EN TOUS SENS

67. — Des pertvA-bations locales dans la théorie do l'èlasHcitè.

Dans les applications les plus usuelles et les plus intéressantes de la théorie de l'élasticité, telles que celles qui se rapportent à l'extension, à la flexion ou à la torsion des tiges et des plaques, les forces extérieures les plus considérables s'exercent sur des parties restreintes des corps, généralement vers leurs extrémités ou près de leur contour; et, cependant, leurs effets les plus importants pour le géomètre, le physicien et l'ingénieur sont ceux qu'elles produisent à des distances notables de ces parties, c'est-àdire sur l'ensemble des corps qu'elles déforment.

Pour plus de précision, considérons une tige élasiique, fixée par une de ses extrémités, tandis que l'autre supporte diverses acLions extérieures. Ces actions, aux endroits mêmes où elles sont appliquées, produisent des déformations très complexes, variables suivant que la tige est sollicitée au moyen de tenailles, ou d'autres tiges sondées à la première, on de liens de différente nature, etc. Leurs effets, dans cette région même d'application, se trouvent donc sous la dépendance de trop de circonstances accidentelles, pour

obéir à des lois simples et pour qu'on ait senti le besoin de leur donner des noms spéciaux : ce ne sont, à proprement parler, ni des extensions, ni des flexions, ni des torsions, ni même des déformations réductibles à celles-là. Mais l'espérience prouve que les phénomènes se simplifient, se régularisent, à quelque distimce de l'extrémité considérée; et qu'ils cessent d'y varier avec le mode de distribution ou d'application, à cette extrémité, des forces extérieures qui les causent, pour ne plus dépendre que de la résultante et du couple auxquels elles équivalent au point de vue des quantités totales de mouvement et des moments. Ce sont les effets généraux dont il s'agit, s'étendant à la plus grande partie de la tige, c'est-à-dire là où l'état physique est presque le même pour deux tronçons consécutifs d'une longueur comparable aux dimensions transversales , que tout le monde qualifie d'extensions , de flexions ou de torsions , et qui obéissent à des lois accessibles , démontrables par la science. Au contraire, les déformations exceptionnelles, non débrouillées jusqu'à présent et dont l'ensemble nous échappera peut-être toujours, qui se produisent dans une petite étendue comprenant la région d'application, peuvent être appelées très justement des perturbations locales, comme nous l'avons déjà fait au numéro 47 (p. 216) .

On conçoit que de pareilles perturbations locales doivent naître dans une infinité de cas, par exemple, sur le contour d'une plaque mince, où chaque petite partie du bord, de dimensionsen tout sens comparables à l'épaisseur, est généralement la région d'application d'un groupe de forces extérieures. En attendant qu'on parvienne à les calculer (si cela doit arriver jamais), les physiciens et les ingénieurs, faisant abstraction des parties où elles se produisent, admettent, implicitement ou explicitement, qu'il est permis de remplacer chaque groupe de forces extérieures, dans sa propre région d'application, par un autre, ayant même résultante et même moment total, choisi de manière à annuler les perturbations, c'est-à-dire de manière à faire

que le mode simple de déformation qui est produit à quelque distance s'étende jusqu'à la région même d'application. D'ailieurs un mode de distribution des actions extérieures felj ou n'entraînant aucune perturbation locale, existe toujours dans les tiges et les plaques: car il s'y produit à quelque distance de leurs extrémités ou de leur contour, là ,où les déformations et les pressions varient, d'un point à l'autre, beaucoup plus lentement suivant les sens de leurs grandes dimensions q\ie suivant les sens des petites ; et il suffit, pour le voir réalisé jusqu'aux limites mêmes du corps, de détacher, par la pensée, un court tronçon à chaque bout de la tige ou une bande annulaire étroite sur le bord de la plaque, puis de remplacer les bouts ou le bord réels par les bouts ou le contour fictifs contigus aux parties ainsi soustraites. Et les ingénieurs ou physiciens se croient d'autant plus autorisés à modifier de la sorte, dans leurs calculs, les divers groupes de forces extérieures, que chaque groupe ne leur est d'ordinaire connu que comme une force unique ou un couple unique, c'est-à-dire par sa résultante et son moment total, à quelques vagues notions près sur son mode de répartition .

Or. changer ainsi un groupe donné de forces en un autre, statiquement équivalent, s'exerçant sur la même partie d'im corps, c'est superposer à ce groupe, comme on sait, de nouvelles forces appliquées à la région considérée et qui s'y fassent équilibre à elles seules. La légitimité d'un tel procédé, dans les limites où on l'emploie, suppose donc le principe suivant, dont l'exactitude est nécessaire et suffisante pour le justifier :

Des forces extérieures, qui se font équilibre sur un solide élastique et dont les points d'application se trouvent tous à intérieur d'une sphère donnée, ne produisent pas de déformations sensibles à des distances de cette sphère qui sont d'une certaine grandeur par rapport à son rayon.

Ce principe est aussi évident que les autres sur lesquels s'appuie la théorie mathématique de l'élasticité ; car, par le

fait même que les forces dont il s'agit ne tendent à imprimer aucun mouvement d'ensemble, ni de .translation , ni même de rotation, à la matière comprise dans la sphère où elles s'exeroent,mais seulementdes tiraillements en sens opposés, les diverses parties de cette matière transmettront dans d'égales mesures à celle qui les entoure des déformations contraires, et qui seront égales ou se neutraliseront si elles peuvent être censées provenir du même point, c'est-à-dire si la distance où l'on est de la sphère donnée se trouve notablement plus grande que le rayon de cette sphère.

L'observation ne peut donc manquer de confirmer une loi aussi naturelle, sans laquelle les corps élastiques n'offriraient à l'étude que des phénomènes d'une complication infinie. M. de Saint- Venant, qui en a signalé Timportance dans la théorie des tiges ou barres, l'a justifiée par une expérience aussi simple que concluante. Il lui a suffi do pincer entre les doigts une bande de caoutchouc , en tirant en sens contraires, et normalement à l'axe longitudinal de la bande , deux parties correspondantes do celle-ci, situées respectivement sur l'un et l'autre bord, l'une en face de l'autre, ou symétriquement par rapport à l'axe longitudinal. C'est à peine s'il en résulte des déformations visibles à une distance des points d'application égale à la largeur de la bande, même quand la traction va presque jusqu'à la rupture.

Toutefois, quelque incontestable que soit ce principe, et quelque nécessaire qu'il doive res ter toujours pour permettre d'arriver à des lois approchées simples dans les problèmes usuels, il serait à désirer , non seulement qu'on le démontrât analytiquement en le déduisant des équations générales de la théorie de l'élasticité, ce que je n'ai fait que pour les tiges longues dans mes Études insérées en 1871 et 1879 au Journal de Mathématiques ptres et appliqués ('), mais

(*) Ma démonstration a été reproduite par M. de Saint-Venant dans une des notes de son édition de la Théorie de l'Élasticité, An Clebach (Note finale du

encore qu'on pût soumettre au calcul les perturbations locales et reconnaître avec quelle rapidité elles décroissent lorsqu'on s'éloigne des régions où elles siègent. Or, telle est justement la question à laquelle les formules obtenues dans ce mémoire permettent de répondre; au moins pour certains cas, dont nous avons rencontré des exemples aux numéros 26, 28 et 43 (p. 112, 119 et 196). Je me propose de traiter ici le plus intéressant de ces cas, dont il n'a pas encore été question, d'en rappeler quelques autres, et de rapprocher les résultats auxquels nous parviendrons de ceux qu'avaient déjà obtenus en 1867, aux n^^ 724 à 729 de leur Tndté de philosophie naturelle, MM. William Thomson et Tait, à propos des couples de torsion s'exerçant sur le contour des plaques.

68. — Perturbations causées par deux forces égales et contraires s'eœerçani à l'intérieur d'un milieu solide indéfini.

Le cas intéressant de perturbations locales dont il s'agit est celui qui se présente quand on suppose appliquées, en deux points voisins pris à l'intérieur d'un solide élastique indéfini, deux forces égales et directement contraires. On sait que toutes les transformations usitées dans la statique classique des solides reviennent à admettre que deux forces pareilles n'ont aucun effet ; car le principe de réduction . qu'on y emploie consiste à déplacer les forces le long de leurs droites d'application, ou à diviser ces droites en petites parties et à appliquer à chaque point de division deux forces égales et contraires, dontl'une est censée détruite par la force opposée appliquée au point de division précédent ou à la première extrémité de la droite. Ainsi, le problème abordé ici est l'étude, pour le cas d'un solide élastique indéfini, des perturbations que néglige la mécanique classique dans chacune des réductions qu'elle effectue.

On le résout simplement, en superposant aux déplace-

menls u, v, îd que représentent les formules (195) [p. 291], et qui sont dus à une force d¥ s'exerçant à l'origine dans le sens des z, les déplacements pareils que produirait une force égale et contraire, — (?F, appliquée le long de l'axe des z négaiifs à une distance très petite de de l'origine. Pour faciliter le calcul, on peut concevoir que la force — d¥ s'exerce la première sur le solide au point dont les coordonnées sont 0, 0, c; en sorte que les déplacements correspondants u^VyW soient représentés par les seconds membres de [195),

pris en signes contraires et avec r = V/^ -^y'^-^{z — cf.

Ensuite, l'on appliquera la force d¥ ^^x point (o, o,c-hdc), ce qui donnera pour déplacements les seconds membres de (195), augmentés de leurs différentielles par rapport à c, ou du produit de leurs dérivées en z, changées de signe, par de. La somme algébrique de ces déplacements et des précédents égalant précisément les déplacements définitifs cherchés u, v, w, on aura :

4u!i 2(Xh

d¥dc -A

|j.] di/de'^ '

■ é-Kfx \2{>.^-2ii;) di^

Ces valeurs, différentiées respectivement par rapport à œ, y, z, puis ajoutées en observant que ^^r = — , donnent l'expression de la dilatation cubique

(196 to) ' '^^'^'