ = -^ et de «=0 à «,=«, en ayaat

d'ailleurs recours au procédé de l'intégration sous le signe/ poiir réduire les intégrales doubles. Si nous observons que la première et la troisième des formules (130), prises en y permutant a et w, puis en choisissant, dans la première,

-^ comme limite supérieure de l'intégration , donnent les

deux égalités

fY d,., 1

X"- COS fà d a __

arctg ( cos co

et que l'on a aussi, évidemment,

f~« 2cos«^« 1 , l^-siii«sm,.

le troisième des résultats obtenus ne sera autre que la seconde formule (129) , tandis que les deux premiers s'écriront

arctg icosfd tf^ft) «w ^ I ™ — lo^ ^ — ,

et donneront, par soustraction, la première relation cherchée (129).

Cela posé, considérons d'abord ia formule (99), relative au cas ï. ^ E|. Portons-y la valeur (124) de p, écrite ainsi

(133) |lî^r^\/42 — R^siii^ro) (t2 Rjasin^„)l ',

yGoosle

et effectuons l'intégration par rapport à R au moyen de la formule classique

,{i34) J^ ! = log ( ^ + ^/œ^-^ a ) -+- const.

Cette intégration donnera