K, v'l-sin=.sm

■ j—- .reigloos.lg.).

4 Ri 2^K.

Enfin, la somme de ces deux intégrales, multipliée par

— d<^, puis intégrée de(D = oàw = -^, conduit bien,

en tenant compte de la première formule (129), à une valeur de w constante et identique à (125).

Le mode de répartition des pressions représenté par l'expression (124) de p présente donc, au point de vue analytique, cette particularité remarquable, que les expressions de w s'y calculent sous forme finie, sans exiger des intégrales ineffectuées , contrairement à ce qui arrivait dans les cas de distribution uniforme et de distribution parabolique (*}.

(*) On verra, à la note de la p. 206, que la iiièine particularité se produit lorsque la région circulaire direoteaienl comprimée prend la forme d'un paraboloîde de révolution.

38 bis. — Démonstration, par les -mêmes formules, d'une relation , due à M. BeUram.1, qui permet de déduire les pressions des abaissements de la région comprimée, quand il y a parité tout autour d'un point central (*).

Les deux formules de calcul intégral (129) , dont nous avons eu besoin dans la question précédente, conduisent à une démonstration assez simple d'une importante relation, découverte par M. E. Beltrami, entre les valeurs que le po-

tentiel d'une couche plane circulaire/cïm— j 2^p{R^)Rt^R,

symétrique tout autour de son centre, reçoit aux

divers points de cette couclie, et la masse I 2TT:p(R^)Rf?R

de la partie de la couche qui est extérieure à un quelconque , "R^, de ses cercles concentriques : relation d'où se déduira immédiatement , en difFérentiant par rapport à R , la densité p(R^) de la couche , et qui , par suite , dans le cas considéré de symétrie tout autour d'un point, permet de se donner les abaissements w d"une région comprimée <j au lieu des pressions élémentaires dF—pdfy ('*].

On conçoit que, en général, la détermination de la densité p d'une masse on , ce qui revient au même , l'évaluation de ses divers éléments dm , au moyen des valeurs

que prend son potentiel / — aux points occupés par ces

éléments, constitue un problème déterminé; car, égaler à

[*) Numéro inséré au moment de i'împression (Novembre 18^ j , c'est-à-dire plus de trois ans après la rédaction de l'ensembSe du mémoire.

(**j On peut voir dans divers raénioirea de M. Beltrami, notamment dans celui que contient le tome II ( IV* série) du Recueil de l'Académie des Sciences de Bologne iSuila teoria délie fumioni potenxiali simmelriche ; 1881 ), les démonstrations que cet éminent analyste a données de sa formule". Aucune n'étant ni brève, ni intuitive, je crois préférable d'exposer ici celle que j'ai déduite des relations (129) et qui est beaucoup plus élémentaire.

des quantités connues un nombre de valeurs de J — égal

au nombre même des éléments cherchés dm , c'est poser , entre ceux-ci, précisément autant d'équations du premier degré qu'il y a d'inconnues. Ce problème se résout même de suite dans le cas d'une masse à trois dimensions, puisque

la formule classique de Poisson y donne 4vrp = — i^ T — .

S'il s'agit, comme ici, d'une mince couche plane, la détermination de ,0 est encore immédiate quand les valeurs

données sont , non pas celles du potentiel inverse i — ,

mais celles du potentiel logarithmique -Jj =^/log {z -+- r) dm, qui se réduit, dans le plan z~o de la couche, h^^flo^rdm : car, en tenant compte de la première relation (31) [p. 67],

qu'on peut écrire ~ ~ — 2^^? (pour 2=0), la formule ^^l^ = 0

devient, à cette limite , Stio = -tv ^ — r^ » équation aux

dérivées partielles analogue à celle de Poisson et qui , pour le dire en passant, faciliterait beaucoup , dans le cas de symétrie tout autour d'un point, le calcul de cette fonction 4'=/log)' dm, p étant donné (*). Mais le problème se complique, au contraire, quand il est question du poten-

{*) En effet, p et, par suite , ^ ne dépendant alors que lie t, l'équation

1 à I Ai,\ deviennvait — — lï'-r-) ^= "^f et son intégration, effectuée en observant que l'on

m ment

(pourt,= o) ï.2 = *'''^ = '^o = 2Tj""p(R2)RlogR.dR,

ait

i = J.^ -H 2;i r*^— r% (Rï) RrfR.

(«■ ou bien, en J'eniplaçant — par à log ï-, intégrant ensuite par parties et substituant

finalement à fg sa valeur ,

a évidemment

donnerait

tiel ordinaire i — d'une couche mince. En effet, la for-

mule de M. Beltrami , bien que se rapportant au cas relativement simple d'une couche circulaire et symétrique de rayon Rj , est , si U (t) désigne l'expression du potentiel , donnée de ï. = o à t = Ri ,

/-Kl 2 r^i tdx, d r^ UW-Xv

■ ' Jr '^.^'R v't^-R^ '^'^ -^0 \Ai.^— /

et l'on en déduit, en différentiant par rapport à R, puis divisant le résultat par — 2-R , l'expression , assez compliquée , de p(R^) ,

Il suffit de démontrer cette formule (a) pour le cas où. la densité p (R^) s'annule partout excepté dans un tr^s petit intervalle, (?R„j compris entre deux valeurs consécutives Ro, R^-<- ^Ro de la distance au centre. Si, en effet, elle est vraie alors, il suffira d'ajouter ensemble les formules

if. = j-o -H 27T [[log t) ^% (R2) RdR — f^;. (R^) R log Rrfït] = 2Tr[ r%(R3)RlogtrfR-H r^p(RS]RlogRrfR]. "

L'identification de ne résultat , spécifié pour le cas où p (Rî) ne diffère de zéro que lorsque R est compris daoa un intervalle dR infiniment petit, à l'expression de 1 obtenue par un calcul direct ,

l ^ = Tlog r dm= j log r. [,'. fRî) RdR ] rfi-

\ =. t> (R^) RdR f 'log Y^ï^H-Rî— 2Ï.RC0S-- a-,, ,

conduit, d'une manière assez curieuse, & la valeur de l'intégrale classique f log yfx,^ — 2t R COS-.J -I- R' do., valeur qui est 2n- log R ou 2j: logt, suivant que R est plus grand ou plus petit que t-

relatives à une infinité de cas pareils, concernant de simples couronnes élémentaires dm = 2ttp (Ro^) Roti^Ro , pour que , d'une part , la relation obtenue contienne , à son second membre, l'expression vraie de U, c'est-à-dire l'expression du potentiel relatif à la masse totale m composée de ces couronnes , et , d'autre part , dans son premier membre, la somme même des couronnes extérieures à celle de rayon R.

Bornons-nous donc au cas d'une couronne élémentaire d'un rayon R^ < R, , ayant la masse dm = 2^a (Ro^) Ro (?Ro. Le potentiel U (t) sera, d'après les expressions (94) et (97) qu'on lui a trouvées [p. 115 et 116] ,

Nous aurons , en conséquence ,

( pour 1^ <|^ Eo ]

égalité dont le dernier membre vaudra , d'après la seconde formule (129), le produit à.e> dm, par l'arc, compris entre

zéro et-^, qui a pour sinus — . Il viendra' ainsi :

(pour i- <^ R,

On trouvera de même , pour le cas t ^ R„ , mais en n'intégrant d'abord que de y = o à y = R^ , et en se servant toujours , par conséqnaent , de la première expression {b) de U , puis en appelant , pour abréger , a l'angle , compris entre

zéro et — , dont le sinus vaut — et ,

-'■> \ft.' — y'

J„ sin. L V 2 2siii>, ^

dm /" î [L>

2dm rTd,>

El comme , d'ailleurs , la seconde expression {b] i donnera

I (poui' ^ 'y Ro)

V^[t2 7Î)(7Ï R„3sin««)

= — . I i arclg V 1 —

2(/m ri:l^' RoCOS« \ ,

2flf»i /~T , , ,

dm I arctgr (tga cosu) aw

2flfwj ' 2 '""

on aura en tout

1 (Po.r.>B.; r^3ML

^ — ffiBÎ I log — r^ A- arclg [tgK COSw] dr.i.

Or , dans celle-ci , le dernier terme est nul , d'après la première formule (129) prise en y changeant k en — «. On trouve donc , en résumé ,

r* n-iY/'k ^

t>BJi

et la fonction ( '■'' - -- , continue pour toutes les valeurs

det, a pour dérivée par rapport à K, -^:^= ou zéro, sui-

vant que t est plus petit que R^ ou plus grand que Ro- Or cette dérivée, portée dans le second membre de {a), le réduit évidemment à zéro si R est supérieur à Ro , puisque alors la variable t , croissante de R à Rj , ne cesse pas d'y dépasser R^; et, dans le cas contraire de R <^ R,,, elle le réduit à

2dm. r^ Ut, 2dm. r . V__Rî-|t = Ro

I — -— iirctg \/ — - —m.

On voit que , dans les deux cas , la valeur obtenue pour le second membre de (a) représente bien, la masse extérieure au cercle de rayon R, masse qui est la couche annulaire dm elle-même quand le rayon R se trouve moindre que le

sien , et zéro , quand , au contraire , la circonférence 2t:R lui est extérieure.

Ainsi , les formules [a) et {a') sont démontrées pour toute couche circulaire dont la densité ne dépend que de la distance R au centre.

Et il importe d'observer, à cet égard, que, quelle que

soit la fonction U (*■), donnée de t = o à t=Ri, si une couche

de rayon Ri a la densité [a], son potentiel, entre les limites

t = o et t = Ri, sera bien U (t). Car, supposé qu'il pût être

une autre fonction U (t) -+■ Ui ft) , celle-ci , portée dans («')

après substitution dey à t, donnerait au second membre,

d'après la démonstration faite, la valeur p fR^), comme

([uand le terme U (y) était seul. En posant , pour abréger ,

r^ Uj('/y7 ., -, d r^i -/[■c]x.dx.

y {x\ — \ —l-lll-L on aurait donc -j^ i ■ = o ;

ce qui, vu l'identité ( —■■----- = o (pour R= Ri),

entraîne l'annulatioa de l'intégrale 1 ' Or tous

les éléments de celle-ci sont de même signe et, par suite, nuls, tant que, R décroissant avec continuité à partir de Ri , la fonction y' (R) ne change pas de signe. Dire que l'intégrale en question est constamment nulle, c'est donc dire que la dérivée /' fï.) ne peut , à aucun instant , cesser

elle-même de l'être, et que la fonction x {•''} ou / - '^^'^'^ ,

d'ailleurs égale à zéro pour t = o, s'annule aussi continuellement. Enfin, comme, pour t croissant à partir de zéro, tous les éléments de ■/ (ï) sont encore de même signe , et nuls , tant que Ui (t) n'en change pas , il faudra nécessairement poser ll| {■c} = o: ce qu'on voulait démontrer.

Remarquons encore que la seconde expression (b) de U (t) devient , si l'on y remplace t par t' et si , posant ensuite

lieu de w comme variable d'intégration

1 , on adopte t au

valeur de U (t') qui , pour t.' > Ri , peut s'écrire , à cause de {€') ,

Or cette égalité, ainsi démontrée dans le cas de couronnes élémentaires dm = 2?^ p (Ro^) Ro '^Rm .subsiste évidemment quand on y remplace les fonctions correspondantes U (y) , U (ï') par des sommes de fonctions pareilles représentant le potentiel d'une masse de rayon Ri composée de telles' couronnes : elle constitue une autre formule remarquable du même travail de M. Beltrami; et l'on s'en servira pour déduire, des valeurs données du potentiel aux divers points de la masse circulaire, ses valeurs sur tout le reste du plan de cette masse.

39. — Autres modes d'application, déduits des précédents au moyen de la transformation par rayons vecteurs réciproques.

On connaît le principe de la transformation par rayons vecteurs réciproques et son emploi dans la théorie du potentiel". Soient :

a une longueur constante donnée ;

dm un élément de masse, situé en un point [Xi, yi, z^ dont R r= ViSj^-H-yi^'^^i^' désigne la distance à l'origine ;

Enfin [x, y, z) tout autre point, dont le rayon vecteur

t, — Va;^-4-yS-t~3^, émané de l'origine , fait un certain angle V avec le rayon vecteur précédent R.

La distance r des deux points {xi, p-,, Zi), [x, y, z) sera donnée par la formule

r^ ^ Rï -H t^ — 2 R i> cos V ,

et le potentiel de dm au point {x, y, z) vaudra — .

Cela posé , concevons qu'après avoir multiplié la masse dm par -^, ou lui avoir donné la valeur — dm, on la transporte, le long de son rayon vecteur R, à la distance R'= -— de l'origine ; puis , qu'on évalue le potentiel qm lui

est relatif, non plus pour le point {œ, y, z), mais pour le transformé te', y\ z') de celui-ci, obtenu en portant de même le point (ic, 2/) 2) > le long de son rayon vecteur t, à une distance t' =— de l'origine. La nouvelle distance, /, de la masse , à ce point [x' , y' , z'}. aura pour carré

[ /ï = R'î -t- ï,'^ — 2 R' t' cos V = .^-(ï,2-hE2 — 2ï.Reo8V)