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La solution générale sera ;

{185)-' 1 ^rZj X-t-|x (// dr ^, * ., '^'""ll 7 1 jy — __- f __l i — — X, - — H Y, — hZ, — kra,

1 » = 4i;(ïW/(^' -Sf * ^' ^ * ^' ^) *■

Mais iornons-nous, pour plus de simplicité, au cas où toutes les forces extérieures sont parallèles à une même direction, prise pour celle des z, et appelons F la résultante

de ces forces, (^F = Zj (^ s celle d'entre ellea qui s'exerce sur l'élément de volume, dfs, dont ?• désigne la distance au point quelconque [x, y, z) pour lequel on évalue les déplacements w, V. tv. Les formules (184) suffiront évidemment, et elles donneront

j __ — 1 \-^i>. dYrd¥ — 1 ?- -i- H. (lyrdF

- 2 il dz^

MM. William Thomson et Tait, aux numéros 730 et 731 de leur beau Traité de j^hilosophie naturelle, étaient parvenus par une autre voie, beaucoup plus pénible, à la solution du mèmeproblème.Ils avaient obtenu, par exemple, au lieu des formules (186), celles-ci,

/ d-œdî

(187) ^ ^^ A-i-jt /-

Sij dt

qui sont bien moins simples, mais qui reviennent au même lorsqu'on y exprime les dérivées de — en fonction des dérivées de r, en observant aussi, .par exemple, que

J^ — È^- ('^— ^i)(^— gj) d'-r r dx âi '/■■' dm du

et que

65. — Autre manière d'arriver aitw mêmes résultats , par l'emploi immédiat de potentiels directs et inverses.

C'est une méthode différente de celle que je viens d'exposer qui m'a fait découvrir les expressions générales et simples (185} de u, v, w, 0. Voici en quoi elle consiste.

J'avais remarqué d'abord que les équations indéfinies (177) [p. 377] se simplifient en posant

( A^^^xJ r

OÙ X,, Y,, Zi désignent ce que deviennent X, Y, Z quand on y met pour a;, y^zies coordonnées Xi, yi, ^i de l'élément de volume quelconque rffs. En effet, l'équation de Poisson,

(169) [p. 268], donne, par exemple, i» fx^ ~ = — 4TrX :

en sorte que la première (177) devient {}. + ;^) — -h i,-. A^ a = o ,

ou

Le paramètre ij des deux membres est, par suite,

A i K = ?--H^>^M ^ ^ \i. dx

Or, une valeur de A^ 9, bien connue, ■

1 /(^S dJ dZ\

190 ia e = — - -^ -7- -H V- -^ -;- .

^' l-^%}).\dx dy dz r

so déduit de l'addition des trois équations (177), préalablement différentiées en a;, ^, z. Il vient donc l'équation indéfinie en œ :

11 JX H- 2 [i) (/a: V d^, dy dz /

En outre , u devant être de l'ordre de — à de grandes distances x, de l'origine et le potentiel l Xi — se trouvant aussi, dans le môme cas, comparable à — ^, la première

relation (188) montre que a est, de même, de l'ordre de — pour ï. très grand .

Cette condition, jointe à l'éqnation indéfinie (191), détermine complètement a. En effet, l'on reconnaît aisément, toujours par la métliode suivie au n" 11 (p. 54}, que lorsqu'une fonction continue des;, y, z doit devenir, pour % très grand, incomparablement plus petite que t^â", il suffit de connaître son paramètre A^ en tous les points [x, y, z) pour qu'elle soit déterminée('). Donc, la formule (191), qui définit en a;, y, z le paramètre A^ d'une fonction, Aj a, dont l'ordre

de petitesse est celui de ~ pour t très grand , détermine

parfaitement A^ a en tous les points de l'espace ; et celle-ci, A^ a, détermine ensuite de môme a.

Or, la propriété (171) du potentiel direct [p. 269] montre qu'on satisfait à l'équation (191) en prenant k =J^Td'^, si l'on a soin de poser

) -.- ,1 ^ lâX. dN. d7..\

p [Xi, ^i, i^] =^ — -

8 Tt |j. (). -I- 2 "■) dx^ \ d^i (%) ce qui donne