DANS DNE ÉTENDDB FINIE PAR DES FORGES EXTÉRIEURES QUELCONQUES

6Î. — Généralisation des trois types d'intégrales trouvés au § //, et, d'abord , du premier.

Maintenant que nous avon:^ reconnul'existenoe ou la parfaite détermination des divers potentiels en tous les points de l'espace, et que nous savons les différentiel même pour les points intérieurs aux masses par rapport auxquelles on les prend, nous pouvons essayer de voir ce que deviennent en général les trois types d'intégrales des équations de l'équilibre d'élasticité que nous avons déduits, au § II, d'un potentiel logarithmique.

Considérons donc le potentiel logarithmique,

■^ = f lo? (^ — H -"- ■>■) A-M ,

d'une masse continue quelconque/t^Hi, répandue dans une région finie de l'espace et ayant, en chaque point [xt, y„ Zi), une densité donnée p. Dans le cas particulier où la masse se réduisait à une couche mince étalée sur le plan des a;y, ce potentiel nous a conduit à un premier type d'intégrales où il ne paraît plus explicitement, mais où s'introduit, à sa place, le potentiel direct /rt/m. Les valeurs (25) de m, îï,w [p. 65 j peuvent s'y écrire, en tenant compte de (170) [p. 268],

iP

/rdm , V ■—- — -- i rdm , dyrkj

- — — I nm -f- i? I Ta

yGoosle

el la dilatation cubique H y vaut, par suite,

du dv dw II. d /" .

(176) ^- -H ou 0 = -J— — - A^ / rdm.

dû! dy di A -)- (t rfï ^

Admettant actuellement que, dans ces expressions de «, «J, îi', 9, le potentiel/rf^OT soit relatif à une masse ftnie quelconque, portons-les dans les trois relations suivantes, qui sont les équations indéfinies générales de l'équilibre d'un solide élastique, bomogène et isotrope, quand il est soumis dans son intérieur à des forces extérieures ayant par unité de volume les trois composantes X, Y, Z, fonctions données de x, y, z :

dy

Il viendra de suite, en tenant compte, dans la troisième équation, de la formule (171) fp. 269] :

Ainsi, le premier type, (175) ei (176), de valeurs obtenues pour les déplacements u, v, n- et pour la dilatation 0, saAûfait aux équations indépmes de Véquilihre quand le corps élastique est soumis dans sa masse à des actions extérieures dirigées suivant l'axe des z, pourvu qu'on prenne la densité ? de la matière fictive/ dm égale partout au produit de ces actions, rapportées à l'unité de volume, par le fadeur cons-

tant - — n~W\- 8 TT (i [a -H 2fi)

Il est de plus évident que ces expressions (175) de w, îj, iV deviennent, comme dans le cas où la masse iiciive/dm se réduisait à une couche mince, de l'ordre de petitesse de — à de très grandes distances ■c de l'origine.

62. — Forme encore plus générale d'intégrales des équations de l'équilibre d'élasticité , à laquelle ce premier type généralisé conduit, et gui comprend m.ême le deuxième type non généralisé.

Les intégrales (175) n'auront pas besoin d'être généralisées davantage pour l'usage que nous en ferons ici. Mais il n'est peut-être pas inutile, en vue d'autres recherclies à tenter ultérieurement, de savoir ce qui arrive quand on y remplace le potentiel àiîeci/rdm par une fonction quelconque 'f de X , ^ , ^ , c'est-à-dire quand on pose

etj par suite,

(176 bis)

Alors les deux premières relations (177) se réduisent à X = 0, Y = 0, tandis que la troisième devient

(178 «,) Z = -ti^^ 4,4.,.

On satisfait donc aua) équations indéfinies de V équilibre far les valeurs (175 Ms] de u, v, w, pourvu que les actions extérimres s'exerçant sur l'unité de volume du corps soient parallèles à une même direction, prise pour celle des z, et qu'elles aient Vexpression (178 bis).

On y satisferait aussi, dans des cas de forces extérieures de direction variable, en supe?yosant à ces valeurs de

u, V, w dcttx autres solutions aimlogues, mais ov, le rôle de la coordonnée z serait rempli soit par x, soit par y.

li est aisé de reconnaître que les deux premiers types d'intégrales étudiés au § Il et au n" 42 [formules (33), p. 68, (36), p. 1% et (138), sauf la dernière ligne, p. 192] rentrent dans la forme plus générale (175 his), (178 bis), prise avec Z = 0 et, respectivement, avec

»f étant une fonction (définie à la fin dn n° 12, p. 60, pour le cas où il s'agit de potentiels logarithmiques ^) , telle , que l'on ait i^^ = "• l'*ar suite, toute combinaison, linéaire des deux premiers types non généralisés, celle qui représente, par exemple , l'effet de pressions normales quelconques exercées à la surface d'un sol élastique, est aussi comprise

dans la même forme (175 bis), avec u =2 — — "^^i-, où

T et ï^.| désignent deux fonctions ayant leurs paramètres ij, nuls.

Quand on connaît Z, la formule (178 bis) devient une équation aux dérivées partielles que doit vérifier la fonction ». Comme cette équation est du quatrième ordre, y pourra satisfaire en outre, sur toute la surface du corps, à deux conditions définies distinctes. S'il s'agit, par exemple, d'une plaque indéfinie, ayant pour faces les deux plans

et sollicitée uniquement sur ces faces, on pourra demander: 1° que les composantes tangentielles des pressions extérieures qui s'y exercent,

(178 tor) {

soient nulles, c'est-à-dire qu'on ait, en se bornant du moins aux cas où les dérivées secondes de f doivent s'annuler pour X &iy infinis,

2'' et que, de plus, les composantes normales des mêmes pressions (évaluées positivement quand elles sont dirigées vers l'intérieur de la plaque)

vaiilentrespectivement deux fonctions données deœetdeg/. En faisant Z =o, posant œ = ']j s '-i-/-^,dz, où ^ et <{ji désigneraient deux fonctions ayant leur ij nul, et décomposant la solution générale endeux autres plus simples, dans l'une desquelles t}j, iJjj seraient des fonctions impaires de z et les valeurs de p^ pour ^ = :t « égales et de signes contraires , tandis que, dans l'autre, 4', ^i seraientdes fonctions paires de 3 et les valeurs de^^ pour 5 = :^ a égales et de même signe, on parviendrait peut-être à résoudre cette question, de la plaque indéfinie sollicitée normalement sur ses faces, de manière à y dégager quelques lois saiâissables. Lamé et Clapeyron l'ont traitée, à la suite du problème concernant l'équilibre d'un solide limité par un seul plan indéfini ('}. Mais ils y ont employé des solutions simples analogues à celles qui leur avaient servi pour ce problème ; de sorte que, obligés d'en superposer une quadruple infinité, c'està-dire de les engager sous quatre signes d'intégrations définies en déterminant leurs coefficients infiniment petits par la formule de Fourier, ils n'ont pu déduire rien d'intéressant de leurs intégrales .

(*) Sur l'équilibre intérieur des solides homogènes ( Savants étrangers de l'Académie des Sciences de Paris), t. IV, p. 5i3 à 5K.

Peut-être, quoiqii'il s'agisse seulement d'effets locaux, c'est-à-dire s 'évanouissant aux distances infimes de l'origine, l'influence simultanée des deux faces compliquet-elle la question au point de la rendre esssentiellemcnt rebelle à toute simplification importante, du moins dans le cas général où, pour w ei'f/ finis, l'état physique est censé varier aussi rapidement suivant les a; et les ^ que suivant le sens normal des z et où, par suite, l'on ne peut pas employer les équations ordinaires de l'équilibre des plaques dites minces (').

(*) Sur MB type presque évident d'intégrales des équations indéfinies de l'équilibre d'élasticité , gui comprend tous ceua dont il est tiré parti dans cette Étude. — Je m'aperçois au moment de l'impression de cette feuille ( 12 juillet 1883) qu'en superposant trois solutions analogues à (175 bis) , de manière à en eomposeï' une nouvelle symétrique en a:, y, a, les valeurs trouvées alors pour «, V, w donnent l'idée du type très général

3 satisfaisant respectivement si

et oii H est une fonction auxiliaire, vérifiant l'équation

i.+2/i . tr 'J^aA tiA^B diaÇ 1-^ II. dx dy ds '

Or, on serait arrivé de suite à ces foi-mules (o), (a'), (a") , si , partant des équations (1T7) [p. 277], on s'était proposé de les vérifier par des valeurs, (h), de u. v, it>, formées, au moyen de quatre fonctions A, B, C, H, comme le sont, dans (ITT), X, Y, Z au moyen des quatre fonctions — y-u, — ,« «, — f« w, (i -i- ;>) e, et oii la quatrième fonction H serait liée aus trois premières A , B , G par une relation analogue à celle qui existe entre fl et u, u, w. Par conséquent, dans un cours sur la tiéorie de l'élasticité, on pourrait donner le système d'iutégrales {a), (a'), (n"), dont la vérification est immédiate , aussitôt après avoir démontré les équations indéfinies d'équilibre (177). On en déduirait ; 1" le type (175 bis), en prenant

A = o, B=;o, G= -: y, H = -p ; 3" le type (0 [p. 198], qui comprend tous

ceux que nous avons utilisés dans les §§ précédents de co mémoire , en posant is (A, B, C) = (', ;3, ;-), et H = 3 *, oii '1> désignerait une fonction telle, que l'on

eût dï * = o, c'est-à-dire ij H =2 — .