QUE CELLES DE LA ZONE TOUCHEE

44. — Coup d'œû général sur le problème consistant à déterminer le mode de distribution des charges d'après la position ainsi que la grandeur de leur résultante , et d'après la forme que prend la surface comprimée.

Nous avons vu au § précédent comment se caiculent la forme et la position que reçoit une partie , primitivement plane, de la surface d'un corps élastique tel qu'un sol horizontal, quand on exerce sur cette partie de surface des pressions ou tractions normales dont on connaît la somme et le mode de distribution. Cette position et cette forme sont paifaitement définies au moyen des nouvelles ordonnées w de la surface. Le problème inverse consisterait à se donner, au contraire, les abaissements w produits aux divers points de la régioi^ d'application, supposée connue, où doivent s'exercer des pressions normales, et à évaluer celles-ci. 11 a été démontré au n" 11 (p. 54) que cette nouvelle question est complètement déterminée comme la première, vu qu'on est libre de se donner, suo' des parties définies qtcelconques de la surface, u au lieu de p^ , v au lieu de p^ , w au lieu de ^3.

Oa peut en conclure , par exemple , que la surface comprimée 5 primitivement plane , du corps ou sol élastique , n'éprouve dans toute son étendue les abaissements représentés par l'une quelconque des expressions de m obtenues au § précédent , que pour la valeur totale et la distribution particulière des pressions extérieures qui y ont été admises.

D'ailleurs, se donner les valeurs de m sur toute la surface comprimée, c'est se donner à la fois : 1° le déplacement vertical de l'un de ses points, comme, par exemple, l'enfonceinent ïy„.éprouvé par son centre de gravité ; 2" et, de plus, l'excédent w„ — w, lequel définit la fomie, ainsi que l'orientation (ou mieux les deux inclinaisons suivant les x et les y), prises par la surface.

Imaginons actuellement que l'on connaisse , d'une part , la grandeur P de la pression totale, d'autre part, la forme et les inclinaisons que doit rei avoir la surface comprimée, c'est-à-dire l'excès (positif ou négatif) , )p„ — m , de l'abaissement du centre sur celui de tout autre point , et que l'on demande le mode de distribution de la pression P, ainsi que l'enfoncement w du centre.

On cherchera d'abord quelles pressions p^ , positives ou négatives , produiraient , aux divers points de la région d'application donnée, des abaissements égaux km — ra, , ou donneraient à toute la surface comprimée la forme et les pentes voulues, sans en déplacer le centre; problème déterminé, comme on vient de voir. Soit P„ la somme des pressions ainsi définies. En retranchant de la force totale donnée P cette somme P^, on sera évidemment ramené, vu la forme linéaire des équations , à chercher quel est renfoncement 'iv„ , supposé constant sur toute la région d'appUcatmn, que produit une pression P — P» connue en grandeur, ou, end'autres termes, comment doit se distribuer cette force en excédent P — P^ , pour que l'enfoncement w^ qui en résulte soit constant dans toute l'étendue de la région d'application. Or, ce nouveau problème, plus simple ipe le proposé , se trouve également déterminé par

le fait même qu'il l'est dans le cas inverse où l'on connaît l'enfoncement constant w = vc,, et où l'on cherche P — P„. En effet., vu encore la forme linéaire des équations , les déplacements Mj îî, w en tous les points du. corps élastique, ainsi que leurs dérivées et, par suite, les valeurs de f^, py, p^, varieront partout dans un même rapport quelconque, si l'on fait grandir ou décroître dans ce rapport l'expression de m sur la partie de la surface où on se la doime , c'est-àdire , si l'on fait varier arbitrairement iv^. Donc , la pression totale exercée est simplement proportionnelle à to„, et il n'y a ({u'une valeur de ra„ , pour laquelle cette pression égale P — Po- On peut même remarquer qu'elle est toujours appliquée en un même point de la surface, puisqu'elle résulte de forces parallèles, p^. par unité d'aire, qui conservent sans cesse leurs rapports ^

En résumé, qvM/n on connaît la forme et tes incUnaisons que doit prendre la surface comprimée, avec la grandeur de la pression totale exercée, le problème n'admet toujours qti'iine solution; et il se dédouble en deuxplus simples, dans chacun desquels on se donnerait les abaissements éprouvés par chaque point de la région d'application.

Enfin, compliquant encore le problème, donnons-nous la fonne que doit prendre la sixrface comprimée, mais supposons son orientation inconnue comme le déplacement w^, de son centre de gravité, et, par contre, admettons que l'on connaisse, en position autant qu'en grandeur, la pression résultante P exercée sur.la surface. Alors, les petites ordonnées, îî;,prisespar la surface, se composeront: 1° d'une partie définissant sa forme et connue en fonction de ic et y ; 2" de l'abaissement inconnu w,, imprimé à son centre de gravité ; 3" et 4", de deux termes, ayant respectivement les formes ay, bco quand on choisit pour origine la situation primitive de ce centre , et qui correspondent à deux petites rotations a et S, également inconnues, éprouvées par la surface autour des deux axes des x et des y. Quant à la rotation pareille qui peut aussi se produire autour de l'axe primitive-

ment normal des z, comme elle ne fait que transporter les ordonnées w un peu à côté de leurs positions premières,par un mouvement perpendiculaire à leur direction, elle ne modifie que dans un rapport négligeable la grandeur de celle qui se trouve, avant et après, correspondre à un même point du plan des œ y : par suite , elle n'influe pas d'une manière sensible sur l'équation de la surface.

Cela posé , la première partie de îw, celle qui est toute connue ou ne dépend que de la nouvelle forme prise par la surface comprimée, exigerait comme précédemment, pour se produire, c'est-à-dire dans le cas où îy s'y réduirait, les pressions pt dont il a été parlé tout à l'beure, et qui ont une résultante, P», complètement déterminée, tant en position qu'en grandeur. Si donc on défalque cette résultante de l'a pression donnée P, ou, autrement dit , si l'on cherche quelle pression normale P — P„, définie aussi en grandeur et en position , il faut composer avec ?„ pour avoir la force totale donnée P. le problème se réduira, vu le principe de la superposition des petits effets , à disposer de cette pression en excédent P — P„ de manière à produire sur la région comprimée,' .supposée plane, des déplacements w de la forme linéaire ??;„ -+- ay -+- bx.

Or, nous venons de voir que des déplacements égaux au •terme w^ exigent , pour avoir lieu sur toute l'étendue de la région d'application, une pression normale appliquée en un certain point consianè de la surface et proportionnelle au coefficient -Wo de ce terme. Pour la-mème raison , ay et hœ étant simplement proportionnels aux coefficients «etJ, des déplacements w qui seraient soit de la forme ay, soit de la forme bœ, ne pourraient se produire que pour des pressions p^ partout proportionnelles soit à a , soit à ^ et ayant, par suite, des résultantes eu raison directe aussi de a ou de b et appliquées à deu^ certains points fixes de la surface. Et puisque la superposition des trois systèmes de déformations qui correspondent respectivement aw=w„, m = ay, w — bx (sur toute la surface comprimée), doit con-

(luire à des pressions ^^ ayant la résultante connue P — P„. il faudra décomposer celle-ci en trois forces de même direction qu'elle et passant par les trois points fixes (de la surface) qu'onvientdedéfinirrespectivementpour les trois systèmes, problème de la statique classique qui comporte, commeon sait, une solution et une seule. Enfm, chacune des constantes Wç, a, b , astreinte à être dans un certain rapport avec celle des trois composantes obtenues de P — P^ qui lui correspond, sera également susceptible d'une valeur et d'une seule.

Si donc on réussit , étant donnés des déplacements w des trois formes w — w^^ w~ay ^ w = bx sur toute la région (rapplication des pressions ('normales) extérieures, à déterminer les expressions -correspondantes de jh, on saura disposer des trois constantes «?o, fï,ô de manière que la superposition de ces déplacements produise une pression totale d'une grandeur P — P„ quelconque et appliquée en un point de la surface dont les deux coordonnées x Qiy soient également quelconques; résultat qu'on pouvait prévoir, puisque le nombre des conditions à remplir, concernant, comme on voit , ces deux coordonnées et la grandeur P — Po.est égal à celui des constantes à déterminer îWo,

En définitive, le pi'oMème posé, dont les données sont la forme que reçoit la surface iwnprir^ée et la pression ûotalegu'on y exerce, définie tant en position gu' en grandeur, et où l'on cherche la position que prend cette surface, ainsi que les lois d'après lesquelles la pression s'y répartit, est à la fois possible et déterminé : en outre, Use ramène à plusieurs problèmes plus simples, dans chacun desquels l'abaissement w de chaque point de la surface comprimée peut être supposé connu {').

t*) La formule [a'j àa M. Beltraiiii {p. 169) coiitiejit, comme û\i a dit, k solution de ce problème plus simple, pour les cas de parité tout autour d'un point centi«l, c'est-à-diro quand la surface comprimée prend une forme de révolution autour d'une norjnale à 8a situation primitive. Le plus simple de ces cas, après celui ,

45. — Identité de ce problème avec celui de la répartition des poids ou des pressions sur la surface de contact d'un corps dur et d'un corps ou d'un sol élastique. — Condition qui détermine la surface de contact elle-même.

Demandons-nous enfin à quelle question réelle correspond le problème théorique que nous venons d'aborder.

]1 suffit, pour le voir, d'imaginer qu'on pose sur un 'sol élastique , horizontal et poli . un solide d'un poids donné P. beaucoup plus dur que ce sol , ou encore qu'on presse . a\ec une force connue et assez modérée , un tel solide contre une face polie d'un corps élastique- ayant ses dimensions notablement supérieures aux dimensions de la surface de contact; et de se demander comment se répartira, à cette surface , le poids ou la pression P. Dans l'un et l'autre cas , la base du corps dur conservera sensiblement sa forme donnée, et il est naturel d'admettre que la région directement comprimée du corps ou du sol élastique , bien plus flexible, se moulera sur cette base. D'ailleurs^ à cause du poli supposé ou . de l'absence de frottements , les pressions supportées par le sol ou corps élastique lui seront normales, c'est-à-dire se réduiront à la composante p^ ; et l'on connaîtra, en somme, la pression totale exercée P, tant en grandeur qu'en position , ainsi que la forme prise par la surface de contact.

Or telles sont précisément les données de notre question, en admettant du moins que le corps dur ait sa base, ou ,

qu'on a étudié au n" 36 , d'une région d'application restée plane , est celui où la surface directement comprimée reçoit la forme d'un paraboloïde de révolution. has intégrations qu'indiquent les formules [«') et (c") [p 174] s'y effectuent sans difUculté et donnent dos résultats démontrés dans les deux dernières pages (43 et 44) du mémoire , cité plus haut (p. 185), de M. Valentino Cerruti , Ricerche intorno ail' equilibrio de' corpi elastici isotropi. Je ne m'y arrêterai pas , devant traiter au n" 51 bis le cas plus général oii le parabokïde n'est pas de révolution.

plus exactement , la partie de sa Hurface qui est foui entière en contact avec le corps élastique, bien distincte des parties contiguës et latérales de la même surface ; de sorte que la région d'application des pressions exercées puisse être censée connue à l'avance. Cela arrive quand la partie inférieure du corps ne présente que d'assez petites courbures , et d'assez faibles inclinaisons par rapport à la direction générale de la surface du sol élastique, pour qu'on soit conduit à admettre qu'elle s'y appliquera tout entière , eu égard du moins à la grandeur de la pression P. et quand, en outre, cette base ou partie inférieure est limitée par des faces latérales ,. perpendiculaires par exemple , se dérobant au . contact du sol élastique quelque sensibles que soient devenues sur le contour les pentes de ce dernier.

Mais s'il s'agit, au contraire, d'un corps arrondi inférieurement et latéralement, oîi la surface de contact est variable dans de très grands rapports , d'une manière continue , en fonction de la pression P, le problème se complique; puisque non seulement la distribution des pressions à l'intérieur d'un certain contour, mais ce contour lui-même sont incoimuH. La condition supplémentaire qui détermine alors celui-ci consiste à exprimer que la pression par unité d'aire , ?)î ou p , s'y annule , sans cesser d'être continue , (juand on y arrive en venant de l'intérieur de la région d'application, bln effet, d'une part, cette condition est nécessaire; car, sur le bord de la région d'application, la fonction jh on ? ne saurait être ni négative , puisque le corps dur est supposé dépourvu de toute adhérence au sol élastique , ni positive -et finie, ce qui, d'après la formule (111 te') et une remarque dun^SS [p. 143 et 146), entraînerait inévitablement , tout autour de la surface de contact , une brusque surélévation du sol élastique au-dessiis du prolongement de cette surface , surélévation impossible à cause de l'impénétrabilité du corps dur qui s'y étend. Et l'on conçoit , d'autre part , que la même condition soit suffisante, ou que, en exprimant la nullité de p sur tout le

contour, on détermine au moins implicitement ce dernier. Quelle que soit, en effet-, sa position, autour du point d'application de la force P, qu'on peut prendre "comme pôle d'un système do coordomiées polaires R et w, les rayons vecteurs R qui y correspondent à un nombre très grand n de valeurs de w équidistantes entre o et 2'^ le définissent parfaitement , et p est , par suite , pour chaque point (Xi , p,) de la surface , une certaine fonction de ces n rayons vecteurs R ; donc, exprimer que p s'annule quand on y met pour Xi et 1/1 les coordonnées^ telles que R cos w, R sin u, des n points considérés du contour, c'est poser , entre toutes les inconnues R, un nombre derelations précisément égal au leur, ou qui doit suffire pour former l'équation de la courbe.

S'il s'agit, par exemple, d'un sol horizontal et d'un corps convexe arrondi, ayant une forme de révolution à ase vertical , il est clair que , à chaque valeur du rayon R, du cercle de contact t^RJ, il ne correspondra qu'une seule valeur possible de l'abaissement to„ du centre, pour laquelle la fonction o s'annule dans le cercle à la limite R = Ri. Car, une telle valeur de «><, étant supposée obtenue , toute varialion qu'on lui fera subir , et qu'on imposera par suite à l'abaissement -m des divers points de là surface comprimée T:Rf , nécessitera la répartition , sur celle-ci , d'une certaine charge supplémentaire (positive ou négative) , d'après la loi (124) [p. 158] , et aura ainsi pour effet de rendre la valeur de p , au bord R = Ri , non plus nulle , mais infinie. Donc , pour chaque valeur de R, , il n'y aura qu'une seule valeur possible de la pression P, et celle-ci , nulle quand Ri=: Oi croîtra naturellement avec Ri ; de sorte que, à chaque pression P, il correspondra bien une seule surface de contact 5tRf admissible.

L'annulation àep^ ou p, sur tout le contour de la surface de contact d'un corps à forme arrondie et d'un sol élastique , revient encore à dire que la partie directement comprimée de ce dernier se raccorde à sa partie restée libre, sans aucune discontinuité du plan tangent; car il a

été démontré , au a" 33 (p. 145 et 146), que c'est seulement dans l'hypotlièse d'une variation continue de o à la sortie de la région' d'application que se produit un tel raccordement des deux portions de la surface. Lorsqu'il s'agit d'un corps convexe en tous ses points et de révolution autour d'une normale au sol élastique , le méridien de la partie libre de la surface de ce sol devient concave vers le bas , comme on a vu à la fin du n" 33 (p. 149} : ainsi les deux méridiens du sol élastique et du corps dur s'opposent mutuellement leurs convexités et s'éloignent de plus en plus l'un de l'autre, hors du cercle de contact t^RJ.

Les considérations précédentes , quoique d'une application parfois difficile, permettent de traiter aisément la question posée, dans les cas où soit, la figure formée par la la base du corps et par la force résultante P, soit la répartition effective de celle-ci, sont les moins compliquées possibles. On se trouvera donc , pour ces cas , les plus simples et, par conséquent, les plus intéressants, avoir résolu le célèbre problème de pbilosopbie naturelle relatif aux pressions qu'exercent l'un sur l'autre deux corps en contact , ou relatif, notamment, à la manière dont le poids d'un corps, supporté par un sol horizontal , se distribue entre les divers éléments de sa base d'appui: problème posé depuis un siècle par d'Alembert et Euler, mais qui, à ma connaissance, avait résisté jusqu'à ce jour aux efforts des géomètres.

Sans doute, Navier a montré comment se répartit le poids d'une barre , entre un nombre donné de points d'appui échelomiés sur sa longueur de distance en distance {'). Mais il assimile une barre à une ligne matérielle et chaque appui à un point isolé : ce qui revient à éluder la question traitée ici , c'est-à-dire la question de savoir comment la pressipn s'exerçant en particulier sur chaque appui est décomposée entre les parties élémentaires de sa petite surface de contact avec la barre. Le vrai et difficile problème , qui consiste à

(*) Bulletin de la Société phHomathique de Paris , année 1825, p. 35.

trouver la répartition effective d'une charge sur une base continue de support , restait donc absolument en dehors de ses recherches, intéressantes d'ailleurs pour l'ingénieur et le savant.

46. — Résolution du problème pour certaines for-mes de la hase du corps dur et pour certaines positions de la pression résultante , notamment quand la hase est plane , limitée par un contour circulaire ou elliptique , et que la pression normale ewercée passe par son centre.

La question se simplifie quand il y a, dans la ligure que composent la base du corps dur et la force donnée P, une symétrie suffisante pour que l'orientation prise par ce corps soit parfaitement connue. Alors les deux petites rotations a, h s'annulent et l'expression de l'excès, w„ — w , de l'abaissement du centre de la surface de contact sur celui de ses autres points est parfaitement définie par la forme seule de cette surface. On retombe donc sur l'avantdemier problème posé au n° 44 (p. 204) , où l'on se donnait jy^ — fc en tous les points de la région d'application , ainsi que la grandeur de la résultante P,,et où l'on cherchait, avec «5, , le mode de répartition de cette résultante. Il faudra seulement , quand les limites de la base d'appui ne seront pas connues, lui attribuer successivement divers contours, jusqu'à ce qu'on obtienne celui pour lequel la fonction jî, ou p s'annulera sur toute sa longaeur.

Si, en particulier, la pression totale Pvautl {ou est choisie pour unité) et que la formule donnée de w — iv^, définissant la forme que reçoit sa surface d'application primitivement plane, se trouve être une de celles que-nous avons calculées au ^ précédent, le mode cherché de distribution de la pression ne pourra pas différer du mode représenté par l'expression correspondante p prise comme point de départ du calcul. La pression sera donc distribuée ou uniformément , ou paraboliquement, etc.

Le problème se troii\"erÉiit encore résolu , si les valeurs données dew — w„ s'obtenaient, en ajoutant plusieurs des expressions de m — m^ calculées dans le ^ précédent, après les avoir multipliées respectivement par des coefficients positifs ou négatifs dont la somme vaille l'unité ; car on n'aurait qu'à diviser la pression totale en parties proportionnelles à ces coefficients, puis. à répartir chaque fraction conformément au mode représenté par la formule correspondante de p.

Le cas le plus simple est celui où la région d'application, limitée par une ellipse ou un cercle, reste plane et parallèle à sa situation primitive de repos. Alors la pression se distribue d'après la loi énoncée au n" 37 (p. 162} et qu'exprime la formule (128). Si l'on suppose, par exemple, les abaissements w produits par un disque à base elliptique, chargé de poids ayant leur centre de gravité général sur la verticale du centre du disque, on pourra énoncer la loi suivante :

Quand wn disque elliptique solide, posé sur un sol horizontal élastique, reçoit des poids dont la résultante (y compris le sien propre) passe par son centre, et quand, audessous de ce disque, le sol reste plan, la charge supportée par chaque élément de la surface de contact est celle gui se trouverait directement au-dessus de l'élément considéré, si Von distribuait préalablement la charge totale sur la surface convexe d'un demi-ellipsoïde ayamt pour base le disque même et pour axe vertical mie droite de longueur quelconque, en la répariissant , aux divers points , proportionmeliement à la distance qui y sépare ce demi-ellipsoïde d'un autre demi-ellipsoïde infiniment voisin, concentrique, semblable et semblahlement placé.

Dans le cas particulier où, le disque est circulaire, on peut prendre pour demi-dlips(Âde la calotte demi-sphérique construite sur sa base', et distribuer uniformément la charge sur toute la s-urface de cette calotte, puis projeter chacune de ses parties sur leplan du disque, comme on fait, pour les divers détails d'un 'hémisphère terrestre, dans les cartes géographiques où un tel hémisphère est vu ortl

47. — Des circonstances qui se présentent sur le contour de la surface comprimée

On voit que la pression exercée par l'unité d'aire de la base du disque va en croissant du centre au bord, et qu'elle devient même infinie sur le bord. Il devait en être ainsi, à cause de l'hypothèse, introduite dans les calculsj d'une forme absolument plane du sol élastique en tous les points de la surface de contact. Nous avons trouvé en effet (n" 33, p. 142) que, à l'intérieur d'une région d'application ayant son contoiu' convexe , l'abaissement w décroit, à l'approche de ce contour , toutes les fois que la pression o par unité d'aire n'y grandit pas indéfiniment. La forme plane exige donc, pour être maintenue jusqu'au bord même de la région d'application, une pression, exercée sur le bord , supérieure i! toutes celles que peuvent comporter les degrés de résistance du sol élastique et du disque placé au-dessus, si dur qu'il soit.

En réalité, d'une part, il n'est pas possible que la base du disque se termine par une arête assez vive pour y limiter brusquement la surface de contact ; d'autre pari, cette base, pressée sur son contour plus qu'au centre, devient très légèrement convexe. Pour ces deux raisons , !a véritable surface d'application des pressions^! ne peut rester tout à fait plane et prend une forme un peu creuse, même en continuant à supposer , comme il est naturel de le faire , que le sol ne cesse pas de toucher le milieu de la base du disque. Dans ces conditions, la région d'application des pressions ^^ présente, à l'intérieur , des courbures insensibles, mais, sur le bord , des courbures très notables , suffisantes pour établir le raccordement avec la partie libre de la surface et sauvegarder ainsi , comme on a vu au n" 33 (p. 146), la continuité de^^ , par son annulation à la limite des deux parties. En conséquence, l'hypothèse d'une forme absohi-

ment plane du sol sous le disque , et le mode corrélatif, (128), de distribution des pressions p oiip^, correspondent à un cas limite, purement idéal, dont la réalité peut s'approcher, en quelque sorte, autant qu'on le veut, sans l'atteindre jamais. D'ailleurs , les écarts qui existent entre la relation {128} et les véritables formules de distribution., écarts comparables, en ciiaque endroit, à ceux quiy distinguent la \Taie surface de contact d'avec une surface plane , et n'entraînant en tout. que le déplacement de minimes fractions de la pression totale P, dépendent , d'après des lois inconnues , du degré de dureté du disque et de la courbure plus ou moins adoucie de l'arête qui limite sa base. S'il arrivait que l'arête fût trop vive, elle entaillerait le sol. Mais" la surface comprimée, plut(it que d'acquérir sur le contour une courbure infinie, s'infléchirait jusqu'à son centre et fuirait ainsi !e disque, dont une zone étroite, contiguë au bord et courbée par l'excès de la compression, serait alors seule en contact avec elle, et Ihi transniettraittoutela charge. A en juger par des expériences de M. Tresca faites , il est vrai , sur des plaques libres de fléchir à leur face inférieure , et trop peu épaisses pour être assimilables à un sol de profondeur indéfinie (*) ; Jes choses se passeraient justement de cette manière, sons les très fortes pressions qui altèrent la contexture du corps élastique et laissent à sa surface des empreintes durables, comme, par exemple, quand un poinçon à base plate, poussé fortement et normalement contre un bloc de fer, y produit un creux persistant. En effet, dans les observations dont il s'agit, la partie centrale des empreintes est restée définitivement concave , après l'enlèvement du poinçon cylindrique qui les avait creusées. On y a constaté aussi que, par exemiile, des traits de différentes formes, comme de légères stries, qui existaient sur cette partie centrale antérieurement à l'action du pôin-

\') Mémoire Sur le poinçonnoffe des métaux (p. 66) au Recueil des Savants étrangers de l'Académie des Sciences de Paris, t. XX, i8T2.

çon , continuaient à siibsister après ou n'étaient nullement effacées par cette action : fait qui s'explique tout naturellement dans riiypothèse d'une forme concave de la surface. Il est bon toutefois de remarquer qu'il no suffirait pas complètement, par lui-même, à la faire admettre; car, la région périphérique étant incontestablement , d'après la loi de répartition obtenue, beaucoup plus pressée que le centre, rien ne dit qu'un écrasement doive se produire , à aucun moment , dans la région centrale , supposée même être restée piane , ni , par suite , que les caractères de structure qu'elle présente doivent disparaître , alors que le contour éprouve, au contraire, des altérations profondes. Mais ce phénomène curieux, de la parfaite conservation de légères stries à la partie centrale d'une surface poinçonnée, u'en démontre pas moins , bien entendu , comme l'a fait voir M. Tresca, l'existence, sous tout poinçon à base plate qui s'enfonce dans une plaque ductjle, d'une proue qu'il pousse presque sans la toucher , si ce n'est sur !e contour , et dont la couche superficielle reste comme libre, pendant que toute la matière contiguë est transformée profondément.

Quoi qu'il en soit de cette assimilation , nullement certaine , entre des plaques d'une assez forte épaisseur mais susceptibles encore de, fléchir et un sol d'une épaisseur indéfinie, quant à leur manière de subir l'action d'un poinçon à base plate et à contour anguleux, les considérations,, données tout à l'heure, sur les modes de répartition des pressions o ou p^ voisins de celui qu'exprime la formule (128), mais avec annulation de jo^ sur le contour, démontrent que cette formule (128), en tant qu'approchée, trouvera son application dans le cas des disques à bases elUptiques planes ou très peu courbes , limitées par une arête suffisamment usée ou arrondie ; puisque de tels modes de distribution donnent justement à la surface comprimée des formes comme la leur. La relation (128) n'y sera notablement en défaut qu'aux divers points d'une bande étroite contiguë au contour , là où se produira le décroissement

rapide de^^ à l'approclie du bord. Mais il est clair que ce décroissement ne supprime qu'une pression totale insensible (laquelle se trouve portée ou mieux dispersée sur tout l'intérieur de la région d'application); et qu'il est sans influence appréciable sur les déplacements u^d ^ tv ainsi que sur les déformations du sol élastique , abstraction faite de la zone même où il a lieu. Il constitue donc , comme on a dit vers la fm du n" 33 (p. 149) , une perturbation purement locale, n'empêchant pas les lois obtemies, qui découieut du mode de distribution (128) , de s'appliquer partout ailleurs qu'au bord du disque.

On a vu, au même endroit du n" 33, qu'une telle perturbation se produit inévitablement sur le contour d'une surface comprimée , quelle que soit la forme de ce contour , toutes les fois que la pression jh se trouverait y passer brusquement . sans cette perturbation , d'une valeur plus ou moins considérable à la valeur nulle qu'elle a hors du contom'. I/ingénieur et le physicien en observent, du reste, d'analogues dans une infinité de cas, par exemple, aux extrémités des tiges et sur le bord des plaques, là où l'état physique varie aussi rapidement dans le sens des grandes dimensions que dans le sens des petites (contrairement à ce que suppose, au fond, la théorie classique de ces corps). Ces extrémités des solides allongés ou aplatis constituent donc, comme les bords de nos régions d'application, des zones exceptionnelles, sièges d'un état spécial, plus complexe que celui de l'ensemble , et qui reste inabordable à notre analyse même quand nous pouvons exprimer très bien l'état général du corps.

sur l'emploi de ta discontinuité en Physique mallièmatique ■

Un passage par l'iiifim, comme celui que nous venons de rencontrer , et d'autres discontinuités non moins inattendues en général , telles que des changements trusques dans les lois des phénomènes quand on traverse la surface de séparation de deux certaines régions d'un même milieu , se présentent parfois en Physique mathémathique, comme conséquence d'hypothèses simplilicatrices trop absolues introduites dans les calculs ; et elles ne surprennent pas ou, du moins, ne surprennent plus les géomètres.

Par exemple, quand on étudie l'écoulement bien continu d'un liquide, dans un tube droit mouillé par ce liquide et dont la section est un secteur do cercle de plus de 180°, c'est-à-dire affecté d'un angle rentrant, le frottement, rapporté à l'unité d'aire, que le fluide exerce sur la paroi, de\'ient infini le long de l'arête vive projetée par celle-ci vers l'intérieur. Et cela se conçoit : car une arête infiniment étroite est censée se trouver alors en conflit avec tout le fluide voisin, compris dans l'angle dièdre des deux plans menés suivant sa longueur perpendiculairement aux faces planes de la paroi, et elle est, en quelque sorte, chargée de retenir à elle seule tout ce front fini de fluide ; force lui est bien , en de telles circonstances , de déj^loyer par unité d'aire une résistance infinie , ou de se désagréger si elle n'en est pas capable. Donc, dans ce cas , la nature repousse absolument l'hypothèse des arêtes vives et exige qu'on les remplace par des jmrties à très grandes courbures .

De fait, les arêtes et les angles, pris en toute rigueur, ne sont que des constructions idéales, dont la réalité peut approcher sans être tenue de les reproduire d'une manière adéquate. On ne les emploie dans les applications que pour rendre plus faciles certains problèmes: car, si la

continuité simplifie les choses quand elle en relie plusieurs qui suivent une même loi, elle les complique, au contraire, le plus souvent, lorsqu'elle établit la transition entre deux catégories d'objets ou de faits régies par deux lois simples différentes; et c'est alors une discontinuité fictive, un passage brusque de la première catégorie à la seconde , qui rend les questions abordables. Cette circonstance se produit justement dans le problème du disque plat et dur posé sur un sol élastique :. la supposition d'un brusque passage de la forme plane , qu'a la surface au-dedans de la région d'application, à une forme d'une courbure notable au dehors, avec changement immédiat de la direction et disparition instantanée de toute pression extérieure, nous a seule permis de le résoudre : car le détail des vrais phénomènes locaux qui se présentent le long du contour nous restera peut-être toujours inabordable.

Une difficulté pareille à celle de la question précédente de l'écoulement d'un Liquide se présente dans le problème , qui n'en diffère pas analytiquement , de la torsion d'un cylindre dont la section est encore un secteur circulaire de plus de 180" ; problème intéressant , résolu en premier lieu par MM. W. Thomson et Tait , au n° 710 de leur Traité de philosophie naturelle , et repris récemment , avec des détails analytiques et numériques importants, par M. de St^Venant('). Quand on y suppose l'angle rentrant taillé à arête vive, la fibre longitudinale placée à cette arête est soumise à un effort tranchant inhni par unité d'aire ; en sorte que cette fibre devrait être rompue par la plus faible torsion , même imperceptible.

Ces divers cas de discontinuité sont accompagnés du passage par l'infini de certaines quantités qui, dans la réalité physique, ne le comportent pas. Mais on peut citer aussi des exerùples remarquables , où une discontinuité ,

{*) Comptes-Rendus de rAcadémie des Sciences ; 3 «t 9 décenilire 18T8 , tome LXXXVII, p. 849 et 893; 27 janvier 1879, t. LXXXVIII, p. 142.

soit inhérente à la nature des choses, soit introduite par les conditions de notre science et des points de vue imposés à notre esprit, se jjrésente même à l'intérieur d'un milieu homogène, c'eot-à-dire ailleurs que sur la surface de séparation de deux hiatières différentes , sans qu'on y observe nécessairement un semblable passage par l'iniîni.

Tel est, dans la théorie du régime permanent des cours d'eau , le phénomène du ressaut , rapide exhaussement (suivant le sens d'amont eu aval) de la surface liquide , qui rompt la continuité en arrêtant la propagation, vers l'amont, des influences régulatrices de l'écoulement en aval; au point que les deux parties du cours d'eau reliées par le ressaut présentent deux régimes très distincts , torreniueux ■d l'amont, érmiquille à l'aval (*). Telle est encore, dans l'étude de l'état ébouleux d'un massif pulvérulent soutenu par un mur qui commence à se renverser , la division fréquente du massif en deux parties , dont la plus petite est contigiie au mur, régies par des lois très différentes ("). Cette division peut bien , il est vrai , être rendue plus sensible, dans la moitié des cas , par une légère hétérogénéité, contiuuement variable , que la théorie suppose alors dans la petite partie ; mais elle y existerait sans cela. Et , quant aux autres cas , savoir, ceux où la face du mur en contact avec le massif plonge sous celui-ci en s'éloignant de la verticale au-delà d'une certaine limite , la petite partie, supposée parfaitement homogène et de même constitution que la grande, n'y passe pourtant pas , comme elle, à l'état ébouleux ; elle s'en distingue ainsi d'une manière essentielle.

Ou pouri'ait citer encore, dans l'écoulement d'une masse fluide , la division spontanée de cette masse , â l'entrée de tout élargissement brusque de son lit, en une portion prin-

(*) Voir , par exemple , mon Essai sur la théorie des eaux courantes , p. 147 , 291, etc.

(**) Voir mon Essai Ihe'oi-iqae sur Céquilibre des massifs pulisérulsnts , Ole, n" 47 , p. 121 el suivantes.

cipale, gui continue son trajet avec une vitesse plus ou moins ralentie, et une autre dont le mouvement se réduit presque à des tourbillonnements sur place.

Et je ne parle pas de diverses discontinuités, moins naturelles peut-être, mais non moins précieuses comme moyen d'étude, que fait introduire, dans des théories difficiles, encore à leur déhut , l'ignorance où l'on se trouve des transitions reliant certaines phases ou variétés simples des phénomènes, connues longtemps avant les autres.

Par exemple , Macquorn-Rankine , pour évaluer la poussée qu'exerce de bas en haut un sol sablonneux, sur un prisme solide droit qu'on j enfonce verticalement , admet que le sable sous-jacent, compris entre les prolongements inférieurs des faces latérales du prisme , est soumis à uu écrasement vertical uniforme , avec détente dans les sens latéraux, et que le sable extérieur contigu éprouve, au contraire, jusqu'à quelque distance, un écrasement uniforme dans les sens latéraux, avec détente dans le sens vertical. 11 suppose donc que, dans la masse sablonneuse supportant le prisme immergé , l'orientation de l'élément plan soumis , en chaque point, à la pression la plus grande, change brusquement de 90° quand on traverse la surface formée par le prolongement , vers le bas , des faces latérales de ce prisme. M. Tresca, en édifiant sa théorie du poinçonnage et de l'écoulement des corps plastiques, a, de même, distingué, soit dans le bloc qu'on poinçonne, soit dans celui qu'un piston force à s'écouler hors d'un vase cylindrique par un orifice ouvert en son fond , uu cylindre central , situé audessous du poinçon ou on face de l'orifice , et un anneau entourant ce cylindre, parties dont la première ou la seconde, suivant les cas, éprouve encore un écrasement, et l'autre, une détente, dans le sens vertical.

Cette théorie du poinçonnage offre encore un exemple remarquable d'une autre sorte de discontinuité , relative aux deux manières très différentes dont se comporte successivement une même masse ductile, ou dont se compor-

tent simultanément deux masses sensiblement pareilles , suivant que l'épaisseur y est un peu au-dessus ou un peu au-dessous d'une certaine limite. Elle se produit quand un bloc, assez épais, poinçonné à sa surface supérieure, repose sur un plan rigide, percé, vis-à-vis du poinçon, d'un orifice de môme diamètre que celui-ci. Alors le cylindre central , comprenant la matière située juste au-dessous du poinçon et au-dessus de l'orifice, est d'abord écrasé jusqu'à ce qu'il n'ait plus qu'une certaine épaisseur, puis séparé par glissement ou cisaillement de l'anneau qui l'entoure et chassé par rorifi.ce. Or c'est en admettant que le cisaillement fait suite à l'écrasement, sans qu'il survienne entre ces deux modes simples de déformation d'autres nmdes intermédiaires plus compliqués , et en exprimant que l'un succède à l'autre dès qu'il cesse d'exiger plus d'efforts que lui maiscommence, au contraire, à en exiger moins, que M. Tresca a pu évaluer la hauteur de la débouchure finalement expulsée (').