X -H ^ f d /t?Xj (/Yj

1 + 2hJ '

8 j: it [X -H 2 il) __J i&i \ (&i d1/^

D'ailleurs, comme un potentiel direct peut se différentier trois fois sous le signe /, la formule de réduction (166) [p. 265] montre qu'il sera permis de débarrasser le facteur Xj, Yi ou Zi, dans chacune des trois intégrales en lesquelles

(*) On verra au n° 24 de la Nofe II, apvès la formule (164), qu'il en est ainsi dès que la fonction dont on donne le paramètre ûj s'annule aux distances infinies.

le second membre de (192) se dédouble, des deux différentiations qui l'affectent, pour différentier, à la place, l'autre facteur, r, en x, y ou z. Alors l'expression de a devient

et elle est bien de l'ordre de — quand t grandit indéfiniment ; car les dérivées secondes de r qui y paraissent sont du degré — 1 par rapport k Xi — ^, ^i — ■ y, ^t — z, r.

En portant l'expression (193) de « et les expressions analogues de jB, 1' dans les relations (188), on obtient bien les formules générales cherchées (185) de u, 9,w.

Quant à l'expression de 6 , on la déduit des valeurs de u, y, w en observant que celles-ci, formées au moyen de deux différentiations effectuées sur des potentiels directs, peuvent être encore différentiées une troisième fois sous le signe/. Il vient, de cette manière,

(/y di

OÙ le second membre se réduit bien à l'expression (185) de 9, si l'on substitue à ^r sa valeur connue — .

On pourrait aussi, dans cette expression (185) de 9 , remplacer les différentiations du facteur — par des différentiations en iCi, 3/1, Zi portant sur les facteurs Xi, Y„ Z,, qui ne dépendent que de ces variables. Il viendrait

' ■' "47t(X-h2[x)/ \l^^'^ ~dfi'^irj^'

On vérifie aisément que celte valeur de 9, différentiée de même par rapport à ic en n'y faisant varier sous le signe/ que le lacteur entre parenthèses fonction de Xi, est bien ce qu'il faut pour que l'expression (192) de « rende identique l'équation (189). La formule (192) donne en effet, si l'on se

rappelle que ^^r = — ,

^ " ~ "~ 4 Tt il (X -1- 2 |i) ^ Ix^ \dœ^ '^ 'df^ ~^ 'd^ j ~ ' ce qui est bien le produit de la dérivée en x de (194) par

66. — Déplacements, déformations et pressions i'nièrieures que fait naître une force, appliquée à un solide en un point très . éloigné de sa surface , quand cette surface est maintenue fixe .

Supposons que Faction extérieure, dont les composantes sont X, Y, Z par unité de volume, s'annule partout, excepté dans une très petite étendue d'si autour de l'origine, et qu'on ait choisi l'axe des z suivant le sens de cette force. Les formules (186) [p. 287] seront donc applicables; et l'on

pourramêmeyréduirelesintégrales/î'f^F, ( — àunseul

de leurs éléments, savoir, à celui pour lequel x-^ = 0,^1== 0, Zi = 0. Par conséquent, dF désignant la force totale donnée, on aura

dF l-t-i^ d^r dF X -I- n d^r

4 rr ;i 2 (X -t- 2 |i} dmdl^' 4tuii 2 [X -h 2 [i) d7jdi'

I dF l^ il rfV d¥ 1

^^^ ' 1 » — — -^ 2(J,-4-2ia) ~d^ "^ 47rii "r '

yGoosle

Il suffit d'appeler dm- la constante ■ —~ -— , pour que ces

expressions de u, v, m deviennent identiques à celles , (47) , que nous avons étudiées aux numéros 19, 20 et 21 [p. 82 à 92). On aura donc, tant pour les déplacements, que pour les déformations et les pressions intérieures correspondantes 9, g. N, T, aux divers points du corps, les lois qui ont été exposées dans cette partie du mémoire. Seulement, si a continue à mesurer, sur tout un demi-plan méridien mené suivant l'axe des z et limité à cet axe, l'angle d'un rayon vecteur r avec les.^ positifs, cet angle variera ici de

zéro à ît et non plus seulement de zéro à -^. Mais rien ne

sera changé, ni aux raisonnements, ni aux calculs. Il est donc inutile de revenir sur les lois simples que nous avons démontrées à cet endroit pour des couches demi-sphériques, et où il suffit de substituer, dans les énoncés, des sphères entières à des demi-sphères, comme nous l'avions, du reste, 'déjà remarqué, sous une forme analytique, quelques lignes avant la formule (50) [p. 85]. Rappelons seulement, parmi ces lois, les suivantes, en les appliquant au cas actuel :

r Toule couche spkérique matérielle, décrite avec un rayon quelconque r autour du point d'application de la force dY comme centre, se transporte dans le se^is de cette force, tout en conservant sa forme et sa grandeur, d'une

quantité, 2 rr = -r , proportionnelle a Ihnverse

de son rayon et à la force d F : son centre de gramté avance dans le même sens, mais seulement (form. 51) de la fraction

~ — — de la quantité précédente dont se déplace son centre

de figure . vu que la matière de la couche glisse un peu vers V arrière;

2" MaAs, si le centre de gravité de cette couche reste ainsien arrière du centre de figure, d'une quantité égale à la fraction

-. — de ce dernier, par contre,

4Tt[j.r ' -^ '

le centre de gravité de la sphère massive qw' entoure la couche se porte un peu en avant du même centre de figure^ savoir^

d'une quantité égale à la fraction ^, — j — 1 = ^rr- — jr~, de ce déplacement -7— ;

■^ 4jr[l}- '

3" L'effort extérieur dF se transmet, de chaque couche sphérigue, dont r désigne le ra^on, à la couche sphérique suivante, de rayon r -^ dr, sous la forme d^actions se composant-, par unité d^aire, 1° d^uti^ pression normale,

, — r-- — , qui est en raison inverse du carré de la

distance r aupomt d'aj^lication de Veffort extérieur et en raison directe de la projection, dF cos a, de cet effort sur la normale à l'élément considéré de couche sphérique, 2° d'une

force , r-~— -; — r , partout de même sens que l'effort eœté- ' X-(-2[j. 4itï-^ ' -^ ■' "

rieur d F, proportionnelle à cet effort, et inversement proportionnelle, comme la première, au carré de là distance, mais constante sur toute Pé'tendue d'une même couche.

Lorsqu'on cherche la pression totale qu'exerce la oouclie de rayon r (et dont la surface est 47t7'*) sur sa voisine, cette seconde force donne d'abord, pour sa part, une

somme égale à ■ ^ ■ dF. Quant à la première, elle

équivaut évidemment , sur une zone élémentaire de rayon raina et de largeur rda, à une force dirigée suivant l'effort d F et exprimée par

i -I- |i <^F (fco3'«

Il ne reste donc plus qu'à intégrer ce résultat entre les limites et = 0 et a — 71, ce qui donne

le total obtenu au précédent r

sorte, pour la pression transmise en tout par chaque couche à sa voisine, une valeur égale à celle, dP, de l'effort extérieur exercé au centre, comme l'exigeait é^'idemment l'équilibre de la sphère matérielle qu'entoure la couche considérée.

Terminons par cette remarque : pour obtenir les mêmes déplacements m, v, w que dans le cas, étudié aux numéros 19, 20 et 21 , d'un corps limité au plan des xy et in défini seulement du côté des z positifs, il faut appliquer une force,

d'F = 8t.ii. î^OT, double delà pression t?P, donnée par

(4G) [p. 82], qu'il suffisait d'exercer sur la surface du milieu limité. Cette circonstance est due à ce que la matière située du côté des2 négatifs résiste aux déformations précisément autant que celle qui est du côté des z positifs. En effet, les

formules(195)[p.291],oùr=\/'^a:^-+-g/*-(-2*est une fonction

paire de z, montrent que u et y changent simplement do signe quand on y met — z pour z, tandis que iv reste le même. Donc, les déplacements produits d'un côté du plan des X y sont, par rapport à ce plan, les symétriques, changés de signe, de ceux qu'on observe de l'auire côté ; d"où il suit que , si l'on considère les deux faces , « = ;!: e , d'une couche mince taiUée dans le milieu suivant le plan des xy, l'une d'elles supporte des pressions précisément égales et contraires aux symétriques de celtes qui s'exercent sur l'autre. C'est dire que la composante toute entière, — c/P, suivant les z positifs, des pressions exercées sur la face 2 = eaux environs de l'origine, est égale à celle des pressions qui s'exercent sur l'autre face z=- — e. Or, l'équilibre de la couche mince exige que leur somme. — 2 (^ P, jointe à la force extérieure t? F appliquée à la couche, donne

un total nul. Il vient donc (/P =-—; en sorte que, si l'on

anéantissait la couclie sans changer l'état de la matière qui est du côté des z positifs , il faudrait appliquer à celle-ci ,

dans le sens des :2, une pression. rfP= — , égale à la réaction qu'exerce la couche mince, et moitié de la force extérieure donnée d F .

i viii. — sdr les perturbations locales dans la '.

l'Élasticité, et sdr la possibilité, pour le géomètre, de

REMI'LACER DES FORCES DONNÉES, s'eXERÇANT SUR UNE

PETITE PARTIE D'UN S0I,IDE, PAR d' AUTRES FORCES

STATIQUEMENT ÉQUIVALENTES, APPLIQUÉES