Gènèralisaiion des deuxième et troisième types

Après cette digression sur un problème étranger au sujet du mémoire, passons au second type d'intégrales :

d-^ d-^ d'il /~dm

dn) ' rfy ' dt ^ f '

I oà if- ^ / log iï — 2j -I- r) dm.

On en déduit, vu la formule (174) [p. 273], (180) e= à^-p=4K: r ;.d^.

Or, ces valeurs de m, v^ w, 0, portées dans les éfiuatious (177j [p. 277] , les réduisent à

Donc, le second type satisfait aux équations indéfinies de Véqwilibre, quand les composantes X, Y, Z de Vaction extérieure sont les dérivées partielles respectives d^une même

pdz, nulle en dehors d'un

certain cylindre ayant ses génératrices parallèles aux z, et gui, à l'intérieur de ce cylindre, s'annule également pour les ■valeurs positives assez grandes de z, tandis qu'elle tend vers certaines limites, ou ne dépend plus que de x et y, pour les valeurs négatives très grandes de z.

Ce type se distingue du premier, surtout en. ce que les composantes X, Y de l'action extérieure subsistent en général, du côté des z négatifs, jusqu'aux plus grandes distances du plan des xy^ où elles sont proportionnelles

aux dérivées en a; et en g/ de I pt^^^ouàcellesde I T.dz.

Ce n'est que dans le cas où toutes les forces Z appliquées le long d'une même parallèle aux ^^ se neutraliseraient exactement, ou auraient du moins une somme invariable d'une parallèle à l'autre, que X et Y s'annuleraient pour ^= — x . Les expressions (179) de u ai v restent également finies quand, pour a? et y constants, on y fait tendre^ vers — oo ; et elles ne s'annulent même pas, comme X et Y, en dehors du cylindre circonscrit à la masse fictive, /(^ m, avec des génératrices parallèles aux z. Pour le reconnaître, il suffit d'observer que le produit de^ — z^-*. r par z^ — z-i-r égale r^ — {zi — zf, c'est-à-dire {x — Xtf -t- (y — yj^, et de remplacer en conséquence, dans (173) [p. 272], le facteur — — — . Il vient

hf + (y — yi)^

ou à fort peu près, pour Zi — z très grand et par suite sensiblement égal à r.

(182) » = ^Sl^~% +'

[y—Vi]

Cette quantité est indépendante de z et, si l'on suppose x &i y assez grands oux-mêmos, vaut sensiblement

-7 ; ( dm,. La composante w = / — se trouvant d'aii-

leurs négligeable en ces points, on voit que le déplacement total y est, à peu près, en raison inverse de la distance à

l'axe des z et de même sens quo les rayons émanés perpendiculairement de cet axe.

Observons encore que la dilatation cubique, 6 = 4-^ / p dz, ne s'annule, à l'intérieur du cylindre circonscrit à la masse fictive/rfm , que dans l'espace compris , du côté des z positifs , au-delà de cette masse , espace auquel nous nous bornions dans l'étude d'un milieu limité par un plan.

Enfin, le troisième type, le seul où la dilatation cubique reste identiquement nulle.

transforme Us équations indéfinies (177) de l'équilibre en celles-ci :

[IS^Ms] X^iT.ix-— 1 pdî, Y = — 4Tru;— / ,.(iz, z = 0.

Il les vérifie donc quand les actions extérieures appliquées au solide sont partout parallèles au plan des xy et qtoe

leurs composantes 'K, Y satisfont à la condition-^ — \---- = o.

Comme pour le type précédent, les valeurs de X, Y, u, v ne s'annulent généralement pas à l'infini, du côté des z négatifs.

04. — Application du premier type au problème de l'équilibre d'un solide indéfini, sollicité dans une étendue finie par des forces extérieures quelconques et maintenu fi xe en ses points

Proposons-nous seulement d'étudier l'éqiiilibre d'un solide indéfini, sollicité, dans des espaces restreints, par des forces extérieures quelconques X, Y, Z s'exerçant sur

sa masse, et maintenu fixe en ses points infiniment éloignés des régions d'application de ces forces extérieures.

Il est clair, pour les mêmes raisons (exposées à la fin du numéro 10 , p. 53) que dans le cas d'un milieu limité par une surface plane sur laquelle s'exerçaient des pressions d'une valeur totale finie, que les forces élastiques et les

déformations corrélatives seront de l'ordre de — j à de très

grandes distances x. de l'origine, et aussi que, par suite, les

déplacements u. v, w s'y trouveront comparables à — . Il y

aura donc lieu de joindre aux équations indéfinies (177) [p. 277] les conditions. (3) [p. 53], spéciales aux valeurs très grandes de i.

D'ailleurs, grâceàces conditions (3), les valeurs de ««, v^w seront entièrement déterminées. On le reconnaîtrait par la méthode suivie au n" -U (p. 54); ot, cela, sans même avoir

besoin d'y dédoubler les termes tels que (). -\- ;j.) -j- en deux

parties, X-r- et jj^ -i-, et puis de traiter de deux manières ■^ ' aee m

différentes ces deux parties, comme on y était obligé à raison des conditions spéciales concernant la surface ^ = 0 , qui remplaçaient , du côté des z négatifs , les conditions bien plus simples (3).

Or, les expressions {I75)et{176)[p.276] de m, î), w, 9 satisfont justement à ces conditions (3), ainsi qu'aux équations indéfinies, du moins quand les forces extérieures doanées se réduisent à leur composante Z et qu'on attribue à la densité a de la masse fictive Jdm la valeur résultant de la dernière formule (I78j .

Donc, elles constitueront pour ce cas la solution unique du problème ; et l'on aura l'intégrale générale demandée^ en leur superposant les valeurs qui correspondent à deux autres solutions pareilles, déduites de celle-là par la permutation de l'axe des z contre l'un ou l'autre des axes des m ou desy et par la substitution de X ou de Y à Z.

A cet effet, appelons X^, Yj, Zi ce que deviennent X, Y, Z pour l'élément de volume i^ss dont les coordonnées sont Xi, yi, 2i. De plus, souvenons-nous que l'on a d'après (178) [p. 277], dans la solution partielle (175) et (176),

■ 8.f(),*2ri

Z, dis,

et aussi , que, \/rdm égalant 2 / — , ces fonnules (175) et (176) peuvent s'écrire ;

u = ( ( ^ — Z, i/ffi ,

"^sïJ (-2irT¥;;)^'*ïj'*''

(184) { 1 ^-,z, ). + ,i dtr\ ,

"^mj IT-2P + 2H-) '^i '