JJ

avec la condition que la somme positive x"^ -\- y"^ reçoive toutes les valeurs inférieures à l'unité ; et l'introduction de coordonnées polaires i el Helles, queic'=ï cosO, y'=ï.sinO, la change eu

\'aleur équivaleute, d'après {c"'j, à f^^ahv^. Divisée par faire '^ab , elle donnera, pour l'abaissement moyen de toute la surface de contact, f w^-, c'est-à-dire les trois quarts de l'abaissement du centre , ou , vu les formules [c') et (155) {"multipliée par P] , les -^ de l'abaissement constant qu'aurait éprouvé cette surface, supposée limitée au même contour elliptique , si le corps avait en sa base plane et horizontale. Ainsi , l'abaissement moyen de la s-m-face de contact est les trois quarts de Vabaissemmt de son centre et il dépasse de un huitième celui qui aurait lieu si le corps devenaitun disqueplat la recouvrant exactement.

Imaginons que l'on ajoute au poids P, distribué d'après la formule [lî) , un excédent quelconque de charge réparti , sur la même surface elliptique de contact, d'après la for-

mule (128) [p. 162J , ou ne produisant qu'un abaissement constant des divers points de celle-ci : la surface du sol aura sa partie directement comprimée de même forme que précédemment, mais avec un relèvement brusque, tout autour, de sa partie libre. Donc le mode complexe de répartition ainsi obtenu sera celui des pressions qui s'exercent sous un poinçon cylindrique, pressé assez fortement contre le corps élastique pour le toucher par tonte sa base inférieure , dans les cas où la section droite du poinçon est une ellipse et , sa base considérée , un paraboloïde te] ,

([ue le rapport — de ses deux paramètres R', R, fonction de

celui des demi-axes ô et a de l'ellipse , égale le quotient des deux intégrales {p'"). Quand l'ellipse seréduit à un cercle, la base du poinçon devient ainsi un paraboloïde quelconque de révolution conasique à la surface latérale.

Mais , revenant à notre problème d'un corps à surface inférieure continue, il nous reste à résoudre , au moins d'une manière .approchée . les é.'iuations transcendantes {b") , oii les deux inconnues sont a et h. Pour cela , exprt-, nions d'abord les deux quantités — , -- définies par [b'") , au moyen des deux intégrales elliptiques usuelles , dites

a. Jo V- + -fi D Jo \'

dont les secondes formes, où e désigne l'excentricité

\/ \ j, se déduisent des premières en posant v — ^tangf»,

et dont les développements en série, obtenus par le procédé qui a donné l'expression (98) (p. 117J , sont

'tU'J ""3 (2 4 '7 "■■■

~ 2«— 1 U 4 ■■■ ^ii~ '"1 ~

Il suffit d'observer, d'iine part, qu'en iiniltipliaiU seconde {f/") par fâ — //, il vient ideufifiuement

et que, d'autre part, la relation (c") équivaut à

et, ajoutée à la précédente, donne 1 1 E

On déduit de là , vu d'ailleurs les formules {d'") , 1 F— E c r 3/1 y- .B;13 j\> 2ii+l /l 3 2ii— 1 \'

1 ^4«>(l— «■)[ '^lïVÎ'l ^3"l2 4°/ "^■■'^»-t-lU 4'" 2« "',

/llLl.,]\ , 12«+1)'/13 2.-1 ■l' -1. 3 U 4 i "■ «+1 \2 4 '" 2» / "'J'

et,j par suite, en diviyant linalement la première de ces séries (ej par la dernière jusqu'au terme en e^,

~ \TV 3 I2 4 '/ 50 la 4 s" y "■

Or — exprime , d'après {//') et {// ), le rapport ~ ; d'autre part , le troisième membre de (/) n'est inférieur au radical [— ] ^= (1 — é^f^, développé par la formule du binôme , que d'une quantité,

généralement comparable ù son premier terme, très petit

—.Kn mettant cette quantité sous la forme fl-«^)''(rTK -^ ...] 512 ■ ■ \512 /

l'expression de — - deviendra |— ] { 1 -

pourra s'écrire encore

Si (lotie on appelle e le nombre r—--, + , . . , très voisin rie

zéro excepté pour les valeurs les plus grandes <Ie l'excentricité e, on aura

et. par suite,

D'ailleurs , la formule (c) montre que e s'approcliera de l'unité , sans l'atteindre , quand l'excentricité tendra vers sa limite supérieure 1 .

En faisant, dans (e"'), s = », on a pour — la valeur appro-

le reconnaît en employant les tables elliptiques de Legendre. Par exemple , la valeur 0,1272 de — . ou de —, correspond

à e = sin 75" ou à — = cos 75°=^ 0,2588 , cas où les tables de

Legendre donnent , pour les logarithmes décimaux de E et F, 0,03198, 0,44218, qui, utilisés dans le calcul du second membre de (e') , permettent d'évaluer le rapport

-^ = 0,1272. Or l'expression (—Y, ou (0,1272)*, vaut alors 0,2529 , résultat qui n'est en erreur relative sur 0,9588 que de -rj environ. Pour e = sin 80" ou — = cos 80" = 0,1736, les logarithmes de E et F sont 0,01708, 0,49878,

et l'on en déduit ^ ou ~ := 0,06743 ; d'où ffî = 0, 1657, valeur de — approchée à -^ près environ. Pour e = sin 85" ou - :^ cos 85" = 0,08716 , les logarithmes de E et F sont 0,00547, 0,58340, et l'on trouve ^ := 0,02177, {^V

yGoosle

= 0,07798, nombre en erreur relative sur 0,08716 de -— g-

environ. Ainsi , la formule (e'"), prise avec e = o , est encore un peu approchée même quand le rapport — n'atteint que — .

On voit aussi, que , dans (e"), l'exposant - ■ ■■■ grandit

depuis -^ jusqu'à 2 , à mesure que — décroît de 1 à zéro :

par suite , — décroit de 1 à zéro en même temps que — ■.

A chaque valeur de -j~ il n'en correspond donc qu'une

seule de — , et les deux équations [h") déterminent sans aucune ambiguïté l'ellipse de contact. 11 suffirait de faire croître graduellement — depuis zéro jusqu'à 1 , et de calculer chaque fois comme on vient de le montrer, à l'aide des tables de Legendre et par la formule (e') , le rapport -5correspondant, pour former un tableau complet des valeurs de celui-ci : on aurait alors immédiatement — pour toute

Les formules (e) , où les intégrales

— , —, dé&nies par (&'"), sont connues grâce aux équations

{//') , se résolvent ensuite immédiatement par rapport à l'inconnue unique, a^, qu'elles contiennent, et l'on obtient ainsi , non plus seulement la forme de l'ellipse de contact , mais ses dimensions.

Cherchons dans ce but quelque formule analogue à (e'") et qui, de même, se prête à un calcul approché de a. Si

l'on multiplie la première (e) par — , on trouve identiquement

i^''' i^tf, (^ V ^V^^ A' 181/13 5

Or, dans celle-ci, l'expression entre parenthèses, au second membre, n'est autre chose que le' développement,

par la formule du binôme , de (— ) tel qu'on le déduit du

troisième membre de (e'), et, d'autre part, les termes

— o'ioQ — ■ • peu\'ent s'écrire évideniraent

JL4.r

vu que le développement de 1 — ^ — ] ' suivant les puissances de e est — 2 — .... Il vient ainsi ;

Si donc on désigne par î' l'exposant -j7^- -t- .... sensiblement égal, saut' peut-être pour les valeurs les plus grandes de e , à celui qu'on a appelé plus haut t [p. 2^] , on aura

Remplaçons-y - par -^, « par sa valeur, ^^^^^^-^j-—-,

tirée des premières {/)") et [b'") comparées , et il viendra finalement

132,.{X+1.) Si l'on fait, dans le second membre, e' = o, il est clair

qu'on aura une vale^ir de a approchée par excès, et coni-

portant une eiTeur relative, {-^7)" — 1? légèrement supérieure, sauf pent-stre pour les plus grandes valeurs de e , a s

à l'erreur relative par défaut , 1 — [— J ^ ^'^'' , commise sur la valeur (/") de — en y posant £ = 0. Dans les cas , traités ci-dessus avec l'aide des tables elliptitjues de Legendre , où

tivement, pour le rapport de fl à V/ —, — , , 1,2493,

' -^ "^-^ * 4TriJ. (À -I- [l] ' ' '

i /F~/ eT 1,3575, 1,5641, tandis que les valeurs exactes, y —il— ^j,

[données par la première (e)] de ce rapport sont 1,2194, 1,2964, 1,4163. Les résultats par excès obtenus comportent

donc les erreurs relatives -jr ; ôï" ®'' qT environ , alors que celles des valeurs de — approchées par défaut étaient ^r ; — et — environ. L'inégalité des eiTeurs relatives des deux formules approchées de — et « comparées l'une à l'autre paraît donc s'atténuer quand le rapport —diminue ; en sorte que ces formules seront, autant l'une que l'autre, passablement admissibles même pour des valeurs de —

assez voisines de zéro. Leur emploi dispensera, comme on voit, de former le tableau, dont il a été parlé tout à l'heure, des valeurs de ^ correspondant à toutes celles de — et,

ensuite, une fois — connu , de recourir de nouveau aux tables de Legendre pour obtenir a.

Remarquons entin que le rayon , K.'ab ou a \/ — , d'un cercle équivalent à l'ellipse de conlaci vaudra, d'après

{/"] \, ah= ;senaLblf-meiit) —^ ,^ ' ' , PR' 3 \/' ^ — M ■

V ' L3 2 ji. (A -H ,1; \ R /J

Gomme l'expression R' [3\/ -^ — l), ou 3R^ R'^ — R'. a ses deux dérivées par rapport à R et à R', savoir j — j ot 2 (-^7) — 1, essenfiellemeut positives, ia surface

T-.a/j de contact sera d'autant plus petite et, par suite, la pression en ses divers points d'autant plus forte, que les rayons de courbure R, R' se trouveront eux-mêmes plus faibles, surtout le second, par rapport auquel la dérivée obtenue est supérieure à l'unité et peut devenir très grande. Le solide déposé sur le sol le rompra donc inévitablement , si ses deux courbures ^ , — dépassent certaines limites (*).

(*) On t'ômar()iiei-a que, dans ie problème traité ici, 110a Roulement des conditions spéciales nu définies devaient être vérifiées aus deux surfaces limites, soit de contact, soit libro , mais que , de plus , ces deux .^ui'faoes elles-mêmes étaient d'aboivi inconnues; car la détonninalion de leur contour commun a constitué la partie la plus difficile de la solution. Je iie coiinais aucun pi'oblème de physique mathématique, pai'mi cens qu'avaient abordés jusqu'à présent les géomètres, où cette difficulté se présentât, f^e seul qui me paraisse avoir, so«sce rapport, une lointaine analogie avec le précédent, est ia détenniLialioii , sur un coure d'eau à l'état permanent, de l'emplacement d'un ressaut, reliant deux parties du eoui's d'eau dont l'une est à i-éginie toii'cntueux et, l'autre, à régime tranquille. Dans la question de la chai^ qui reule , avec une vitesse constante , sur une poutre élastique horizontale appuyée ou encastrée à ses deux bouts , les points de séparation des deux parties libres da la poutre et de sa partie pressée ne sont pas inconnus , mais seulement vaiiables. On sait que , Jusqu'ici , cette variabilité a été justement un obstacle à la résolution complète du problème, dont M. Phillips, M, Renaudot et M. de Saint- Venant ont bien donné une intégi'ale particulièi'e {oîi les déplacements varient d'une manière très graduelle, sans ocillatinns), mais dont l'intégrale, plus complexe , qui vérifierait la condition de repos înilial de la poutre , reste encore ignorée.

52. — Rapprochement entre le potentiel d'une couche elliptique qui est aussi une couche de niveau et les potentiels soit ordinaire , soit logarithmique à trois variables . relatifs à un seul point.

J'observerai que le potentiel (152) [p. 226] .aurait pu conduire aux deux potentiels, ordinaire, I —, et logarithmique,/ log [x — Xi -^- r) dm, réduits du moins à un seul élément. A cet effet, supposons , dans (152), & =o. Il vient

VV^-v^ « ,«.H\/«*-

eomme on le reconnaît par la différentiation. Faisant maintenant tendre a soit vers zéro, soit vers l'intini, concevons que les ellipsoïdes homofocaux (153) dégénèrent soit en sphères, soit en paraboîoïdes de révolution.

Dans le premier cas, —disparaît, au troisième membre de (157), en comparaison de — , et l'on trouve, ii la limite.

c'est-à-dire U =~, vu que (153) donne alors v^ = a;- ->- / -^ z'

ou V =1., L désignant la distance du point {x,y ,z) à l'origine , où est alors concentrée la masse , égale à 1 , que l'on considère. C'est bien la forme élémentaire du potentiel ordinaire.

Dans le second cas. pour a intini, on trouve, en observant

que — disparait devant — et — devant l'unité, puis en posant — =p,

i^'ailleui's, si nous • transportons l'origine à un foyer ou que nous remplacions x par a -^ x , l'équation (153), devenue

ou, sensiblement,

donne t' -- [p — xf ou ^ — t -*- a;. D'où

La partie variable de U est bien proportionnelle à log [x -*- x), qu'on peut regarder comme un potentiel logarithmique à trois variables / log [x — a;, -^ t.) dm, réduit à un seul élément et i\ sa forme la plus simple.

53. — Propriété remarquable que présente le mode de distribution à la surface d'un disque elliptique.

Reprenons l'étude de la répartition d'une cliarge donnée, à la base d'un disque elliptique solide posé sur un sol

horizontal, pour démontrer une propi'iété intéressante qui caractérise ce mode de distribution. Elle s'énonce ainsi;

Des parallèles éguidisûantes in/lnimeni voisines, m&tiées suivant une direction quelconque dam le plan -de l'ellipse de contact ^ divisent cette ellipse en bandes d'aire inégale, mais toutes égalemenù chargées .

Onlevoiten prenant un axe des y' parallèle aux droites oonsidérées, un axe des x suivant la direction qui leur est conjuguée dans l'ellipse, et en observant que toutes les bandes, ayant même largeur, sont divisées par des parallèles aux x' en parallélogrammes élémentaires dont l'aire est proportionnelle à dy' et la charge à ^di/ . D'ailleurs, si a', 1} désignent, dans Tellipse, les demi-diamètres conjugués

pris pour axes des x' et des y' , l'expression — -t- 7^ , en un

point quelconque, deviendra évidemment -7^ + -77^, et la pression p par unité d'aire sera, d'après (128) [p. 162], proportionnelle à (l 7i^\i\ ■ i"*!"" s^iito, y' variant, le long

"^ d'une bande, enire les limites -^-//\'l ^. la charge

d'une bande se trouvera proportionnelle à

Si nous adoptons sous le signe/une nouvelle variable, te, définie par la relation

u\/ l — ~, d'où 1// := !/( 1 ~ -7^ ) A,

l'espression (158) deviendra

Xdv,

quantité qui est bien indépendante de l'abscisse œ' do la bande.

Cette propriété est tout à fait caractéristique du mode de répartition de la charge : car , pour ioiUe hase d'appui à contour convexe , il ne peui jamais y avoir deux modes distincts de répartition, dans chactm desquels des parallèles équidisianfes ayant une m'iet la surface en bandes é.

Supposons, eneffetj deux modes de répartition jouissant de cette propriété. Chaque bande infiniment étroite portera évidemment, dans les deux, la même fraction de la charge totale. Par suite, si l'on prend ladifféreiice, /"(a;, j/), des deux expressions de p qui leur correspondent, la valeur moyenne de cette différence aux divers points d'une bande égalera zéro; ce qui revient à dire que la fonction f{x,y) est nulle en moyenne le long de toute corde joignant deux points du contour de la base considérée. Or concevons qu'on trace, à l'intérieur du contour donné, \m autre contour très voisin, également convexe , mais d'ailleurs quelconque. La fonction f{x, y), pour s'annuler en moyenne le long de toute corde très petite tangente à la courbe fermée intérieure , devra ou être nulle identiquement , ou changer de signe sur toutes les cordes, c'est-â-dire partout ^ dans l'espace annulaire extérieur à cette courbe. Le second cas étant impossible, vu la continuité admise des valeurs de p, la fonction f{iv, y) s'annule sur toute l'étendue comprise entre les deux contours dont il s'agit; et elle reste, par suite, nulle en moyenne le long de toute corde joignant deux points du contour intériem-. On raisonnera donc sur celui-ci comme on l'a fait sur le proposé , et , de proche en

proche, on prouvera que f{x, y) s'annule partout, ou que les deux modes de répartition considérés ne peuvent être distincts.

Les parallèles équidistantes ainsi menées dans le plan de la base d'appui peuvent d'ailleurs être regardées comme les intersections de cette base par un système de plans parallèles , équidistants aussi ; en sorte que tout système de tels plans coupe l'ellipse de contact en bandes également chargées.

54. — Extension de cette propriété au cas d'un ellipsoïde étecèrisé : des plans parallèles équidistants le divisent en zones électriques équivalentes.

La propriété que présentent des charges, soit électriques, soit pondérables, réparties à la surface d'un disque elliptique, d'être divisées en parties équivalentes par tout sysfêmede plans parallèles et équidistants , s'étend à une couche matérielle homogène , distribuée sur toute la surface d'un ellipsoïde ■ proportionnellemejit à la distance qui sépare , en chaque endroit, cette surface de celle d'un ellipsoïde concentrique et semblable infmiment voisin; mode de distribution qu'on sait être celui d'une charge électrique en équilibre sur un conducteur ellipsoïdal. En effet, d'après ce qu'on a vu au n" 37 (p. 160), la charge d'un ellipsoïde, supposée réglée ainsi, devient celle d'une plaque, quand on projette obliquement chacune de ses parties sur le plan diamétral d'un sj'stème de cordes parallèles aux plans sécants proposés, les transports ou déplacements se faisant le long de ces cordes. Or, avec un tel mode de projection, les charges des zones ellipsoïdales donnent justement, sur le plan diamétral, les charges, que l'on sait être toutes égales, d'un système de bandes parallèles et d'égale largeur. Donc , des plans équidistants , parallèles à une

direction quelconque, divisent un conducieur ellipsoïdal en zones électriques équivalentes.

L'épaisseur de la couche comprise entre l'ellipsoïde proposé et un autre, concentrique et semblable, infiniment voisin, devientconstante dans le cas particulier de la sphère: alors i'équivaleiice des tranches faites par les plans parallèles revient à celle , connue depuis Archimède, des zones sphériques de même hauteur.

Dans le cas général d'un ellipsoïde à trois axe^ inégaux , le théorème démontré comporte encore un énoncé qu'il est bon de connaître. On sait que la distance d'un ellipsoïde à un autre concentrique et semblable, infiniment voisin, est proportionnelle, en un point quelconque, à la perpendiculaire abaissée du centre sur le plan tangent correspondant. Donc la charge électrique d'un élément de ia surface est proportionnelle au produit de cet élément par îa perpendiculaire dont il s'agit, c'est-à-dire au volume d'une pyramide ayant pour base l'élément et pour sommet le centre. En remplaçant ainsi les charges par des volumes, on verra que des surfaces coniques, menées à partir du centre d'un ellipsoïde comme sommet et s' appuyant sur les ellipses d'intersection^ de rellipsoïde par- des plans parallèles, équicliitants , divisent le volume de l'ellipsoïde en parties équivalentes.

On reconnaît aisément qu'il existe au plus un mode de distribution d'une charge électrique, à la surface d'un conducteur convexe, qui jouisse de la propriété démontrée ici. En effet, si deux modes distincts pouvaient la présenter, une même zone devrait évidemment contenir la même fraction de la charge totale, dans ces deux modes ; et, en appelant /"la différence, par unité d'aire, des charges correspondantes en un point quelconque de la surface , cette différence devrait.avoir sa valeur moyenne, sur les divers éléments d'une môme zone, égaleàzéro. Or, toute calotte détachée de la surface par un plan sécant est composée de pareilles zones ; en sorte que ta fonction /s'y trouverait également

nulle en moyenne. Par suite, cette fonction ne pourrait recevoir une valeur finie en aucun point, quel qu'il soit , car tout point de la surface pourrait être considéré comme faisant partie d'une très petite calotte. On aurait donc /"= o partout, et les deux modes considérés de distribution ne seraient pas distincts.

Observons enfin que, si l'on mène sur une plaque elliptique des lignes semblables et concentriques au contour (ou par suite d'égale pression) , à des distances telles , qu'elles divisent la plaque en bandes annulaires toutes également chargées, ces bandes seront les projections de zones, également chargées aussi, que décoiiperaient, dans tout ellipsoïde ayant la plaque pour section diamétrale, des plans parallèles à celle-ci et équidistants.

§ Vï. — ËTDDB DBS POTENTIELS , POUR LES POINTS INTÉRIEURS AUX MASSES CORRESPONDANTES OU POTENTIANTËS (*).

55. — Existence des potentiels, en tant que fondions finies e continues, à l'intérieur des masses par rapport mixgueUes on

Nous n'avons eu à mettre en œuvre, dans les recherches précédentes, que des potentiels de couches minces ; en sorte que nous pouvions supposer tous les points de l'espace situés hors de ces couches, sauf à nous approcher indéfiniment de celles-ci, dans l'occasion, et à ohtenir par la méthode ordinaire des limites les résultats désirés relatifs à leurs propres points. Nous n'avons niême employé lepotentiei logarithmique à trois variables , / log {z — Zi -h- r) dm, que pour des valeurs de ^ — Zi positives, de manière à nous dispenser de voir ce que deviendrait ce potentiel aux points {x,y,z) où la fonction sous le signe/serait susceptible de prendre des valeurs infinies (pouraîi— a;, Vi^^y, Zi y z). Mais d'autres applicalions des potentiels à la théorie de l'équilibre d'élasticité peuvent exiger leur étude pour des masses continues à trois dimensions et en des points intérieurs à ces masses. Il y a donc lieu de faire ici cette étude.

Cherchons d'abord à reconnaître si le potentiel inverse et le potentiel logarithmique restent finis et déterminés en

(*) M. Beltrami dés^ne très lieureasement les masses dont on prend le' potentiel en un point donné (as, y, s) par le terme de masses potentiantes (masse potemianti], ût il appelle point potentré (jiunto potemiato) le point {x, y, z] lui-

des points quelconques, quoique la fonction sons le signe/ puisse y prendre, soit une valeur infinie, s'il s'agit du potentiel inverse, soit une infinité de valeurs infinies, s'il s'agit du potentiel logarithmique.

Considérons le premier,

OÙ r désigne la distance de l'élément fixe de volume , c^îh, qu'occupe chaque élément dm de la masse, au point quelconque (3î,y, ^) pourlequel on évalue le potentiel, etoùpest la densité, en un point (a!i,^i, z^ duvolumeélémentairet^aî. Pour simplifier, nous supposerons cette densité, que nous représenterons par p(a!i, 2/1,2^1), fonction continue de ^1,2/1,^^1, même à la surface des masses d'étendue totale finie /(?w, où nous /admettrons ainsi qu'elle s'annule. Cette hypothèse facilite plusieurs calculs : et elle revient , dans les applications que nous aborderons, à admettre que les forces appliquées à un solide élastique varient graduellement d'un point à l'autre , en décroissant plus ou moins rapidement avant de s'annuler ; supposition évidemment permise.

Pour définir le potentiel U quand le point {;x, y, z) fait partie de la masse, on convient de n'étendre d'abord la somme / qu'aux éléments d-^ extérieurs à une sphère décrite d'un très petit rayon R autour du point (a;, y, z) comme centre, puis de faire tendre R vers zéro et de considérer comme étant le potentiel U la limite, s'il en existe une, vers laquelle tend la somme. Or, on sait que cette limite existe en effet ; car, à mesure que R décroit, les couches sphériques qui s'ajoutent ont pour volume — 4TCR^t?R et, leur densité p étant finie, leur potentiel est de l'ordre de — 4ttR(^R , c'est-à-dire , en somme ou après intégration , comparable à la quantité %zW, aussi petite que l'on veut. Donc la fonction U existe. De plus, on peut, sauf erreur inférieure à toute quantité donnée, lui subtituer l'intégrale

f - — , étendue seulement aux éléments dvi qui se trouvent

en dehors d'une sphère très petite, décrite, avec un rayon convenahle R , autour du point [x, y, z) comme centre. On verra aux numéros suivants combien est féconde cette

substitution, si naturelle, de l'intégrale 1 ^-— ainsi restreinte, à sa valeur limite U. Il est aisé de prévoir, dès à présent, qu'on évite de la sorte les valeurs intimes de la fonction sous le signe/, ou de ses dérivées. Et cette substitution est parfaitement légitime , même pour le calcul des dérivées de U ; car , lorsque deux fonctions , supposées graduellement variables, diffèrent constamment très peu l'une de l'autre , elles présentent dans leurs cours les mêmes affections ; en d'autres termes , il est autant permis de négliger les dérivées de leur petite différence que cette différence elle-même.

Passons actuellement au potentiel logaritlimique à trois variables ,

(160) ^ =y log (ï — !i +■ r] dm =/p log (î — Sj -h v) d^ ,

dont nous avons à nous occuper pour les points {x, y, z) de l'espace qui ont leur ordonnée z moindre que celles , Zt , de certains éléments odts de la masse, et, en particulier, pour les points intérieurs à cette masse. Comme la fonction log [z' — Zi-t- r) devient infinie (égale à log o) en tous les points où l'on a Wi = ce , ^i = p, z, y- z , c'est-à-dire sur toute une partie de la parallèle aux z dont les coordonnées sont a; et ^, il y a lieu de construire, autour de cette parallèle comme axe , un cylindre d'un très petit rayon R , de n'étendre d'abord le signe de sommation /qu'aux éléments dis extérieurs à ce cylindre et puis , faisant tendre R vers zéro , de chercher si l'intégrale s'approche indéfiniment d'une limite déterminée, qui sera par défîjiition le potentiel '^. Or, quand on fait diminuer R de — dB., la masse à considérer augmente d'une couche cylindrique ayant pour

volame-2-^R(?R l dZi : comme p reçoit très sensiblement ,

en un point quelconque [xi, ^i, «i) de cette couche, la môme valeur qu'au point très voisin [x, y, z^) de l'ase, et que d'ailleurs ry égale ■\['^+[z-Zif , le potentiel s'accroît en même temps, sauf erreur relative négligeable, de la quantité

Par Huite, si l'on fait diminuer en tout R depuis une petite valeur R jusqu'à une autre incomparablement plus faible e, l'augmentation éprouvée par le potentiel vaudra

>7t y (.'\a!,n,i^)dz^ j hg (i — îi^yh

Cette augmentation totale est insensible, même quand on y fait abstraction, sous un signe /, du petit facteur R. En effet, les seuls éléments de l'intégrale qui pourraient donner unc somme notable sont ceux pour lesquels l'expression z-Zi +- \/"R* -h{z- Zif est voisine de zéro et a un logarithme d'une très grande valeur absolue , c'est-à-dire ceux pour lesquels l'ordonnée ^i est plus grande qae z. Mais l'expression dont il s'agit est identiquement le quotient de R^ par la quantité Zi- z -h\/ R^-i-{z-Zif, laquelle a son logarithme croissant de logR à log2(^i — ^)i quand ^^i v- ^^ y grandit de zéro à une valeur quelconque sensible. Donc les plus grandes valeurs absolues du logarithme à considérer , varient de logR àlogR*on21og R; les éléments correspondants de l'intégrale prise par rapport à R sont seulement comparables , même en faisant abstraction du petit facteur R, à logR c^R=(^(RlogR — R); et îeur somme, de

l'ordre de R logR, est bien, insensible, car on sait que le produit R logR tend vers zéro en môme temps que R.

Ainsi, l'intégrale / a log [2^ — z■^ -+■ r) dm, étendue à tous leséléments de volume dis qui sont en dehors d'un cylindre de très petitrayonR décrit autourde la droite(a;i=i»,yi=^) comme axe, iend bien vers une limite déterminée à mesure qu'on fait décroitre.R. Par suite, dans l'étude de cette limite 41 et de ses dérivées en os, y, z, on pourra, sauf erreur négligeable, substituer à 4* l'intégrale même, /p log {z — z^-i-rjd ïh, étendue seulement aux éléments dm extérieurs au petit cylindre. Ce procédé, tout comme la méthode analogue concernant le potentiel inverse, aura l'avantage d'écarter les difficultés qui se présenteraient si la fonction sous le signe /devenait infinie pour certains éléments de l'intégrale.

56. — Différentiaiion des intégrales triples dépendant de trois paramètres , et où la fonction sous les signes / peut devenirinfinie pour l'élément dont les coordonnées égalent ces paramètres.

Avant de calculer les dérivées, par rappwt à a?, y, z, du potentiel ordinaire j - — , considérons en général une intégrale de la forme //t^tn, où le signe /s'étend à tous les éléments de volume dzs de l'espace , et où la fonction f, dépendant des coordonnées Wj, ^/,, 3^1 de l'élément t^ra, varie, de plus, en fonction de trois paramètres se, y, z, coordonnées d'un point déterminé de.l'espace, et s'annule pour toutes les valeurs de x„ y^, z^, qui correspondent à des éléments d-m extérieurs à certaines régions finies en tous sens. Comme nous aurons à considérer des cas où la fonction/', finie partout ailleurs, pourra devenir infinie pour l'élément rfaî qui comprend le point(ir, y, 2)j c'est-à-dire pour a:, = a;, ^1=^, z^=z, nous conviendrons de n'étendre l'intégration/ qu'aux élé-

ments dm extérieurs à ime très petite splière, d'un rayon constant R, décrite autour du centre {x, y, z) : supposition permise, comme on a vu, car, même dans le cas où /'devient infini à ce centre ^ elle n'altère l'intégrale, supposée essentiellement finie à la limite R =0, que d'une quantité inférieure à tout nombre donné , aussi petit qu'on voudra, pourvu qu'on prenne la constante R assez petite elle-même. Gela posé, cherchons à différentier par rapport à iC, ^ ous: l'intégrale /;î^s! , ainsi entendue. A. cet effet, imaginons que le point [œ, y^ z) vienne se placer, par exemple, en {x -t- (fe, y, z). La petite sphère dont il est le centre éprouvera également latranslation dx. Sil'on divise sa surface en deux hémisphères, par un grand cercle normal aux j», chaque élément de l'hémisphère situé du côté des a: positifs, et ayant une certaine projection, rf a-, sur le plan de ce cercle, engendrera un prisme ohlique, d'^dx, que la sphère viendra occuper ; tandis que, dans l'autre demi-sphère, l'élément qui a même projection d o- sur le plan du grand cercle décrira un prisme pareil, qui sera délaissé par la sphère. Ce dernier volume t^o-t?;» donnera donc, dans l'intégrale //ï^îa prise pour le point [œ-^dx, y, z), un élément ^(?î3, ou fd'^dx , qu'on n'avait pas à compter au point [x, y, z) : sa valeur sera

/"u (/aï ^ /o dr da; ,

si nous appelons f^ la valeur qu'y reçoit la fonction/, et qui s'obtient en mettant pour x,y,zlescooTdowaéesx-^dx,y,z du -centre de la seconde sphère, ou, sensiblement, celles, 3^,y,z, du centre de la première, pour yi, z, les coordonnées de la projection d^s située sur la hase de la demi-sphère , enfin pour x^ la valeur

que prend cette coordonnée sur la demi-sphère dont il

s'agit. Au contraire, l'autre prisme, d'^dx, envahi par la sphère, correspond à un. élément

f^ êis =1 ff dn dx

que perd l'intégrale, et où /(désigne une valeur de /obtenue en mettant pour a), p, $, ^i, :^i les mêmes valeurs que précédemment, mais pour Xi la valeur

hy/R'--(y,-y}^-{.,

relative à l'autre hémisphère. Gomme il correspondra à chaque élément (?<r de la base commune des hémisphères deux éléments analogues, l'un gagné, l'autre perdu par l'intégrale, l'excès total des éléments qu'elle gagne sur ceux qu'elle perd vaudra da;/{f„ — A)d<^. On l'évaluera plus aisément en prenant des coordonnées polaires t et w telles, que l'on ait

(161) y, — )/ = tcosM , ïj — 3 = tsinu.

Alors rf-T égale t dw dx, et l'excès considéré devient

(162) dss i dfo j {f^—f^]-cdx..

Il reste à voir quelle variation éprouve l'intégrale//;^ ra, du fait des éléments qui lui sont communs dans ses deux états successifs, c'est-à-dire qui correspondent à des volumes rfra extérieurs aux deux sphères. Gomme œ seul y varie,

chacun de ces éléments croît de |— (fc | i^ïs ; et l'augmentation qui en provient est en tout

(163) dis C-L diR,

où le signe /s'étend, comme pour l'intégrale m.ëme/fd^,

sauf erreui négligeatle, à tous les éléments dm extérieurs à la sphère de rayon R décrite autour du centre {x, y, z).

La dérivée en œ de f fdis étant le quotient par dœ de la somme des deux expressions (162j et (163), on aura la formule chercliée de différentiatiou :

(164) i-Jfi^ =f^ i^ *X'"''-X''i^« - « ^*-

Dans tous les exemples que nous aurons à examiner, la fonction /'sera le produit d'un facteur p (Wi, yj, Zi) , partout fini ou nul, et ne dépendant que des coordonnées {S)i ,yi,2i) de l'élément de volume d^s, par un autre facteur de la forme (f {a^i — iP, ^1 — y, ^i — ^) fonction seulement des trois différences «j — œ, y^ — y, z^ — z. Alors, pour tout point (a;, y, z) aux environs duquel la fonction p se trouvera continue, ce facteur p sera sensiblement le même, sur les divers éléments de la petite sphère de rayon R , qu'au centre {x, y, z), et l'on pourra, dans le dernier terme de (164), le remplacer par la constante p (x, y, z). La formule (164) deviendra

Tl importe de remarquer dans quels cas le dernier terme de cette relation (165) est négligeable, c'est-à-dire nul à la limite R= o, et où, par conséquent, la différentiatiou. do l'intégrale/pf t^s peut se faire simplement sous le signe-/. Si la fonction tf est homogène, du degré n, enxi — x,yi — y, Zi — z, ou que par suite, dans le dernier terme de (165), la différence , qui y paraît , de deux valeurs de f , se trouve

d'un ordre de petitesse ou de grandeur généralement égal à celui de t", l'expression à intégrer par rapport à t j sera comparable à i." ■^' dt ; ce qui donnera une intégrale de l'ordre de R""^'^, insensible pourvu que n soit plus grand que — 2. Donc, l'intégrale fç'^d ts peut, en général, sedifférentier sous le signe./, quand la fonction f est d'un degré supérieur à — %par rapport àœ, — x,pi — y,z, — z.

La dérivée — / ptpf^s comporte une autre forme , très

simple, lorsque la fonction p varie partout avec continuité, môme à la limite des espaces où elle s'annule. Pour l'obtenir, il suffit d'observer que, si l'on passe du point [œ, y, z) au point (x -f- dx, y, z), un élément de volume ayant pour coordonnées Xi-*- dœ ,yi, ^, prend exactement, dans l'intégrale et dans la fonction f , la place et le rôle de celui qui avait les coordonnées Xi, yi , Zi. Seulement, a s'y trouve

changé en p -(- -y- dx , puisque la variable Xi y dépasse de dx sa valeur pour l'élément de volume précédent. Donc l'intégrale croît en tout de (to I -T^ <p(?a3, et sa dérivée cbercbée

(*) Il est clair que la formule de différentiation ainsi démontrée , presque évidente d'aillours ,

s'applique au cas où l'étendue Ï5 dans laquelle doit 80 faire l'intégration , au lieu d'embrasser tout l'espace sauf une petite sphère , se réduirait au. volume eoaipris enti'e deux surfaces fennées quelconques, intérieures l'mie à l'autre, qui, conservant toujours la même orientation, et les mêmes situations respectives par rapport au point (ai, y, s) , suivraient celui-ci dans ses déplacements dcc, dy oadx. Alors l'intégrale fpfdJS, oii p est une fonetioû continue quelconque de an, yi, si, f une fonction quelconque de 3:1 — a:, yi — y, si — s, et o\i d^ = dxi ây^ dsi, constitue un type s'étendant à toutes les fonctions appelées potentiels : eUe est, en. quelque sorte, lepoientiel le plus général possible. Dono , la relation (165 6k) exprime une règle générale pour différentier ea ce, y, » un potentiel quelconque. Une intégration par parties en déduit aisément des formules comme la préoé-

La relation (165) pourrait doue aussi s'écrire :

(1661 ■; + p («, j, ») jf "■'» J^ [ t (- V ' K' - '*■

PS M, ï. sin w j ■i.dxj.

Cette formule nous sera surtout utile quand son dernier terme se trouvera négligeable, c'est-à-dire nul à la limite R = 0 ; car elle reviendra à une sorte d'intégration par parties ne donnant que des termes nuls aux limites des intégrales; et die nous permeUra de débarrasser le fadeur o de différeniiàUom que nous préférerions faire parier sur le facteur f.

dente (165). II suffit, pour cela, de dédoubler

— o -— ■ ou o — , puis de transformer, par la méthode , familière à

tous les géomètres, qui a été suivie au n" 11 (p, 55), Tintégrale triple immédiatement intégrahle une fois en une intégrale double so rapportant à toute la surface limite du volume 23, Si di désigne un élément de cette surface et ^ , /î , ■/ les angles que feit avec les axes des a:, y , i ss normale menée hors du volume î5 , la formule (165 Ms) deviendra de la sorte

cr)

fp-fà'!5=ip

-if d (.X, y. z)

■■(^,?,-dd^-

Or , quand la surftice ^ se réduit k sa nappe intérieure et que celle-ci est uae sphère d'un très petit rayon R, décrite autour de (ce, y, z) comme centre , ie dernier terme de (165 ter') , en y substituant , jjar exemple , + dyix à (cos j) i- , ne diffère évidemment pas du dernier terme de (165). La formule (165) résulte donc, comme on voit, d'une simple application de l'intégration par parties à la relation évidente (165 bis).

On opérera de même pour les dérivées secondes , troisièmes , etc. dn potentiel queloonque/pf dC5. Parexemple, la règle de difïerentiation exprimée par (165 6is)

à'ip

11 reraplac"""

donnant

^^frrdis^f.

dXi' '

'1 V dxi ' dxJ

57. — Application à la diffèrentialion du potentiel inverse et du potentiel direct; équation de Poisson pour le premier et sa transformée quand on y introduit le second.

Appliquons d'abord la formiile (165) au potentiei inverse U = j — , et cherchons en premier lien sa dérivée ea 3^. Nous aurons ici

et oette déiivéc seconde en œ du potentiel deviendra

dai'>'J'' J da:^ J ' dXi

En y ajoutant les valeurs analogues des dérivé( vant que l'espresslon

4^ d-t ,JL

dai dyi (tel

prise sur un élément d^ de la surface limite , représente la dérivée de — le long d'un chemin infiniment petit dn normal à cet élément , on aura le paramètre ;is du potentiel :

(lesçao/er) i^ j pfd^^ j p{!i^^)iltS ^ j (p* — —di.

Dans le cas , particulièrement intéressant , oii la fonction f a son propre paramètre différentiel A2 nul, l'expression de is/jî ■. d Î5 ne contient donc que le

d — terme aux limites , /o^ -~- dt ; et si, par exemple , d'une part, ■; se lédiiit h une

limite intéiieure sphérique 4 t R^ , décrite d'un très petit rayon R autour do

(a:, y , z) comme centre , que , d'autre part , s= — , r désignant la dîstanc : du

point quelconque (cet , yi , sj) à ce centre , et devenant R sur la Eptère ^ (d'oii dn = — dR), il viendra

y-fidta rd.'.B. d' —fd'.

Telle est, ce me semble, la démonstration la plus simple possible de la formule de Poisson sur le potentiel ordinaire ou inverse.

Le dernier terme de (165), ou mieux, de (164), deviendra

^'" f "^ ^ ^^^ ^^ sensiblement tt^R — irpR ,

c'est-à-dire la différence de deux quantités à fort peu près égales et qui se trouvent toutes les deux de l'ordre de petitesse de R. Ce terme est donc négligeable, comme auraient pu, du reste, le faire prévoir les considérations présentées à la suite de la formule (165). Ainsi, les dérwées premières, m w, y, z, dti. potentielinverse peîwent se calculer simplement par la diffêrentiaMon sous le signe/-, et l'on a, notamment ,

Occupons-nous encore des dérivées secondes, par exemple de -jY' Nous aurons à différentier par rapport à a; le second membre de (167,1. Il faudra donc poser, dans (165),

'''= ^TT" =('^i~'")[(^i — '^)^-^^ [Vi—y? -^[h— '^j']"^. Le dernier terme de (165) devient alors

j fap 1^, y, .1 r }]K i^f [:,..) [ - 3H- L' 'J. " 3 ■

En ajoutant celui que donne la différentiation sous le signe y, nous aurons

df

logues. Et si on les ajoute à la précédente (168) , en vue de calciiler le paramètre différentiel \ du potentiel inverse, on aura la formule classique de Poisson ,

(169) As j— =■- — ir,p [w, y,z] ou ^,(^ = ~ 4tp.

Considérons actuellement le potentiel direct ^ —fard 75. Ici, la fonction ^ n'est autre que r et son degré en -Pj — co^ y^ — y, Zi — z est 1. Les dérivées partielles premières

de =p en x. y, z, savoir — '^-^—^ , — ^^-^^ , — - — ■ , sont, par suite, du degré zéro, et les dérivées partielles secondes, du degré — 1, avec r ou r^ pour dénominateurs. Leurs plus grandes valeurs, dans le dernier terme de la formule (165), se trouveront seulement comparables à —, si l'on applique

cette formule (165} en prenant pour f soit la fonction r, soit ses dérivées partielles premières ou secondes en of, y, z (ou en a; ■ — a^i, y — yi, z — z^. Donc , le dernier terme de (165) sera négligeable dans tous ces cas. Autrement dit,

le signe f.

Or, en le différentiant soit deux fois par rapport à x.^ soit deux fois par rapport à y, soit deux fois par rapport à z^ puis ajoutant les trois résultats, on trouve

et par suite, comme on sait,

(,rdm=2 I -r^, ou à,trdm=z2j — .

Prenons le paramètre différentiel A^ des deux membres de

cette égalité. Si nous tenons compte de la formule (169), il viendra

(171) A5, ij / rd'm = — % Trp (a;, y, ^j.

Cette relation exprime une propriété importante du potentiel direct. La formule (15 bis) [p. 59] n'en était que la spécification pour ie cas où p [x, y, 2) = 0.

58. — Diffèrentiation de certaines intégrales triples où la fonction sous les signes /devient infinie pour une infinité d'éléments.

Quand, dans l'intégrale/pipfiîs, la fonction f devient infinie, non seulement pour a^i ■=x, y^ — y, z^ = 2, mais sur toute une partie, finie ou infinie, de la 'droite dont les équations sont œ, =^ X, yi = y, ce n'est évidemment plus une sphère, qu'il faut décrire autour du point critique [x, y, z) comme centre pour écarter ces valeurs infi.mes, mais bien un cylindre , d'un très petit rayon R , ayant pour axe la droite a!i = w, Pi = y. Nous admettrons donc que l'intégration ne s'étende, dans/pçcïss, qu'aux éléments de volume d js extérieurs .à ce cylindre, supposition qui n'altère qu'extrêmement peu la somme, puisque celle-ci est une limite obtenue en posant R = 0,

La diffèrentiation par rapport à ^ se fera évidemment sous le signe/, carie passage du point {w^y, z) au point [x, y,z +- dz) n'entraîne aucun déplacement du cylindre. Mais il n'en sera généralement pas de même de la diffèrentiation en m ou en y.

Par exemple, quand on fait croître x de dx, le cylindre éprouve la petite translation dx. Si l'on divise sa surface en deux parties, par un plan normal aux x mené suivant son axe, chaque élément de la partie située du côté des œ positifs, et ayant une certaine projection dy^d z^ sur ce plan

ainsi qu'une certaine abscisse Xi= x-^ \/ R^ — (^/i — yf, décrit un petit volume dy^ dZi dœ, eiivahi par le cylindre. A ce volume correspondait un élément d'intégrale j

qui est perdu par/pfpt^Bî. Au contraire, l'élément symétrique de surface, appartenaut à la partie située du côté des X négatifs, engendre un volume égal, devenu extérieur au cylindre, et auquel correspond un élément nouveau de l'intégrale,

?'^\—\/^'^ — \iii—yY,yi—yy^i~ A ^^i d^ dœ.

Comme la fonction ? ( Xi, yi, Zi) varie avec continuité, sa valeur est sensiblement la même sur toute une section normale du cylindre, et onpeutla remplacer par p (ce, y, z,). Posons, d'autre part, pour abréger, y, — y = -i^, et, faisant la somme de l'excès des éléments gagnés sur les éléments perdus, intégrons de -^ = — R à vi = R, de ^^ = — x à ^i = oo. II Tient :

il faut joindre ce terme aux limites à l'accroissement total, dx I û — rfî3, éproiivé par les éléments qui correspondent aux volumes t^s extérieurs aux deux cylindres, pour avoir la différentielle complète de/^fd^. La formule cberchée de différentiation par rapport à x est donc

ij'l^'" =J"f ^ .

Le raisonnement qui a conduit à Ja relation (166) permettrait de représenter encore la dérivée en ic de j ^y d •^

'fi

odTZ.

59. — Application au potentiel logarithmique à trois variables.

Appliquons actuellement cette formule (172} au potentiel logarithmique 4" =/p ^og (^ — ^i *" ^) ^ ®- ^^ faudra donc poser

'f = log [— [Zi — ;)-+- y {^i — x]^ -h (y, —^f H- (ïj — î)a I .

Le dernier terme de (173) deviendra ia différence de deux expressions, dont chacune, en y effectuant l'intégration par rapport à t;, qui est immédiate, vaudra sensiblement

.hJ"

log \^^ — ^^^ y J

Or, le facteur logl^ — z, -i- w' R^ -h (^ — z^f] n'a de

grandes valeui^ absolues à considérer que pour ^ <^ 2, , et comme alors il égale log R* diminué du logarithme de

^1 — ^ + y R^ -H (Zi — zf, c'est-à-dire diminué d'un loga-

ritliine qui grandit de logR à log2 {zi — z) pour 2j — z croissant de zéro à mie valeur finie notable , les plus grandes valeurs absolues de ce facteur sont 21ogR. Les deux expressions dont il s'agit , inférieures par suite , en valeur absolue, à 4 (R log R)/p(f^„ sont négligeables, c'est-à-dire nulles à la limite R = o.

Ainsi, le poientiel logarithmique à trois variables peut être différeniié une fois sous le signe /par rapport à l'une quelconque des variables. Sa dérivée en œ est donc

%-st

Pour obtenir la dérivée seconde — , ou , plus simplement, le terme ans limites que comprend l'expression de cette dérivée, il suffira de poser, dans (172),

rv '' ' = v^'

Le terme aux limites qu'on se propose d'obtenir, c'est-àdire le dernier terme de la formule (172), vaudra, par suite,

ou bien,

en observant que I V/ ^^ — ^* ^^ ^^^ ^'^^''^ 1> ^^ *^''"^"

demi-cercle de rayon R et a pour expression

^\^H-^ ^ V'R^ ^<- [H - ^r\ [^ - îi + V'R^ + {^1 -- ^)^J .

Or, à cause de la petitesse de U, le facteur 1 -\ — * —

vaut à fort peu près zéro pour ^i <^ ^, 2 pour Zi y z, et il passe très rapidement de zéro à 2 aux moments où $, se trouve voisin de ^. L'intégrale peut donc n'être prise qnede^i^^à ^1 = oo ; en sorte que le terme aux limites de l'expression

de -j^ devient en définitive S^i J ? i^,^, ^) d^-

On obtiendrait un terme pareil dans la valeur de — . Par

suite, le paramètre différentiel A^ de la fonction ^ ne sera plus nul comme dans le cas de la formule (14) [p. 59],

mais égal à 4 -^ ( a[a;^y, z) dz. Ot^ aura donCj pour

tenir lieu de cette formule (14), la relation générale, qui la comprend d'ailleurs,

La différentiation de cette relation par rapport à z fait retrouver l'équation de Poisson, (169) [p. 268].

60. — Emploi des mêmes méthodes de différentialion pour des intégrales doubles, telles que les potentiels cylindriques.

Il est clair que les méthodes exposées dans ce §, en vue de différentier des intégrales triples dont la fonction sous

les signes/ devient infinie pour un élément de l'intégrale ou pour une infinité d'éléments pareils, s'étendraient aisément à des intégrales doubles. Un cercle d'un très petit rayon constant Rj et une bande rectiligne d'une très petite . largeur 2R, y remplaceraient respectivement la sphère et le cylindre que nous avons considérés.

Par exemple, dans l'étude du potentiel logarithmique à deux variables, /p fic„ y^} (log r) (h , où do désigne un élément superficiel quelconque du plan des x y, ayant les coordonnées Xi et ^i, p la masse, par unité d'aire, d'une concile qu'on y suppose étalée, et rie radical V(^r—^)^'+l^i~^j l'emploi du petit cercle de rayon R, décritautour du point mobile [x, y) comme centre, donnerait la formule générale de différentiatîon :

~J,(;,y,)i{',-'.s>-!i)'''^Je^,i

On voit de suite, en posant tp =lûg w (^i — xf + (^i — yf,

que ce potentiel peut se différentier une fois sous le signe/. Mais si l'on prend ensuite, par exemple ,

on reconnaît qu'une deuxième différentiation par rapporta la même variable donne pour terme aux limites ic o (^ y). On en déduit

--i'fi'.t),

formule qui, pour ces potentiels, tient lieu de celle de Poisson {').

Enappliqiiantla même m6th,ode àl'intégrale/prMog rd'j, qui est, dans le cas de deux variables, l'analogue dupotentiel direct, tout comme la précédente est celui du potentiel inverse, on. reconnaîtrait qu'elle peut se différentier trois fois sous le signe /, et l'on trouverait en outre que son

paramètre A^ = 71""^ — ^ vaut 4/p (l-^logr) â^. Par suite on aurait

A, A,yp T^ log ,■ .k = 4 i,yp log ^ ^^ = 8^^ («, y)

(*) On 8 pu remarquer au n" 38 bis (p. 168) , comment elle résulte de la propriété 4î ■!'■:= o, dont jouit ie potentiel logarithmique à trois vinables dune couche mince étalée sur le plan dee x^, lorsqu'on observe que ce potentitlà ticis variables ee rédoit , sur le plan de la couche , à un potentiel loga ithmiqut. ordinaire ou cylindrique, et que sa dérivée en s y devient — 2 t p (-c y)

î VIL — ÉQUILIBRE d'Élasticité d'dn solide indéfini , sollicité