RH

L'extraction des racines donne , par suite , ffl I ffi 1

Multiplions les deux membres par dm et intégrons-les pour une somme quelconque d'éléments dm. 11 vient

— dm ^ ,

R ^ a n dm

yGoosle

Donc, le potentiel de la masse transformée est égal, pour

le point (x', y, z') , au produit de —^ par le potentiel de la

masse primitive au point (x,yyZ) .

On peut, par ce principej déduire simplement, de chaque mode de distribution de pressions considéré précédemment, des modes nouveaux, pour lesquels on connaîtra de suite les abaissements w correspondants. Il suffira, après avoir pris sur la surface du corps une origine quelconque, de concevoir que chaque pression partielle, t?P=:pf^i7, exercée sur un petit élément (^^ d'une région donnée du plan

des xy-, soit réduite à -^ -> éï * ( c'est-à-dire à a p t^wc^R, pour

(/tj = Rf^ioi^R évalué en coordonnées polaires) et qu'on la transporte ensuite, le long de son rayon vecteur R, sur l'élément é'^' transformé de (^t par rayons vecteurs réciproques, élément qui sera d'autant plus grand et d'autant plus éloigné de l'origine que da en est plus proche. Le nouvel abaissement w' égalera, en chaque point [d , y') du

plan des œy , le produit de -^ par l'abaissement primitif *£>,

supposé connu, du point {x, y).

Dans les cas où la région d'application primitive comprend l'origine, la nouvelle région d'application t' s'étend jusqu'à l'infini au-delà du nouveau contour, transformé de l'ancien, et l'espace compris à l'intérieur du nouveau contour reste seul libre de toute pression. Mais, si la fonction donnée p est finie à l'origine R— o, les nouvelles pressions exercées aux points éloignés, depuis une certaine distance très grande R' jusqu'à R'=go , ne donnent

d R , entièrement

en tout que la somme a j d<^ j p

insignifiante ; en sorte que la nouvelle pression est finie comme la première , et la nouvelle région d'application réductible aussi, avec autant d'approximation qu'on voudra, à une surface finie , savoir à une bande aniiulaire , dont le

bord extérieur reste seulement indéterniiné . Les raisonnements des §§ précédents , où nous supposions des régions d'application restreintes , ne cessent donc pas d'être applicables ; et, en effet, les conditions spéciales (3) [p. 53], qu'on aurait pu craindre de ne pas voir réalisées, le sont par le fait même que le nouveau potentiel se trouve égal au

potentiel primitif, fini partout, multiplié par le rapport—^.

Si la région d'application primitive a pour contour un cercle , la nouvelle région d'application sera également limitée intérieurement par un contour circulaire ; car on sait que les transformées, par rayons vecteurs réciproques, d'un cercle ou d'une sphère , sont aussi un cercle ou une sphère, qui dégénèrent en une droite ou un plan quand ces figures ont des points situés à l'infini , c'est-à-dire quand la sphère ou le cercle donnés passent par l'origine.

La nouvelle région d'application serait, au contraire , limitée extérieurement, comme la proposée, si l'origine était prise en dehors de celle-ci ; et le nouveau contour serait circulaire toutes les fois que le contour donné aurait cette forme. Seulement, la nouvelle charge ne se trouverait plus disposée symétriquement à sou intérieur si la première l'était.

Appliquons en particulier la transformation au cas oii, tout étant pareil autour de l'origine, la surface comprimée primitive ttRJ éprouve dans toute son étendue un enfoncement constant, et prenons a= Ri, afin que le contour de cette surface se transforme en lui-même ou ne change pas. La pression primitive pour l'unité d'aire, p, est représentée par la formule (124) [p. 158], En conséquence, la nouvelle pression totale vaudra

Elle égale donc le produit de lapression totale primitive par

mément à {136), des relations (125) et (135j [p. 158 et 165] ; divisés par -^ afin de les rapporter à l'anité de pression totale, ils acquièrent les valeurs :

(pourt' > R,)

Au centre, ou pour t'= o, l'abaissement est„ , ,.■ '^ ■■,- rf—. Il grandii. à partir de là, car le rapport de l'arc (arc sin ^|

à son sinus augmente ; et il se trouve multiplié par ~ au

moment où ï-'^Ri- L'abaissement w' décroît ensuite jusqu'à ■c'='X) , en prenant, sur le reste du flan, c'est-à-dire sur toute la surface directement comprimée, les valeurs qu'il aurait si les pressions appliquées à la surface étaient remplacées par leur résultante statique, c'est-à-dire transportées au centre.

L'abaissement moyen qu'éprouve la partie libre de la

surface , quotient par irRi^ de l'intégrale 2-^ j '/v'xfdx^, se. calcule aisément en observant , après avoir pris comme variable d'intégration 3e rapport -— = a, qae

arc sin» da ^ d[\l — «^ -i- « arc sin « J ;

et il vaut -rr: — n* {~^ — 1 1 tt"- nombre qui se rapproche , TrV[AH-n] V 2 / R,' ^ '^'^

beaucoup plus de la valeur minima de -w', celle qui

correspond il t'=o, que de la valeur sur le bord, relative

àt' = R,.

yGoosle

40. — De certains potentiels, qvd, dans des étendues infinies, sont inverses de la distance à un point donné ou sont même nuls , et de l'emploi de ces derniers pour ecoprimer divers cas d'équilibre de corps soumis , sur une partie restreinte de leur surface , à des actions tangentielles.

En généralj si le potentiel relatif à une certaine masse est constant dans tout un espace à deux ou à trois dimensions entourant l'origine et limité par une certaine ligne ou surface, son transformé par rayons vecteurs réciproques

sera, d'après (136), simplement proportionnel à -^ pour tout l'espace extérieur à la transformée de cette ligne ou de cette surface; et, comme, à d'assez grandes distances /, il tend vers l'expression qu'il aurait si toute la masse était concentrée à l'origine, expression qui a précisément la

M forme —r , sa vraie valeur , en tous les points de la région

extérieure considérée , pourra se calculer dans cette hypothèse, c'est-à-dire, égalera exactement le quotient ^ par la distance t', de la masse transfoi-mée.

Une couche sphérique homogène de rayon Ri, décrite autour de l'origine comme centre , est évidemment à ellemême sa propre transformée, pourvu qu'on prenne Ja ligne a égale à Ri : voilà pourquoi ïa constance , à l'intérieur, de son potentiel, et la proportionnalité de ce potentiel à l'inverse de la distance t , à l'extérieur , sont deux faits corrélatifs, dont l'un entraine l'autre. Il en est autrement pour une couche plane , répartie sur le cercle ^Rj^ d'après la loi qu'exprime la formule (124) [p. 158] : cette couche ne se confondant nullement avec sa transformée, ce sont deux couches différentes qui jouissent, l'une, de la propriété d'avoir, dans son plan, un potentiel constant à l'intérieur du cercle «Ri^, et, l'autre, de la propriété, transformée de la précédente , qui consiste en ce que le

potentiel varie , hors du même cercle , en raison inverse de la distance au centre (').

Une masse dont la forme est celle d'un anneau étroit , décrit autour de l'origine comme centre avec un rayon R = « , se transforme en elle-même par rayons vecteurs réciproques. C'est ce qui explique' l'analogie des deux formules (94) et .(97) trouvées au n" 27 [p. 115 et 116] : chacune des deux n'est que îa transformée de l'autre par rayons vecteurs réciproques.

Mais revenons à la considération de masses dont le

potentiel, aux points qu'elles occupent, soit en raison

inverse de la distance -c à l'origine. La superposition de

deux d'entr'elles , de même valeur absolue M , mais de

signes contraires et de dimensions ou de formes différentes,

donnera, pour tout l'espace extérieur à la fois aux deux

contours respectifs qui les limiteront intérieurement, le

M M potentiel total -^ y ou zéro. A une pareille couche

matérielle fictive; étalée sur un sol élastique , et d'une

(*) Les transformées par l'ayons vecteurs réciproques d'une couche matérielle étalée sur un cercle sont , généralement , d'autres couches minces en forme de ctdotte sphérique. Si la couche proposée est symétrique , ou que la densité par unité d'aire y dépende uniquement de la distance au centre , et si l'on prend ■ successivement pour origine les différents points de la perpendiculaire menée par ce centre à son plan , en attribuant d'ailleurs à la ligne a diverses valeurs , 'es transformées seront évidemment des calottes, présentant tous les degrés d ouverture et toutes les dimensions , dans lesquelles la densité par unité d'aire ne dépendra que de la distance au pôle. On pourra , par exemple , supposé que le potentiel sur toute la surface de la calotte soit donné , en déduire , par la formule (136), le potentiel f— aux différents points de la couche circulaire, et puis tirer , de la formule (a') de M. Beltrami [p. 169] , Tespression de la densité de cette couche ; dloit l'on passera aisément à celle même de la densité aux différents points de la calotte : on aura donc traité, pour celle-ci , le même problème que la formule (oO résout pour le cercle. M. Beltrami vient d'indiquer et de développer cette estension intéressante de sa formule dans un Mémoire intitulé SwMe /M»txioni assoctate et specitUmente su quelle délia calotta sferica (Académie des Sciences (te l'Institut de Bologne, série IV, t. IV; 1883) : il y considère, dans nn plan méridien , non seulement les lignes d'égal potentiel , ou lignes de niveau , mais aussi leurs trajectoires orthogonales (lignes de force) , qu'une ingénieuse analyse lui fait également obtenir.

masse totale nulle, il correspond, par coiiKéquent, des mo'des d'application de pressions normales dP pour lesquels l'abaissement m de la surface s'annule exactement en dehors d'an 'contour donné , quoique leur région d'application s'étende Lien au-delà.

Cette couche fictive est également propre, par son potentiel logarithmique/log {z-*-r) dm ou par les dérivées de celui-ci, à représenter les déplacements u, v, 7V dus à certaines forces p^, py, simplement tangentielles , exercées sur la surface z = oh. l'intérieur du même contour, et ayant les expressions (45 bis) [p. 79]. Si l'on pose, en effet, dans (45 his) , Ci ou tpi =/ log {z -+■ r) dm et 2 = o , en se bornant d'ailleurs aux termes qui contiennent soit œ , soit œ^ , il vient

vée première , en a; on en y, de la fonction ( — , laquelle

s'annule, ici, hors du contour considéré. On pourrait donc être conduit, de la sorte, à des applications simples des seconds et troisièmes types d'intégrales dont il a été parlé soit au numéro 16 [p. 73] , soit aux numéros 17 et 18 [p. 78 et 79'J. D'après la troisième [45) [p. 79] , l'abaissement iv

de la surface, proportionnel à la dérivée -j- qui y vaudrait'

ou zéro ou i - — , serait encore constamment nul à l'extérieur du contour donné, c'est-à-dire, ici, en dehors de la région d'applicalion des actions déformatrices.

40 bis (*). — Calcul général de l'équilibre, dans le cas d'actions tangentielles données et dans celui de pressions obliques quelconques : transmission de ces pressions de la surface à l'intérieur.

Les considérations précédentes nous ramènent naturellement au problème général de l'équilibre de notre corps élastique limité par le plan des xy et soumis sur ce plan à des actions données. Or il y a lieu d'y revenir, pour compléter la solution, laissée inachevée au n° 18 [p. 80], du cas ovl les forces dont il s'agit sont des actions tangentielles quelconques ^i, jOj. Cette solution, que contiennent en germe les formules (45), (45 bis) et (45 ter) [p. 79 etSOJ, aboutit immédiatement , dès qu'on y exprime les deux fonctions œ et <o^ au moyen des seconds potentiels logarithmiques, ^ =/[ — T -\- z log (2-(-r)] dm, de certaines couches fictives /dm étalées sur la région d'application des forces données, de même que le ^emz^r potentiel logarithmique , /log [z H- r) dm , d'une telle couche , a représenté [p. 76 et 77] la fonction ^ relative au cas de pressions normales ^j.

En effet , d'une part , un second potentiel logarithmique •F, tout comme un premier i^.^ a son paramètre i^ nul [p. 60] et n'est pas moins propre , sous ce rapport, à exprimer <f ou çj. D'autre part , sa dérivée première en z étant le premier potentiel logarithmique /log (2 -h r) dm et, par suite, sa

d^"^ fâvn

dérivée suivante, -^, le potentiel ordinaire I — -,13 dé-

rivée troisième -jj a pour valeur , sur la couche même

fdm ou à la limite ^ — o, le produit de — 2 tt par la densité superficielle p (aï, y) de cette couche. On satisfera donc ,

(') Numéro composé on novembre 1882, et inséré dan de l'impression.

identiquement, aux équations (45 ter) [p. 80], en prenant respectivement , pour ^ et tp , , les potentiels logarithmiques T de deux couches matérielles fictives étalées sur le plan des xp et ayant comme densités superficielles p {ce , p) les

valeurs connues (pour z = o) des deux fonctions -7^ -h —^ ,

dpx dp

~ — -7^. Or le premier de ces potentiels est évidemment

la somme de deux , relatifs à des couches dont les densités

seraient -v^ et -r^. De plus, celui des deux oîi la densité

dm dy L 1

est -—- égale la dérivée en x du potentiel analogue w d'une

couche qui aurait la densité ??i; car il est presque évident, comme on l'a reconnu en démontrant la relation (34) [p. 69], que tout potentiel , ou môme toute intégrale de la forme ff{r, z) dm , se rapportant à une matière /rfm étalée sur le plan des xy , se difïerentie par rapport k œ o\xky en différentiant simplement, sous le signe/, la densité p [xi, yi) de la couche par rapport à la coordonnée correspondante Xi ou

yi. De même , le potentiel de la couche de densité —^ sera

la dérivée en y du potentiel "F d'une autre couche ayant la densité py. Et l'on décomposera pareillement le potentiel ^

de la couche de densité ^7— 7^.

dy dx

En résumé , si dm' et dm" sont les deux composantes données^3;(^'7,^„rf(r, suivant lésa; et suivant les ^, de la force tangentiolle extérieure s'exerçant sur chaque élément da de la surface ^ = 0 du corps , et si 'F^, , 'F^ sont les deux potentiels

W -f^^/C— r + 3log(î+r)]^', ■^^^f{—T^z\o^[z + T)'\dm;%

OÙ r désigne la distance du point quelconque [x, y, z) à un point (^1 , y^) de l'élément d-^ , les équations (45 ter) conduiront à poser

ï^Tj, d'y y dw^ dVy

dw d^ ' dy dm '

Portons ces valeurs de ^ et de <pi dans les formules (45 lis) , et, en effectuant les dilFéreiitiations , puis remplaçant

/ ^3 ff* \ d"^

(ïï- -^ ^j '''■' ""^ "'■'' P"' - ÏT CV «11 '»',) , il tiendra la formule triple

A la limite 2 = 0. elle donne bien pour p^., p^, p^ les trois

expressions désirées — -^ t^ {^^x . %, o).

Enfin , les conditions spéciales (3) [p . 53} , concernant les points situés aux grandes distances t de l'origine , et en vertu desquelles les déplacements «s , îî , m doivent y être comparables à l'inverse de t, se trouvent, également vérifiées , quand on porte dans les formules (45) àe u, i>, w les valeurs (a') de ^ et de Mj. Car W^ et W^ sont j d'après (a), des intégrales dont l'élément a ses dérivées premières en w et en y algébriques et du degré zéro par rapport à a; — x,, V — y^-, ^) '''■ Donc, les expressions (a') de y et de «çi sont, sous les signes /, homogènes et de ce degré zéro , par rapport aux mêmes variables : d'où il suit que les expressions (45) de î(, «, TO présentent encore une homogénéité analogue , mais du degré — 1 , tout comme leurs expressions (43) relatives . au cas de pressions normales fdm ou JdS exercées sur la surface. Elles deviennent donc, pareillement, de l'ordre de — aux grandes distances t, pourvu

que la région d'application des forces s'excerçaut sur la surface soit limitée, comme on le suppose.

On remarquera même que ces valeurs (45) de m, v^ 7û ne contiendront, sous le signe/, aucune fonction transcendante, pas plus que les valeurs encore moins complexes (43).

Ainsi, la solution delà question posée, relative au cas d'actions tangentielleS âm' , dm" appliquées suivant les x et les y à la surface du corps , est donnée par les formules (45) et ([3} , où f et (fi , y^, et ^K^ ont les expressions («') et (a). Il suffira, comme on a vu [p. 80], de superposer ceLte solution à celle que contiennent les relations (40) à (43) [p. 76) , pour avoir les formules qui résolvent le problème général de l'équilibre d'un corps se terminant à une surface plane indéfinie et sollicité sur cette surface par des actions quelconques (').

La formule triple (40) [p. 75], un peu plus simple que (p), lui devient analogue quand on l'écrit ainsi

(*] Ce problème, dont j'avais, en 1878 et 1879, amené la eolution au point iniiiquê dans le § II ci-dessus, comme il résulte de mes notes insérées à cette époque dans les Cornftes-Renéus de l'Académie des Sciences , vient d'être traité par M. ValenIJno Gerniti , professeur de mécanique rationnelle à l'Université de Rome , dans un mémoire intitulé Ricerche intorno aW equiUbrio dé corpi elastici isotropi (Reale Accademia dei lincei., vol. XIII ; anno 1881-1882). Ce savant analyste l'a résolu par une voie beaucoup plus loi^ue que celle que j'ai suivie , savoir , en appliquant une méthode d'intégration des équations de l'équilibre d'élasticité indiquée par le professeur Betti {teoria deW eîasticità, daais les tomes Vil, VIII et IX, 2' série, du Nuovo C'imenfo), et qui consiste à déterminer d'abord , en jonction de a;, )/, s, !a dilatation cubique 6 et les trois roîalions

moyennes 4" [t' ~ 3") ' T (^ ~ 1^) ' T [t ~ d^r ^°'" ^^ '^^'^"'''^ ensuite les déplacements », v, ic. L'idée de compléter, par l'emploi des seconds potentiels logarithmiques , ma solution , restée inachevée jusque là , du cas oii des forces tangentielles quelconques agissent sur la surface , m'est venue justement en voyant paraître , dans certaines formules de M. Cerruli {p. 38 de son mémoire) , des fonctions de la nature de ces potentiels , dont j'avais reconnu l'existence dès 1879 , et dont j'avais même., dans ma note , publiée en 1881 , de l'édition française du Traité de l'élasticité de Clebsck (p. 401, form. 38 bis), fait l'usage qu'on verra au n" 62 ci-aprfea. Les relations (43), d'une part, (45), (ï) et (■'), d'autre part, contiennent d'ailleurs, groupés de la manière la plus naturelle, tous les éléments des forjnules générales (58) et (K)) de M. Cerruti, qui expriment avec des notations différentes le résultat do la superposition (43) et (45).

et surtout quand on y remplace ^ par ~ , en posant , pareillement à («) ,

(P") 1^» ^/[-'- -^ " lo? (^ -^ -■)] <^™-

Alors la superposition des valeurs (p) et (p') de ^^, p^, p^ doç-ne, pour le cas où chaque élément da de la surface supporte une pression oblique ayant , comme composantes suivant les x, les y et les z, dm', dm" et dm, les trois formules très symétriques ,

1 (f3(Tj^,Tj„'Kj) z d l3?-^:r, dHy d^'r^\ (v) [P^, Ps> pA — — -^ ^3 '^ '^ d[is,i/,z)\^h^~^ ^z^~^~^j

elles expriment les pressions transmises, à partir de la surface , sur l'unité d'aire des couches qui lui sont parallèles.

Supposons , comme nous l'avons fait au n" 25 [p. 104) dans le eus d'une simple pression normale , que les potentiels se réduisent à un seul de leurs éléments, ou les forces extérieures sollicitant la surface à celle que supporte l'élément, d'^ , de celle-ci, situé à l'origine des coordonnées. Nous aurons évidemment

(dm', dm", dm)

^'K,C d^fy rf^Tî

Wî^ dydz^ dz^

et il viendra d'abord

z d Ixdm' ■+■ ydm" h- zdrii\

Enfin, une différenHation de plus donnera

Gomme sont les trois cosinus directeurs du rayon r

émané de l'origine, on voit que la pression exercée par unité d'aire, en [x, y, z), sur un élément plan parallèle à la surface, pression dont jiit tf^if^ désignent les trois composantes suivant les axes , est dirigée précisément dans le sens de ce rayon , et qu'elle a pour valeur

"^^ ! ^ , . y , „ ^ , \ - — - — dm -t- — - dm" -+- — dm. ] , xr-r^ \ r T ri'

OÙ le trinôme entre parenthèses exprime évidemment la projection , sur ce même rayon r , de la force donnée , définie par ses trois composantes dm' , dm", dm. On peut donc énoncer la loi suivante : Touie actiofi extérieure exercée en. un point de la surface d^un solide se transmet à l'intérieur, sur les couches matérielles parallèles à la surface, sous la forme de pressims dirigées exactement à l'opposé de ce point, et qui égalent , pour l'unité d'aire, le produit du coef/icient

— par la composante, suivant leur propre sens, de la force

extérieure donnée, par l'inverse du carré de la distance r au même point d'application et par le rapport de la profondeur z de la couche à cette distance r.

Telle est la loi générale dans laquelle se trouve comprise celle qu'expriment les formules 83 bis du n'*25 [p. 104] et qui concerne le cas où l'on a dm' = o, dm" = o, dm = dP.

11 est aisé de vérifier que la pression extérieure donnée se transmet intégralement d'une couche à la suivante, ou, autrement dit, que les trois composantes totales, /{p^ , py , p^) drr, de l'action supportée par toute la surface T d'une couche quelconque, ont respectivement les valeurs dm', dm", dm. Substituons, en effet, dans ces intégrales,

à piç, Py,Pi leurs valeurs (y') , et observons que les termes contenant a; ou y au premier degré donnent des éléments désignes contraires qui s'entre-détruisent. Il vient, pour les trois composantes , les produits respectifs de dm', dm",

(ïm. par les trois intégrales -— 1 -^-.-^ / ~,-k- l — ^.

Or les deux premières de celles-ci sont évidemment égales entre elles , et moitié de leur somme

en sorte qu'il suffit de vérifier si les deux intégrales

— I — — « -S" et 77- I -z- ont pour valeur runite. L'est 4:T.f \r^ r^ / 2Tr y r^

ce qu'on fait sans difficulté , en prenant comme élément de

la surface <r une couronne élémentaire 2T^Rt?R = ^T^rdr , où

le rayon intérieur R égale /r^ — d^. puis en intégrant de r = z àr — ce; ce qui revient bien à faire varier R de zéro à l'infini.

Parmi les conséquences qu'on peut tirer des formules (45) deu, D , tv, je me contenterai de signaler la suivante. Imaginons qu'on n'ait appliqué à la surface de notre corps, supposé être , pour fixer les idées , un sol élastique , qu'une action tangentielle (fT, s'exerçant suivant l'axe des x sur un élément d^ situé à l'origine ; et proposons-nous d'étudier la forme prise par îa surface du corps, alors qu'elle a acquis de petites ordonnées w. Les données de la question seront

l Y^= d'F [— r^-dog(s-Hr)], Tj = o, »■ = \/'»'- -^ y^ + 2^ ,

j ^ = ^ = — dT ^- ■

( ■ dx s-t-r

et l'expression (45) de w , spécifiée pour z~ o, deviendra

4u[X+^) dz 4^{l^y.)[,

yGoosle

Ainsi , la surface libre déformée aura sensiblement pour équation

On remarquera : 1° que chaque circonférence, de rayon r, décrite sur la surface autour du point d'application de la force d'Y! comme centre, reste tout entière, après les déformations, dans un même plan, qui a seulement tourné, 'autour du diamètre perpendiculaire à la force dT ,

d'un petit angle — ~ — — r -— - inversement proportion-

^ ^ a; 4ic (X -H |a) r^ r r

nel au carré du rayon r ; 2° que les lignes de niveau , z = const. , de la surface déformée ont pour équation

— = const., et qu'elles sont, en projection sur leur

p'ian primitif, des cercles menés par l'origine et ayant leurs centres sur la droite d'application de la force ou droite le long de laquelle la force est dirigée; 3" que, par suite, les lignes de plus grande ponte de cette même surface sont, toujours en projection sur son plan primitif,

les cercles analogues ■■■ -- = const., mais dont les centres

se trouvent sur l'axe des y perpendiculaire à la force. La ligne même d'application de la force joue, du côté des a: positifs, le rôle de ligne de thalweg, et, du côté des x négatifs, celui de ligne de faîte {') ; car toutes celles de plus grande pente, parties du sommet dont les coordonnées sont ^ = un infiniment petit négatif — e , y = o , se détachent asymptotiquement , en descendant, du plan des zx, du côté des X négatifs , pour tourner ensuite de 360" (en projection horizontale) et venir se raccorder asymptotiquement au plan des ziV du côté des ce positifs , en se terminant dans \e fond X =^ t, y = 0.

(*) II faut so souvenir que l'axe des s est dirigé vers le bas , de sorto que les parties de la surface à ordoiinéos z positives sont des creux et les parties à ordonnées négatives des renflements.

4Î . — Défaut de proporltonnalûé de la pression à renfoncement, auo} divers points de toute région d'application liinztée.

Plaçons ici une remarque générale, à laquelle conduîsent tous les résultats des n"^ précédents.

Dans aucun des modes de répartition de pressions extérieures normales que nous avons considérés , la pression exercée par unité d'aire aux divers points de la surface n'a été trouvée proportionnelle, même d'une manière approximative , à l'abaissement m produit au même endroit. Par exemple, pour une répartition uniforme des pressions, nous avons eu (p. 140) des abaissements décroissant , du centre au bord , dans le rapport de 8 à 5 environ. Pour le cas (réciproque), d'un enfoncement uniforme , la pression exercée sur l'unité de surface , représentée par la formule (124) [p. 158], agrandi du centre au contour dans la

proportion de ^-v.- à oo , bien plus grande encore. Et quand on admet que la pression décroit paraboliquement depuis le centré jusqu'au bord, où elle s'annule, l'abaissement iv décroît aussi , mais seulement dans le rapport de 3ti à 4 (p. 151) , ou de 12 à 5 environ, non jusqu'à zéro.

Le défaut de proportionnalité , entre la pression exercée en cbaque endroit et l'abaissement w que la surface y éprouve . se présente nécessairement toutes les fois que la région d'application est limitée , comme nous l'avons admis; car la proportionnalité exigerait que w s'annulât hors de cette région, de même que s'y annule la pression extérieure p^, tandis que la formule (84) [p. 109], fait décroître , au contraire , m graduellement et assez lentement, à mesure qu'on s'éloigne de la région d'application.

Ainsi , des pressions (ou tractions) données, ^exerçant sur un sol ou sur la surface iPun corps à VinUrwur d'une aire définie^ sont loin d'imprimer à leurs points d'application des 'déplacements ayant entr'emi), aux divers endroits, les ',

rapports que ces pressiom (ou tractions) , contrairement à une hypothèse que l'on fait quelquefois.

Même avec ies niodes d'application, indiqués aux n"' 39 et 40 , où la région directement comprimée s'étend jusqu'à l'infini, une proportionnalité approximative entre ^^ et w n'existe , ni sur cette région (vu qu'on y a généralement ff)) (Z <T = co tandis que / p^ dij est finie) , ni sur la partie restée libre , où ^^ = o alors que m y prend des valeurs très notables.

42. — Recherche de cas où les pressions exté?ieures , nulles en fnoyenne et appliquées à imite la surface , produisent des abaissements quileur soient partout proportionnels.

Les abaissements w ne sauraient donc être proportionnels aux pressions p^on. p, que dans certains des cas où ceUes-ci s'exerceraient sur tout le plan des œp , c'est-à-dire sur toute la surface du corps , indéfinie par hypothèse. D'ailleurs , notre analyse , où les déplacements sont supposés nuls pour z infini , ne s'étend à de pareils cas que lorsqu'on y admet que les pressions p^ , positives en certains points, négatives en d'autres, ont leur valeur moyenne nulle. Sans cela, le corps ou le sol considéré, soumis à des pressions p^ sensibles dans toutes ses couches parallèles au plan des xî/, éprouverait en tous ses points des contractions — 5 j finies, aussi grandes en moyenne pour les couches profondes que pour les couches superficielles; et les enfoncements îî! à la surface seraient infinis, comme la profondeur que nous attribuons au corps. La formule (84) [p. 109] montre même que w croît sans limite, quand on suppose qu'une pression ^^ ou p , constante et finie par unité d'aire, . s'exerce sur une simple hande, de largeur donnée, comprise entre deux parallèles aux a?, et dont on fait grandir indéfiniment la longueur : en effet, îe potentiel relatif à une droite homogène s'exprime par un logarithme, qui devient infini en même temps que la droite eUe-même.

Pour trouver les modes les plus simples de répartition , sur le plan des ayy^ de pressions f^ nulles en moyenne et aptes à produire des abaissements w qui leur soient partout proportionnels , revenons aux trois types généraux d'intégrales que nous avons obtenus dans les numéros 14 et 16, En appelant -j^ une fonction continue de x^ y, z, dont le paramètre différentiel , \^, soit identiquement nul , ou

tel qu'on ait A^ (^ ijj) = 2 -^ , et en désignant par i/ sa

dérivée—, nous avons reconmi que les équations indéfinies de l'équilibre du corps sont vérifiées par les trois expressions suivantes de u, v, w, 6 :

' di^' di^' dzi/ X-i-2ii. , 2 [j. (/^'

(fo ' (/y ' dz X -(- |i ' X-i-|j. dz

d^ dy '

d-if dy '

D'ailleurs, les valeurs (2) [p. 52] de^^j^^,^,, pour ces trois sortes d'expressions, deviennent respectivement :

dy d'ji'

Toutes les fois qu'on donne à <[' des valeurs qui j pour

i; = 0, restent finies ainsi f[ue leurs deux premières dérivées en z, et dont la dérivée troisième en f, multipliée par z . tend vers zéro ù cette limite, les premières formules ( 138 Ma) se réduisent , pour ^ = o , à celles-ci .

Et l'on obtient : 1" des intégruies propres -au cas où la surface ue supporte que tles pressions normales ^^, en ajoutant ensemble les premières et les secondes . expressions (138) deu, V, iv , respectivement multipliées par 1 et par

7 — - ; 2" des intégrales propres , au contraire , au cas où la

surface ne supporte que des actions tangentielles ^^ , ^^ , en ajoutant encore ces premières et secondes expressions (138) ie u, v,w, mais respectivement multipliées par 1. et

par ■ — --- , puis en superposant aux résultais une intégrale de la troisième forme (138). Dans le premier de ces cas, où^j, aipy s'annulent pour 2 = 0, les expressions de-w et de p^ deviennent , à la surface :

Observons que, dans ce même eus, la diliitation cubir(ue 8.

<'\lMiiiu'. , d'après (138), par, — ~-j-7 ^"^t toujours propor-

lioniip]!'^, en c^aqji^ pQ;int delà surface, a la valeur (139) de'la'pié'ssion extérieuré-^î'.'Uiie'^jWHionnalité analogue, de pi à H pour z = o. subsiste aussi dans le type simple d'intégrales auquel correspondent les premières formules ( 138) et ( 138 bis] ; et les valeurs deîi,v s'y annulent pour z~o, en sorte que les déplacements produits à la surface lui sont

- \Wi -

perpendiculaires. Ces di^-ers laitsj signalés plus haut [p. 77 et 68], s'étendent, comme il était évident, à toutes les formes possibles de la fonction i\i.

43 — Valeurs de to et de pi dans ces cas. — Uapidité avec laquelle les effets des pressions s'y évanouissent à quelque distance de la surface.

Rappeloias que notre but actuel est de former des ox:pressions de 4' pour lesquelles p^ et w, à la surface z = o, soient partout proportionnels. Or il suffit, pour cela, de poser, dans les formules (139) ,

œ désignant une constante positive et / une fonction de x et y telle , qu'on ait i^ | = o ou

Kn effet, l'expression (140) île y. portée dans (139), donnera

(141 bis) (pour f = o; p^ ^ 2 \i. 'j^ ■/ (œ, f\, « = x {^r y] \,

de sorte que. sur toute'î'é'teiidSie de la surface, le rapport de w iip, aura la valeuïr^fts^iiteç^i^pf^ - .^.jp^^^.jc^^eîî^proportionnelle il la quantité a.

On prendra , par exemple ,

(142) X = <^ C03 (mx ^ m^) cos («^ -h «^ ,

yGoosle

c^Mi, Ml étant IroÎH constantes arbitraires , etw-, hideux consentes liées à a par la relation

La valeur de ^^ et l'équation de la surface devenue légèrement courbe sont alors, d'après (141 h'is):

On voit que 2h ^L f' changent simplement de signe quand mw ou ny croissent de r. : ainsi ces deux fonctions de x et de y sont périodiques et ont bien leurs valeurs moyennes nuUes.

Les tractions exercées sur les parties convexes de la surface et les pressions exercées sur les parties concaves se neutralisent très sensiblement, quant aux effets qu'elles produisent à une certaine profondeur t ; car les expressions générales de u, v,w , formées avec les dérivées premières de A et de z^' , se composent de termes contenant en facteur , les uns , l'exponentielle e'"^, d'autant plus rapidement décroissante que les concamérations de la surface onl- moins de longueur et de largeur ou que le paramètre a = V m^ -;- 1^ est plus grand , les autres , l'expression aje'"', quij maxima pour «^ = 1 , décroît ensuite presque aussi rapidement que e"".

Par exemple , dans le cas le plus simple , alors qu'on a

ou que la surface se couvre de convexités et de sillons parallèles d'une longueur' infime, à coupe sinusoïdale et d'une largeur donnée L (mesurée de crête en creux), l'ex-

ponentielle e'^ devient e'^' ^- A une prolbndeur ^ valant seulement la largeur, L d'un sillon simple, elle se réduit à la fraction ë'" = 0,04321 de la valeur qu'elle présente à la surface. A une profondeur double, ou égale à la largeur 2L d'un sillon complet, mesurée de crête en crête, cette exponentielle se réduit à e"^ t= 0,001867, c'est-à-dire qu'elle est , dès lors , à peu près insenslBle. L'expression

oLze"^, ou 71 Y" ^''"^ , le devient à son tour pour z = 31j, car elle n'est plus alors que la fraction S-^e^'^'^ t= 0,002068 de sa valeur maxima f''. Par suite, tous les effets des pressions exercées à la surface peuvent être censés nuls aux profondeurs plus grandes que 3L.

C'est donc avec une extrême rapidité que s'évanouissent , dans les cas considérés ici , les déformations et les déplacements caiisés par des forces se faisant statiquement équilibre, dès qu'on s'éloigne de leur région d'application.

43 bis ["]. -^ Auire cas m les pressions extérieures, généralement obliques , sont encore nulles en moyenne , fnais dans lequel les déplacements à la surface ne diffèrent de zéro qu'à l'intérieur de régions limitées. — Type général d'intégrales qui comprend tous ceux qu'on a considérés pîws haut , et d'où se déduisent imrnédiatem.ent des formules remarquables de . M. Cerrud.

11 existe évidemment une infinité de cas où des pressions, généralement obliques, sollicitant la surface ^ = o du corps se font équilibre à elles seules ; et , si l'on n'y astreint pas les. abaissements m à varier, comme tout à l'heure , proportionnellement aux composantes normales ^j, la région

(*) Numéro eompiiao on novembre 1882 fit inséi'é tlan« lu méinoivo au momoiit (lo l'impression.

d'application de ces pressions peut être limitée en tous sens , soit d'une manière rigoureuse , quand toutes ces forces s'exercent à l'intérieur d'un contour donné, soit d'une manière aussi approchée qu'on le veut , quand leur ensemble, en quelque sorte , occupe une étendue fmie, et qu'uïfe fraction infiniment petite d'entre elles, seule, agit en des points infiniment éloignés.

Le dernier cas comprend celui où la surface est maintenue fixe , à l'exception d'une partie , bornée en tous sens , à laquelle on suppose imprimés des déplacements M , -y , w connus. Autrement dit , l'on se donne en a; et 3/ , sur toute la surface z= 0, non plus les pressions p^, Py, p^, mais les déplacements u, v, w, sous la forme de trois fonctions , arbitraires pour certains endroits , nulles pour tous les autres. C'est un des problèmes d'équilibre posés au n" 10 (p. 52) , et oij. sont encore vérifiées les conditions spéciales (3) [p. 53], qui expriment l'évanouissement asymptotique des phénomènes aux très grandes distances x. de l'origiue. On peut même affirmer d'avance que les u ,v ,m j seront ,

par rapport à — , d'un ordre de petitesse supérieur au premier. En effet, les actions extérieures inconnues P^} Pn) Pt 'l'ii produiront, sur les 'parties -mobiles de la surface s-~ 0, les déplacements, donnés m , v , tv , tendront k entraîner bien plus tôt et bien plus les parties ad|acentes, maintenues fixes , où l'on a.u = o^v = o,w = o, que la surface convexe de la demi-sphère d'un rayon très grand t décrite dans le corps autour de l'origine comme centre; d'où il suit que ces forces seront tenues en équilibre , non par des résistances immobilisant les régions du corps infiniment éloignées , où leur action n'arrivera même pas , mais par celles qui s'opposeront à tout déplacement des points de la surface z = 0 situés dans le voisinage et jusqu'à des distances plus ou moins grandes de ses parties mobiles. L'action totale exercée sur la surface convexe de la demisphère de rayon i tendra donc vers zéro pour t très grand :

et les raisonnements |p. 53] qui ont conduit aux relations (3) , montreront que ces relations , non seulement subsistent, mais sont même vérifiées avec des valeurs infiniment petites de A, ki et ^2. Par suite, la démonstration donnée au n° 11 [p. 54] ne cessera pas de s'appliquer et prouvera que la question est complètement déterminée.

Les expressions générales de w , v ,w qui résolvent ce problème d'équilibre ont été trouvées par M. Valent. Cerruti ('). Mais on y arrive beaucoup plus simplement par le procédé du n" 13 ci-dessus |p. 62]. Il suffit d'observer- , d'après les relations (20) de ce n" 13 (où | peut être remplacé par une autre lettre ^l») , que, si * et a, ji, -; désignent quatre fonctions de x, y, z ayant leurs paramètres A^ nuls , les trois équations indéfinies (1) de l'équilibre [p. 51] seront identiquement satisfaites en posant

dœ ' (/y ' dz ' l-f-ii. de '

pourvu que la condition

qui définit la dilatation cubique 8, soit vérifiée. Or, avec les valeurs (e) do u, v, w , 9 , cette condition devient , vu

l'égafite Aj (ï^*) = 2 -z- ,

Observons, en passant , que la solution ainsi obtenue , (e), des équations (1) , comprend toutes celles dont nous nous sommes servi. En effet, nous en avons tiré notre premier

(*) Dans le mémoirn (p. 19 à 27} cité à la p. 185 ci-dessus , et par la méthode du ProfeMeur Betti indiquée.

l-t-'iu.

type [p. 63 à 68], en prenant « = o, 3 == o, y = 2 j^^ *i> et en choisissant pour * la dérivée par rapport à z d'une fonction -Jj dont le ij soit nul. Or , nos second et troisième types [p. 72 et 73] s'en déduisent tout aussi aisément , savoir, en posant <1» — o , puis en prenant , dans le deuxième type , « , P , ■;' égaux aux trois dérivées enx,i/ , z d'une fonction qui ait son paramètre Aj égal à zéro et , dans le troisième

type . « = — -^jp=--^,Y = o, ou (pi désigne encore une

fonction dont le ia s'annule. Par suite, toute superposition d'intégrales empruntées aux. trois types donne encore une solution rentrant dans les formules (e) et (e').

Pour en tirer également les valeurs de «, î! , m qui conviennent au problème actuel , effectuons , dans (e) , les trois difTérentiations de z * par rapport à « , y ,z. Remplaçons ensuite, tant dans la troisième (s) que dans {%'), la différence T — * P3ï" ^"-6 nouvelle fonction y, qui ne sera évidemment tenue , comme la précédente y, c[ue d'a^'oir son Aj nul et de satisfaire à la condition transformée de (/}. Il viendra

3f. * A ifi -11. dz ih dy

,1; ' dt

Enfm, prenons pour «, S, y les dérivées premières, par rapport à ^, de trois fonctions U , V, W dont les A^ soient nuls ; ce qui , vu la quatrième (Ç) , conduira à poser

' X-i-3|. \ dis ^

et

nous aurons la formule triple

, ii(n,v,w) J+

dY d-w\

d,j^ dzl

A la limite j =^ o , et supposé- que les fonctions U. V, W aient alors leurs dérivées iinios, cette solution des équations indéfinies (1) de l'équilibre devient

n {pour.

Ainsi, les valeurs de u, v, w à la surface ne diffèrent pas des dérivées premières , par rapport à z , des trois fonctions U, T, W.

Or, si l'on conçoit étalées , sur la surface 2 = 0, trois couclies matérielles fictives, /dm'-, fàm", /dm , qui aient leurs densités superficielles respectivement égales aux quotients, par — %<:, des trois fonctions données exprimant les valeurs de « , v , m à la surface , et si l'on prend leurs

potentiels ordinaires f — , f — , f — , on sait que la

dérivée en ^de ces trois potentiels vaudra, à la limite 2=0, les produits de — 2it par leurs densités , c'est-à-dire justement les trois fonctions connues de ;», ^. Et comme ces potentiels ont bien, d'ailleurs, leurs paramètres ij nuls dans tout l'intérieur du corps , on se trouvera satisfaire aux équations indéfinies , ainsi qu'aux conditions spéciales à la surface ^'^ ~ 0, en posant, dans (C) ■

De plus , les expressions de u, v, iv ainsi formées seront , sous les signes f, homogènes , du degré — 2 , par rapport au rayon r ou à ses trois projections x — Xi, y — j'„ z sui' les axes ; et par suite , aux ti-ès grandes distances -c de

l'origine, elles deviendront de l'ordre de -r- Ainsi, les

conditions (3) [p. 53] seront vérifiées comme les autres , et même avec ^ , ^^ et ^ infiniment petits , ainsi qu'il devait arriver.

Doue, les formules (C),.^' l'*'*^ y attribue à U, V, W les \-aleurs (r,), constituent bien la solution cliercliée (*).

Ce résultat , rapproché de ceuS des tl"^ 17, 18 et (40 Ins) , nous permet de conclure par la loi suivante :

Lorsqu'un solide élasHqite, homogène et isotrope, limité d'un côiépar mi flan et indéfini dans tous les autres sens, est soumis' sur ce plan à différentes actions ou y éprouve des déplacements .connus i tandis que ses parties infiniment éloignées restent fixes , ses petits déplacements d'équilibre u, V, re sont représentés par les formules (s), dans lasquelles les quatre ' fonctions a , fi , y , 4> s'expriment au moyen de potentiels , soit ordinaires , soit logarithmiques, de coucAes minces /dm étalées sur le plan et ayant pour densités superficielles f à un facteur numérique près, les composantes de déplacement ou de pression aux mêmes endroits , données dans chaque cas. Les potentiels dont il s'agit sont: P ordinaires, c'est-à-dire -de la forme

j — '- , quand on connaît les déplacements produits à la

surface; 2° logarithmiques de la forme / log (z -^ r) dm , quand ce sont des pressions extérieures normales p^ que l'on s'y donne; 3" logarithmiques de la forme / [ — r I- r log [^ -*~r)'\ dm , quand les actions connues , exercées à la surface., se réduisent, au contraire, à leurs composantes tangentidks p^ , Py.

{*) Ce sont, sauf la différence des notations, colles qui poitunt lo ii" -'il dans le liiéinoii'e cité de M. Cerrutï (p. 23).