Mise en équation générale du problème

Mais revenons au problème général consistant à se donner la pression totale P, avec le contour de la surface comprimée et la forme qu'elle doit prendre , pour en déduire la position d'équilibre de cette surface et le mode de répartition de la pression. Nous l'avons ramené (n" 44) à d'autres plus simples et également déterminés, dans chacun desquels on suppose connus les abaissements to aux divers points de la surface comprimée , et où l'on demande les pressions ^j ou ? qui s'y trouvent appliquées par unité d'aire.

D'après la formule générale (84) de w [p. 109] , il suffira , pour résoudre ces derniers problèmes, de déterminer la den-

C) On peut voir, pour toutes ces questions, mon Essai théorique sur l'équilibre des massifs pulvérulents, comparés aux Tnaasifs soUdes, etc. (n™50 et 51. p. 137 il li5 et p. 174).

site p, par unité d'aire, d'une couche matérielle étalée sur une partie connue s du plan des wy , de telle manière que

son potentiel , U = 1 —, ait la valeur donnée

i (pour î =^ 6, en chaque point de la surface comprimée)

D'ailleurs, ce potentiel vérifie dans tout l'espace l'équa- Lion indéfinie a^ U — o . on

d^V d^J] d^V dni^ dy^ dz^

Il prend de plus, évidemment, deux valeurs égales quand on change ^ en — z . c'est-à-dire pour deux points symétriquement placés par rapport à la couche; et, comme, en dehors de celle-ci , il varie avec continuité , ainsi que ses dérivées , même sur le plan des my , sa dérivée première est nulle le long du chemin dz joignant un point infiniment voisin de ce ])Ian, et sensiblement distant de la région d'application, m un autre symétrique. On a ainsi

[147j ( pour î = o , hors de la surface comprimée ) — - — =^ o.

Enfin, pour tout point dont la distance x. à l'origine est très grande en comparaison des dimensions de la surface

comprimée, le potentiel vaut à fort peu près -- — , c'est-àdire qu'il est de la forme — , où K désigne un nombre fini ; et sa dérivée par rapport à i. égale par suite, sensiblement,

i ) ou est de la forme i- ; Ki étant également un

nombre qui reste fini. On peut donc écrire :

(148) ( pour t très gj-aiid ; U = -— , — p- —■ — — -.

Telles sont les formules qui doivent conduire, le plus simplement possible, . au potentiel U. Elles déterminent complètement cette fonction, comme nous allons ie démontrer; et il importe d'observer qu'elles la détermineraient également, si, au lieu de la première condition, (145), on en avait une autre , de la forme

i [ pour 2 = o , sur toute la surface comprimée )

j — —■ = une lonction connue , — 2 ~ ;. (œ, y), de k et y .

On le voit en remplaçaiil , dans les formules (145} et {145 bis) à (148) , U par U + U' ; ce qui donne , en U', des équations de même forme, mais où le second membre de la condition spéciale transformée de (145) on de (145 Us) est nul. Alors , multipliant par U't^K, ou par X)' dwdydz , l'équation A^ U' = o , puis intégrant dans tout l'espace ■^ compris , du côté des z positifs , entre le plan des xy et une sphère d'un très grand rayon î. décrite autour de l'origine comme centre , appliquant à chaque terme le procédé de l'intégration par parties, comme au n" 11 (p. 55), et tenant compte des conditions (145) ou (145 l)is) , (147) et (148) , spéciales aux surfaces limites , on trouve finalement , pour t infini .

fflZ!

-nr -* — TV '^^ -

Donc les dérivées de U' en «, ^, ^ sont nulles partout, et U', devant tendre vers zéro quand x. grandit, s'annule également.

Cela posé, admettons qu'on ait obtenu la fonction unique U qui satisfait aux équations (145), (146), (147) et (148).

La dérivée -j- de cette fonction acquerra certaines valeurs.

que je représenterai par — S^vp [x, y), quand, pour des valeurs de ic et de y égales aux deux coordonnées d'un point de la région d'application, on fera décroître z jusqu'à zéro. On serait donc également tombé sur cette fonction U déjà trou%'ée , si l'on avait connu ces valeurs — 2îtp {x, y), et si l'on s'était donné pour point de départ la condition spéciale (145 bis) à la place de (145). Or, dans ce second cas, on aurait eu pour U le potentiel

(149^ n ^ ce ?[-uyMd^,dy, ^ Çdjn__

car celui-ci saListait évidemment iuix équations (146), (147), (148) et de plus , vu la première formule (31) [p. 67J , il vérifie la condition spéciale (145 his). Donc , u-ne fois Hntègrale U des équations (145), (146), (147) et (148) déterminée^ comme la relation (149) montre que cette intégrale U égalera toujours, quelles que soient les valeurs données de w sur la région d'application , le potentiel d'une certaine couche étalée sur. cette région et ayant sa densité superficielle .0 [x, y) astreinte à vérifier la condition (145 Ms), on aura lapression ilemandée ?, qui s'exerce sur Vunité (Paire aux divers points (x, y) de la surface, au moyen de la formule

cette formule, à cause de la condition (147), s'applique même aux parties libres de la surface z=ù du corps élastique.

50. — Cas d'un disque plat et horizontal posé sur un sol élastique: la pression se distribue, à la surface de ce disque, comme le ferait, s'il était isolé et conducteur, une charge électrique qui s'p trouverait en équilibre.

Admettons en particulier que le soiide compresseur ait sa base plane et parallè-e à la surfaCe générale du sol ou du corps élastique. Alors, dans le second membre de (145), renfoncement w recevra partout la valeur constante w^ relative au centre. L'équation (145) signifiera donc que la surface comprimée est une de celles qu'on appelle de niveau y c'est-à-dire d'égal potentiel U: condition caractéristique, comme on sait, de l'équilibre d'une charga d'électricité , à l'intérieur d'une plaque mince conductrice et isolée qui coïnciderait avec lasuifàcecomprimée elle-même. Donc , quand un disque solide , découpé suivant une forme.. plane quelconque , est posé sur un sol élastique horizontal , et chargé de poids avec assez de symétrie pour qvJ'il conse7've r horizontalité, la charge totale se distribue entre les diverses parties de sa base, supposée partout en contact avec le sol, comme le ferait wne charge électrique sur le viPme disque . s'il était isolé et condiœteii,r.

Remarquons toutefois que la consei-vatiou de l'horizontalité de la surface jusqu'au bord de la région comprimée . exigerait , d'après ce qui ' a été démontré au n" 33 (p. 1 42), une pi'ession p ou^^ (par unité d'aire) infinie sur le bord, du moins aux parties convexes de ce contour ou , plus exactement à celles dont la tangente ne le coupe nulle part. Il se produira donc forcément, en ces endroits, les perturbations locales dont il a été longuement question, au n" 47 (p. 216), pour les cas particuliers d'un contour circulaire on elliptique.

5i. — Exemple du disque elliptique- calcul des abaissenienls qu'il produit à la surface du sol-

Empruntons, en vertu de ce qui précède, à la tliéorie de l'électricité statique, l'expression du potentiel pour une plaque elliptique dont la charge égale 1 et qui a son contour représenté par l'équation

Cette expression est

intégrale où la limite inférieure v, fonction de x, p, z, désigne le demi-axe vertical de l'ellipsoïde

qui passe par le point quelconque (aï, p, z) de l'espace. En calculant préalablement, par la différentiation de (153), le^

d-J^ dv^ A-'*- , . , .{.

expressions -j-^ -h yy "^ "TT ^^ '^' ■ '^^'^ vérifie asse?

aisément que cette fonction U de œ, y, z satisfait à l'équation indéfinie (146). D'ailleurs, comme v est très grand devant fl et & pour tous les points («, y^ z) situés ii des distances considérables ï-de l'origine, lesfornmles{153) et (152) deviennent sensiblement, pour ces points :

de sorte que les conditions (148) sont également satisfaites.

Déplus, qn^nàz^ù; réquation (153) donne v^—o aux points intérieurs à l'ellipse (151), points où il faut qu'on ait -^ ^ o,

puisque la somme — — ^ -•- ■— — ^ y est nécessairement plus

petite que 1. Donc, pour tous ces points, l'expression (152) de Use réduit à la constante

(154) uo= r

fit la condition (145) est encore satisfaite, si l'on admet que la valeur connue de n' , relative à la région d'applicati(>n , .

( b. l'intérieur de la surface clliptiqui

Enlin, la différeniiation de (153) par rapport à z donnant

ou bien

la dérivée -y s'annule pour ^ = o cl v ^ o , c'est-à-dire sur le plan des my mais en dehors de l'ellipse que représente (151). Par suite, la dérivée -r- , qui vaut , d'après (152) .

(155to'] —^ :

s'y annule aussi, et la condition spéciale (147) est satisfaite

comme' l'étaient dejn toutes les autres équations du problème posé.

Puisque l'expression (152) de U convient, il reste à lui demander la valeur pde la charge que supporte, par unité d'aire, chaque élément de la base elliptique d'appui. A cet effet, observons que l'équation (153), spécifiée pour les coordonnées x, y des points intérieurs à l'ellipse et pour z infiniment petit, donne tout à la fois, dans la parenthèse

de (155 Ms), v r= o, — ^ o. Donc cette parenthèse s'y réduit

à — -, et il vàeiitpour tous les points de la base d'appiii . en tenant finalement compte de (153),

Portons cette valeur de -y- dans (155 i'<yr), où nous aurons

posé en outre v — o. et la formule (150) fournira bien J'expression (128) de ? [p. 162], à laquelle nous avait déjà conduit une méthode purement géométrique.

L'analyse actuelle nous fait connaître de plus, pour le cas général d'une surface comprimée elliptique, l'expression des abaissements w produits sut tout le plan des xy. La

formule (84) [p. 109], dans laquelle i — n'est autre chose

que U j devient , en effet , vu la relation (152) ,

où. d'après l'équation (153) prise avec z - o . la hmite inférieure ■' de l'intégrale s'annule, pour les points [x, y) de la surface intérieurs au contour elliptique donné (151), et désigne la racine positive de l'équation

(15(i ùis)

pour les points {œ, y) de la surface qui sont extérieurs au même contour, c'est-à-dire pour la partie libre de la surface.

Quand l'ellipse (151) se réduit à un cercle, ou que (0-—h^=- Ri\ la formule (153), appliquée aux points du plan des xy dont la distance à l'origine est t, devient :

(pouri. <R4) v = 0, (pourï.> R,) . = y '^'-

D'ailleurs. rmtéarale ( '" vaut alors

- { -r — arc tang — j , c'est-à-dire

et

1 a \ Ri 1 ■ lii • ^ „

— arc tang— — 7— arc tang — -— arc sin — ~ , pourt^Kj.

Donc, l'expression (156) de m se dédouble bien en deux, respectivement identiques à celles , (125) et (135) [p. 158 et 165J, qu'un calcul direct noua avait données pour ce ca:^ particulier.

51 bis. — Cas d'un corps à surface convexe quelconque : sa petite base d'appui est une ellipse , et les pressions varient, à son intérieur, comme les ordonnées d'un demi-ellipsoïde à asce vertical ayant cette ellipse pour base. — Cas d'un poinçon à section elliptique et à tête courbe (*).

Ce n'est pas seulement dans la question de l'équilibre du disque elliptique horizontal que les formuies précédentes (128) , (156) et (156 hls) trouvent leur emploi. Leur utilité n'est pas moindre , comme on va voir , quand il s'agit d'un corps à base convexe et non plus plane.

Soit donc un solide à surface convexe et d'un poids donné P , reposant sans frottement sur nn sol horizontal élastique. Sa base d'appui , de dimensions en général très petites par rapport aux siennes , peut être évidemment confondue avec une portion du paraboloïde elliptique qui a pour axe la normale verticale menée à son point le plus bas , et pour demi-paramètres ses deux rayons de courbure principaux R, R'en ce point, rayons dont j'appelle R le plus grand. Gomme toutes les circonstances concernant le rapprochement du corps et du sol élastique sont pareilles de part et d'autre des deux plans normaux principaux correspondants (en admettant du moins que le corps §pit descendu peu à peu, verticalement, jusqu'à sa situation actuelle), la base d'appui et les pressions d^ = ad's exercées seront symétriques par rapport aux mémed plans ,' dans lesquels nous supposerons qu'on ait pris respectivement , sur la surface primitive du sol , les deux axes des x et des .^. La résultante, P. des, efforts subis par le sol sera donc dirigée suivant la normale verticale ; et celle-ci contiendra le centre de gra^-dté du corps, puisqu'on suppose l'équilibre établi. Ainsi , pour qiie le corps puisse être à l'état de repos, il est d'abord nécessaire que son orientation

(*} Numéro rèdigé un janvier 1883 <-K inséi'é an riioiiH'nl df! rimpresMOJi.

ne soit pas ((uolcoiique, muis que, de toutes les droitea allant de son centre de gravité à sa surface , ce soit une de celles qui la rencontrent normalement (par exemple, ia ligne de longueur mininum ) qui reçoive la direction verticale.

De plus, si, pour faire image , nous concevons encore les pressions t^P produites par une couche d'un sable lourd , étalé sur la base d'appui ou surface de contact, et constituant en chaque endroit la charge du sol sous-jacent, la couche totale P devra être distribuée de telle manière : Tque, sous son action, le sol épouve, aux divers points {œ,y) de la surface de contact, des abaissements m plus

petits que celui, m^, de son centre, de la quantité ^ -h —? ;

2" et que, en vertu de la condition spéciale au contour démontrée dans le n" 45 (p. 209) , la densité superficielle a de^a couche, pression par unité d'aire, s'annule tout le long de ce contour , ou que la surface déformée du sol n'y présente pas de discontinuité dans ia direction de ses plans tangents .

Pour trouver un pareil mode de répartition, admettons (sauf à reconnaître plus tard l'exactitude de cette hypothèse) que la surface de contact soit une ellipse, ayant a et b pour deim-as.es. Menons à son intérieur une infinité d'autres ellipses homothétiques, concentriques, dont "C^a, "Q» soient les demi-axes, et que caractérisera ainsi le paramètre Ç , supposé variable , de zéro à 1 , par accroissements égaux d^. Enfin, imaginons qu'on étende sur chacune de ces ellipses , dont l'aire est -^abX^, la partie 'iVQÛX, de la charge totale 3P/'i;VÇ = P, c'est-à-dire une charge pai'tielle de même densité moyenne pour toutes les ellipses , mais en la répartissant comme une couche électrique qui serait en équilibre sur l'elMpse considérée. Remplaçons donc, dans les formules (128) [p. 162], (156) et (156 bis), (ï et & par les demi-axes actuels K,a , Zb et multiplions d'ail-

leurs les expressions (128) et (156) de o et /y , lesquelles ont été établies pour le cas d'une charge égale à 1 , par la charge actuelle considérée 2F^dÇ, En mettant ï^v pour v , puis posant, afin d'abréger,

la densité superficielle eu un point [x,//) de la couche, son potentiel au mèine point, et le potentiel eu un point (^, y) extérieur , ou pour ■' y -., recevront les trois expressions respectives

2mi )/z^—r

dans la dernière desquelles la nouvelle limite inférieure v , fonction deÇ, est la racine positive de ré(|uation , transformée de (156 bis) ,

Kl la charge totale résultera de la superposition de toutes ces couches. La densité j»^ ou ? y égalera évidemment l'intégrale de la première expression («'), prise depuis s = y jusqu'à C = 1 ; ce qui donne de suite

OU , en substituant à y"" sa valeur [a] ,

expression de ;. qui s'annule bien, conime on le désire, sur tout le contour y = 1-

De même , l'abaissement correspondant m en un point intérieur se composera de la deuxième {a') , intégrée de i; = y à i; = 1, et de la troisième fa'), intégrée de Ç= o à i;=Y, intervalle où la limite inférieure v décroîtra , d'après {a") , de co à zéro. Enfin , l'expression de w pour un point extérieur , ou pour Y ^ 1 ; sera fournie par la troisième («') , intégrée de -^ — o à ^ = 1, intervalle où la limite v décroîtra de l'infini à la valeur positive qui annule le trinôme

-j -H —■ — - — 1 . Or , dans les intégrales doubles [provenant de la troisième {a')~[ ainsi obtenues, une des deux intégrations se fait de suite quand on cbange leur ordre, c'est-à-dire quand on somme d'abord tous les éléments où la variable d'intégration v et sa différentielle d-j sont les mêmes .

taudis que s^ y croit , vu («") , de -*- r^ — ^ à y^ ou à

1 : V y varie d'ailleurs, ou depuis zéro , ou depuis la valeur

positivequi annule le trinôme -^ ^ >- j^ j — 1, jusqu'à

l'infini. Il vient, de la sorte ,

l'intégration s'étendant à toutes les valeurs positives de v

((ûi ne rendent pas négatif le trinôme 1 ^- -^ — j^ — ~ ,

et se faisant, par conséquent, depuis v :== o pour tous les points {x , y) intérieurs à l'ellipse de contact. On voit donc que, en tons ces points, l'expression {b') de w, décomposée en trois intégrales , aura bien sa partie variable de la

forme — -^ — -^ , pourvu que l'on puisse poser

i i R-4T.a[), + ,.)J, y + v^)l)' F^i^T^JWjJ. (i^ + v^)l)

yGoosle

Or c'est ce qui aura lieu si l'on choisit convenablement a et b. Considérons, en effet. Les deux intégrales, essentiellement positives ,

dont la première a tous ses éléments évidemment inférieurs aux éléments correspondants de la seconde , quand on sup-

rapport — ; car il ne change pas quand on reniplace

(i,b, V, (^v -^x ha, kb, Av, kd-^, ce qui revient à remplacer D par ^'D et à multiplier par h? les valeurs de a et de p. Or si, a étant, par exemple, égal à l'unité , on donne d'abord à h une valeur infiniment petite £ , les deux intégrales seront rendues très grandes par leurs cléments correspondant aux très petites valeurs de v , éléments qui , vu l'expression [d] de 1), vaudront respectivement, dans la première .

et . dans la seconde ,

(^es éléments , si on .y t'ait varier v depuis zéro jusqu'à une valeur très petite encore devant l'unité , mais beaucoup

plus grande que e , donneront les valeurs totales de — et de

—, sauf erreurs relatives négligeables; car tous les éléments

suivants, jusqu'à v = oo , n'auraient en tout, dans [b'"), que des sommes finies quelque petit que fûts. Ainsi, la partie

principale de — égalera iog (v +- V e- -+- ■'^) — log s, ou même simplement — log t , vu que log (v -t- V j^ i- v^) disparaît eu comparaison; et, de même, là partie principale de -7-s<^i"a

— . Il vient donc alors

-!- = — .2 log . = i^ log --- -^ -^

Ainsi l'on a :) (pour ■ — infiDinient petit) —

expression qui est iniiuiment petite comme — et presque

de l'ordre de petitesse de — - , car on sait que , si l'on pose

log -y- = (-7-) , m tend vers zéro en même temps que — .

OVj à l'autre limite — = 1, il est évident que — =1. Donc,

le j'apport — , qui est évidemment une fonction continue de a et /f, prend toutes les valeurs comprises entre zéro et, 1 qutuid le rapport — grandit de zéro à 1; et il existe toujours

s une valeur de ce dernier qui rend — égal au rapport donné

^, ou qui rend, pur suite, les seconds membres de [ù") proportionnels aux premiers membres. Une fois cette valeur de — obtenue , on pourra , sans la modifier , faire varier a eX b dans un niême rapport k; ce qui multipliera ,

comme on a vu. les seconds membres de {b") par -- : et il

suffira de. choisir convenablement k pour que les deux équations [b") soient satisfaites. On voit même que, pour

une valeur donnée du rapport-^ , k sera proportionnel à

D'après [b'), le déplacement m„ du centre de la surface de contact sera

Or l'intégrale qui y paraît s'évalue aisément en fonction des deux précédentes [b'"). Celles-ci , en eifet , si l'on observe que l'on a identiquement

donnent de suite, par une réduction évidente opi signe /,

ou bien

Portons cette valeur dans [c') et , en tenant compte de (&") , il viendra

L'expression (&'} de w, spécifiée pour les points intérieurs à l'ellipse de contact , devient donc , en définitive ,

[ 2R 2R' Quand il s'agit , au contraire , d'un point (a; , y] extérieur, cas où la limite inférieure v, dans (^'), n'est plus zéro , mais ia valeur positive annulant l'expression

— j -1- ~- — j — 1 , on peut toujours prendre zéro pour

cette limite , pourvu qu'on retranche ensuite les éléments ajoutés en trop.

On aura 'donc

(pour ~ + 47> 1)

l'intégmtion s'éteudant à toutes les valeurs de v, supérieures à zéro , qui rendent positif le trinôme ■■ ■ ■ , -^- 7-^^ — - — 1 .

On voit que la formule [d] , si on l'appliquait aux points [ce, y) situés hors de l'ellipse de contact, donnerait à l'abaissement w des valeurs moindres que les valeurs effectives exprimées par ((^'). Donc la partie libre de la surface du sol reste bien, d'elle-même, comme il le fallait, en dessous du paraboloïde limitant le corps et avec lequel se confond la partie comprimée.

Il n'y a plus qu'à vérifier si les deux parties se raccordent, sans aucune discontinuité du plan tangent, tout le long de la courbe (ayant pour projection horizontale l'ellipse

"r-— =1) qui est leur limite commune. On pourrait le

déduire d'un théorème démontré dans le n" 33 { au haut de la page 146) et de ce que la formule (ô) donne , à une très

petite rlistauce o de cette courbe , des valeurs de ; i[ui sont de l'ordre de ôs". Si, en. effet, l'on appelle x, y les deux coordonnées d'un point de l'ellipse et K l'expression

— -I- ^\ , de sorte que les deux cosinus directeurs de la

normale à l'ellipse , menée vers le dehors , y soient -^ > -7^ ,

les deux coordonnées horizontales d'un point intérieur situé, sur le prolongement de cette normale, à la distance ô,

égaleroni w (1 ^j, y iX — -j^] , et l'expression [h) de p

V deviendra aisément ^ — ; \ ~. Mais on le reconnaît aussi

en évaluant le dernier terme de {d') , pour un point situé à la très petite distance S hors de l'ellipse , et ayant les coordonnées horizontales x fl +--f)f y {' •- -jt\- Le trinôme'

- ■■ ■ ■ ^ H- — ■-■^ — 1 ou , sensiblement .

y vaut , par suite ,

expression positive entre les limites v = o, v = 4/ 2KS, et

qui est la dérivée de ^^ 2Kv'^ ^ j . Le dernier terme de

(c?'), diiFérence entre les deux ordonnées correspondantes de la surface libre du sol et de celle du sohde considéréj y prend

ainsi (vu d'ailleurs D = ab) la valeur -■ ■- - --.-;■ V /^ S \ 0,

^ ' 2Tr|A(X-t-]j.]«a V K V '

laquelle est d'un ordre de petitesse en S supérieur au premier. Donc, ces deux surfaces ont bien, en tous les points de leur

courbe de jonction — -i- -— =^ 1 , \m contact du premier ordre.

En résumé , toutes les conditions du problème seront satisfaites par le mode de distribution (b) du poids P du

corps à l'intérieur de l'ellipse -^ -^^ -rr = 1 ? pourvu que les demi-axes fl;, & de celle-ci soient ceux que donnera la résolution des deux équations transcendantes (b") , où

D=\,. (a^-t- v^)(6'4-v^). Et l'on peut, vu les formules ip), {ô") 5 [d] , {d') , énoncer les lois suivantes :

V La surface de coniaci est limitée par une ellipse, ayrm t songrandaxe et sonpetit axe tangents aux deux sections normales principales du corps, menées en son poinile plus bas, ■ dont les rayons de courbure sont, respectifemmt, le plus ', R, et, le plus petit, R' ; de plus, . la forme de l'ellipse ne i que du rapport des deux rayons de courbure R, R', mr une valeur donnée de ce rapport, ses axes sont ï la racine cubique du produit de Vwn des deux rayons de courbure par le poids P du corps;

2" Une couehe d'un sable homogène, répandue à Vi% de Vellipse de contact de manière à y figurer la Té% effective de la charge totale P, a la forme d^un demi-ellipsoïde à axe vertical, son épaisseur déc?-oissant graduellement depuis le cent^'e jusqu'au bord où elle s'aTmule;

3" L'abaissement w„ au c&thtre de Vellipse, ou pour x = o

et y = 0, est la somme des de"" ~'^~'~ ■""

t à une extrémité {x — ±a, y = o)du i axe et à mte extrémité [x — q, y^^b) du petit axce : il est donc proportionnel, pour une valeur donnée du rapport

~, à la puissance f du poids 'P et à la racine cubique de

L'espace total décrit par l'ellipse de contacL -^ab dans son déplacement vertical descendant a pour expression

les intégrations s'étendant à toutes les valeurs de x et de y qui vérifient l'inégalité -^^ ^ <■ 1 ■ Si l'on pose œ — aof. y = hf ^ cette intégrale double devient