a) dz

Enfin, rien n'empêche maintenant, de supposer c = o, ;st-à-dire r = \/ x^ -\- y^ -\- z^ .

Les formules (196) et (196 Us) représentent donc les effets produits dans le milieu par l'application des deux forces (?F, — d^ s'exerçant respectivement aux points (o, o, de) et (o, 0, o), ou, ce qui revient au même, par une petite translation de de la focce t^F le long de sa direction, saToir, de (o, 0, o) à (o, 0, de).

Effectuons les différenliatlons indiquées dans ces formules, pour les points que contient le pian méridien, des zx, et posons finalement z =r cos a.^x=r sin «, « désignant l'angle, variable de o à ti, que fait avec les z positifs le rayon r mené de l'origine au point [x, z). Il viendra ;

' I X -I- |J. dFdc CûSa

[ 2[i. 47r[X-+-2ri; 1-2

Les déplacements matériels produits par une petite translation de delà force dF, le long de sa direction, se composent donc : 1" d'un transport de même sens, ayant pour

expression r^r — tt-. -^t- -, c'est-à-dire positif en avant de la

force, négatif en arrière ; 2° d'un mouvement, vers le point d'application de la force, qui vaut

2ii 8 TU |i (X ^- 2 [i] r^ ^ '■

Ce mouvement est négatif ou divergent à l'intérieur de la surface conique dont toutes les génératrices sont inclinées sur la force d'un angle (54" 44' environ) ayant pour cosinus

— :: et pour tangente ^2, tandis qu'il est positif ou con-

vergent à l'extérieur de cette surface,

Le long d'un même rayon r émané du point d'application de îa force, les déplacements varient en raison inverse du carré de ce rayon. Par suite, leurs dérivées premières sont

en raîyon inverse de r^ ; de sorte que les déformations et ■pressions intérieures, qui dépendent de ces dérivées, et gui mesurent les perturbations introduites par la translation de la force, décroissent en raison inverse du cube de la distante.

fjg^ perluriaiions qui accompagnent l'action d'un couple . appliqué de même à IHnièrieur d'un solide indéfini.

De même que nous avons obtenu les déplacements u, v, w, dus à deux forces rfF, — d F égales et contraires, en différenliant par rapport à z les seconds membres, changés de signe, des formules (195) [p. 291], de même, la différentiation en X de ces seconds membres, ainsi changés de signe, donnera les déplacements produits par les deux mêmes forces dY^ — dV, mais supposées appliquées en deus points de l'axe des x voisins, ou formant un couple d^dc; autrement dit, la différentiation par rapport à x fera connaître les effets introduits par un petit transport latéral d c, dans le sens des x, de la force d F parallèle aux. z. Ces déplacements se trouveront donc inversement proportionnels à ?'■', et les pressions intérieures correspondantes le seront à r''. Ainsi, les effets locaux ou déformateurs d'un confie, appliqué à un solide indéfini, sont aussi peu sensibles, à quelque distance de la région d'application, que ceiix de deux forces égales et exactement opposées.

Quant à l'effet d'ensemble du couple, qui consisterait en une rotation imprimée au solide, il est annulé par la résistance des obslacles immobilisant, d'après l'hypothèse faite, les parties du corps très éloignées de la région que l'on considère. Et il continuerait même à être sensiblement neutralisé par l'inertie du corps, supposé de grande étendue en comparaison de cette région, si les parties éloignées n'étaient pas maintenues fixes ; car il est clair que leurs déplacements effectifs resteraient négligeables, à côté de ceux de la partie directement sollicitée , durant

tout le temps nécessaire pour l'établissement de sou équilibre local.

10. — Ias perkirbaiions doivent décroître et s'évanouir bien plus rapidement, dans les solides allongés ou aplatis.

Il résulte de ce qui précède que les perturbations produites par deux forces égales et de sens contraires, s'exerçant dans un solide indéfini, sont en raison inverse du cube de la distance à la région d'application, dès que cette distance est notablement plus grande que les dimensions delà région d'application elle-même. Nous avions déjà obtenu aux numéros 26 et 28 (p. 112 et 119), une loi analogue, pour les abaissements produits à la surface d'un sol élastique par des pressions et tractions locales qui se neutralisent, Le décroissement de ces perturbations est assez rapide, comme on l'a vu sur l'exemple du numéro 26 [aprèsla formule (89), p. 112]. Mais il le serait sans doute bien plus, si les molécules immédiatement soumises à l'action des forces , extérieures se trouvaient moins gênées dans leurs mouvements, par les molécules voisines, qu'elles ne le sont dans un corps massif, c'est-à-dire, si elles avaient plus de jeu pour obéir librement à l'action des forces et ne pas comprimer ou entraîner la matière qui les entoure. Par conséquent, sans l'extrême solidarité qui relie toutes les parties entr'elles dans un solide dont les trois dimensions sont comparables, ou, ce qui revient au même, sans l'appui que ces parties se prêtent mutuellement pour résister aux causes déformatrices, les perturbations locales seraient beaucoup plus grandes dans les régions d'application, que cela n'a lieu, mais, par contre, elles seraient plus faibles partout ailleurs, et, pour ces deux motifs, bien plus rapidement décroissantes à la sortie des régions dont il s'agit.

C'est précisément ce que montrent les cas particuliers, étudiés au numéro 43 (p. 196), de pressions, nulles en

moyenne, qu'on suppose distribuéeH périodiquement à la surface d'un solide plan indéfini. Si l'on y conçoit le solide divisé en prismes égaux de longueur infinie et dont les bases respectives soient les diverses divisions similaires ou périodiques de la surface, ces prismes auront chacun à siipporter, pour ainsi dire à eux seuls, leurs pressions et tractions propres, vu que tous seront sollicités directement et pareillement. Leur état aura donc quelque analogie avec celui de prismes isolés , et la solidarité des parties interviendra beaucoup moins que dans le cas de pressions n'affectant immédiatement qu'une portion restreinte de la surface. Aussi avons-nous vu, dans ce numéro 43, que la loi du déeroissement des perturbations à partir de la surface y est incomparablement plus rapide : au lieu d'être exprimée par une puissance de l'inverse de la distance ^ à la surface , elle l'est par deux sortes de termes, proportionnels', les uns, à une exponentielle de la forme e"**, les autres, au produit iy.ze~"^. Aussi les déformations et les déplacements sont-ils complètement insensibles dès que la distance z atteint deux fois environ la largeur des divisions de la surface .

Il est donc probable que les perturbations locales décroissent avec un degré pareil de rapidité, c'est-à-dire proportionnellement à des exponentielles plutôt qu'à des puissances de la distance ayant leurs exposants négatifs, dans les tiges et les plaques, composées de tronçons accolés suivant un ou deux sens seulement. En effet, ces tronçons, se comportant individuellement comme de petits solides , massifs, mais très libres les uns par rapport aux autres dans les sens suivant lesquels ils ne sont pas contigus entr'eux , se prêtent à d'énormes déformations de leur ensemble pour de minimes déformations de chacun en particulier.

71. — C'est ce que MM. William Thomson et Tait ont direcie- Tnent démontré pour une plaque sollicitée par des couples de torsion s'eajerçanl sur son cylindre contournant; complément de leur démonstration.

Effectivement , MM. Thomson et Tait ont calculé, au numéro 728de leur JVaîté de philosophie w«^Mrei!/e, les effets, localisés près du cylindre contournant, qne produisent dans une plaque mince certaines tractions sensiblement tangentielles, s'exerçant j aux divers points de chaque génératrice du cylindre, dans des directions à peu près perpendiculaires à cette génératrice ou parallèles au contour, et ne donnant guère en tout, par leurs composantes normales à la génératrice, qu'un couple de torsion, d'une grandeur et d'une composition d'ailleurs arbitraires. Or, ils ont reconnu que ces effets s'expriment par des termes qui décroissent, avec ane extrême rapidité , proportionnellement à des exponentielles comme celles dont il a été question vers la fin du numéro 43 {p. 196). A une distance du bord valant deux fois seulement l'épaisseur de la plaque, tous les termes dont il s'agit se réduisent à des fractions insensibles (pas même 0,002) de leur valeur sur le bord.

La solution de ce problème se déduit des troisièmes intégrales (138) ci-dessus (p. 192),

'ly ' f& ' ' '

quand on y appelle 4* une somme de fonctions, de la forme '^[x, y)cosa^,ayant leur paramètre A^ nul et qui même, à une première approximation , sont réductibles à la forme encore plus simple ^e~''^cos ks, avec k constant comme a .

Prenons la génératrice qu'on veut considérer, du cylindre contournant, comptée à partir d'une des bases de la plaque, pour axe des z, une tangente au bord du cylindre pour axe

des j', enfin, une normale à ce bord, dans une des bases de la plaque,pour axe des se. Si a désigne l'épaisseur de la plaque, les deux bases auroQt pour équations^= o G\.z=a. Déplus, le cylindre contournant, supposé d'un rayon de courbure beaucoup plus grand que cette épaisseur «, se confondra sensiblement avec îe plan des yz sur une étendue, dans le sens des y, très supérieure à a, et son équation approcbée sera ic = o. Enfin, l'état du contour variant graduellement d'une génératrice à l'autre, les déplacements u, v, m el les forces élastiques N, T dépendront incomparablement moins de la coordonnée longitudinale y, que de la coordonnée transversale z, et que de la coordonnée a;, le long de laquelle l'état de la matière varié très vite près du bord.

Ainsi, dang une première solution approcbée, qui est précisément celle de MM. Thomson et Tait, les déplacements u, Vf w, tenus, par hypothèse, de devenir insensibles quand x grandit , ne seront fonction que des deux variables (E,z; et ils devront, pour ^ = o et ^ = a, annuler les composantes Ta, T,, Ng des forces exercées sur les faces z = 0, 2 = a de la plaque, tandis que, pour x=o, c'est-à-dire sur le cylindre contournant, ils annuleront, du moins à fort peu près, les pressions Ni, T2 dirigées suivant la normale et suivant la génératrice, mais donneront, dans le sens de? y, des pressions Tg égales à une fonction donnée de 2, astreinte seulement à avoir sa valeur moyenne nulle. Les expressions approchées de u, v, w, 9 qui satisfont à toutes ces relations etaux équations indéfinies (l)del'équilibre [p. 51], sont

où s désigne une somme s'étendant à toutes les valeurs, supérieures à zéro, du nombre entier i et oii les facteurs ki sont des coefficients à déterminer. En effet, les valeurs (198) vérifient évidemment les équations (1) ; et, de plus,

yGoosle

portées dans les expressions générales des forces élastiques N, T, expressions bien connues qui sont

elles donnent de suite

f Ni = o , Na t= o , N3 = o , Ti = o ,

lTi=-^^*,.- — sic— , T3 = -,.^^.

Or, ces valeurs de T^, T,, N3 s'annulent bien sur les bases de la plaque,. pour 2 = 0 et pour 2 = a. En outre, sur le cylindre contournant ;« = 0, N, et Ta sont nulles aussi, tandis que la traction — T3, exercée du. dehors dans le sens des y, égale bien, comme il le faut, de a; = 0 à œ = (ï, une fonction donnée ■^ f [z] nulle en moyenne , si l'on pose

(200) h = ^ r ^(ï) cos ^ dS.

On sait, en effet, qTie, d'après une formule classique,

/ (^) - - r /■{?) ^'^'^-^ cos ~ r /■(?) Ms ^ di,

relation d'où disparaît même ici le premier terme du second membre, à cause de l'annulation supposée de la valeur moyenne de f(^] entre les limites = = 0, ^ - a.

J'ai observé que les expressions de première approximation (198) renti'ent dans le type

il suflit effectivement, pour le voir, de prendre,

<(> ~ — y -TT-^ e ;r cos — ,

valeur de ^ dont le paramètre différentiel is s'annule identiquement, comme il le faut.

A une approximation plus grande, u n'égale plus zéro dans (201), même quand on suppose nulle la courbure du cylindre contournant aux etivirons ds la génératrice considérée, parce que le couple de torsion change graduellement d'une génératrice à l'autre, et qu'ainsi les coefficients ki donnés par la formule (200) dépendent un peu de y. Mais on peut toujours continuer à poser dans les formules (201), comme a fait M. Maurice Levy (*),

(202) ^ = -5^=p, (<.,y)cos^,

<^i désignant des fonctions de s:; et de y telles, que 4' vérifie, terme à terme, l'équation Aj i|j = o ; ce qui revient à corire

En effet, les expressions (201) de m, ^, m satisferont bien aux trois équations indéfinies (1) de l'équilibre et, vu les formules (lOS &is), aux conditions spéciales aux bases, c'est-à-dire aux relations T^ = o, Ti = o, Ng = o, pour 3 = 0 et £ = a. Et l'on pourra également leur faire vérifier la condition, spéciale au cylindre contournant et caractéristique-dû problème posé, d'après laquelle, sur chaque génératrice, les forces dont se compose le couple de torsion peuvent être choisies à volonté en fonction de z : car chaque fonction y„ tout en satisfaisant dans l'inlérieur du contour donné à l'équation aux dérivées partielles du

(*) Dans uti mémoire , sur la théorie des plaques , inséré au tome de 1^77 du Journal de Malhémaliquas pures ei appliquées, par MM. Liouville et Resal.

second ordre (203), reste assez indéterminée pour être susceptible de recevoir une valeur arbitraire sur toute génératrice du cylindre contournant; or il y a une infinité de fonctions pareilles, permettant d'introduire ainsi, dans l'intégralSj une infinité de constantes arbitraires propres à chaque génératrice, ou qui équivalent en tout, sur chacune, à une fonction arbitraire do z.

Nous venons de reconnaître que les fonctions ^^, à une première approximation , se réduisent aux exponentielles

-r^ e~~^, dans le voisinage de la génératrice prise pour

ase des z et, spécialement, aux divers points du plan mené suivant cette génératrice normalement au contour. Or les formules (201) expriment évidemment , pour les divers points [x, y) de chaque feuillet z = const, de la plaque , des déplacements tangents , dans ces plans , aux courbes 4* = const. , et égaux au paramètre différentiel Aj ^ relatif à ces courbes ; de sorte que la solution dépend uniquement des fonctions de point -Jj ou cp,. trouvées , non des as es des X et des y choisis, et qu'il est permis, en gardant toujours les mêmes fonctions de point tp; , de faire passer successivement le plan des zx suivant toutes les génératrices. On aura donc , à fort peu près ,

[203 bis) fi = -^ e~~ ,

n désignant la distance (qui était x dans le plan y — 6) du point donné (aï, y, z) à la génératrice la plus voisine, et k; une fonction connue [ donnée par (200) J , lentement variable, d'une abscisse courbe s mesurée le long du contour ou caractéristique de cette génératrice.

Avec lès valeurs exactes (201) et (202j de u, v, m, 6, ^, les composantes — Nj , — Tg, — T^ de la pression extérieure exercée aux divers points de la génératrice prise pour axe des z deviennent :

dx dy ^ dsdy a '

' ■''[dx^ dfj ^^\dx^ 'dfi

d.jj dz -^ e i:& «

Les valeurs moyennes de — Nt et — T3 sont identiquement nulles entre les limites 2^= 0, 2= a ; en sorte que les forces — N, dz, — Tgrf^, exercées par unité d'aire le long de la génératrice, équivalent respectivement à deux simples couples. Le second est précisément le couple de^torsion, supposé donné en fonction de ^ ou s, et le premier s'appelle couple de flexion. Celui-ci, dépendant des forces — ■ Ni, dont l'expression (204) contient en facteur une dérivée prise par rapport à y et dès lors très petite, est insignifiant en comparaison du couple de torsion, composé des forces — T3 dont

l'expression contient, à la place, le facteur -71 — /^ ou, sensiblement, ~. En remplaçant la dérivée seconde y— par la valeur —^ ^i, que donne la formule approchée

a, = — -4-e ^. les forces — N, et — T.peuvent donc, ou

i jïTT» ' '■ '

point de vue de leur rémliante et de leur moment total en tous les points d'une génératrice, s'écrire

(205) — N, = o , — Ta = !.. y^

Le moment H du couple de torsion, évalué positivement quand il tend à faire tourner dans le sens de oz vers oy, est

d'ailleurs \ ( — T3) 2 dz. Il vaudra donc

expression évidemment générale , on applicable sans que y soit nul , car il n'y entre que les fonctions -de point tp, j indépendantes de l'axe des y choisi.

D'aulre part, Veffort Pranchant ^= j ( — T9) dz,

exercé du dehors le long de la même génératrice, s'exprinje, d'après la dernière formule (204), par

Comparons celte relation à (206), et observons que, aux environs de la génératrice considérée , les variations de la coordonnée y se confondent avec celles de l'abscisse courbe s. Nous aurons la formule, très importante ici, et générale comme (206) .

gF.

Il est bon de remarquer, à ce propos, que les seconds membres des deux dernières relations (204), si l'on

remplace rr P^r -yr- -+■ tt- et si l'on redmt ensuite

2 "'-- -•- -rr a -^^t donnent —r- = -1-, et que celle-ci, df^ dz^ dH dy dz ^ ^ '

en y joignant la condition spéciale Ts = 0 à la limite z= a, aurait suffi pour arriver à la formule (208), En effet, l'identité

<iT,

peut alors s'écrire

et, pour z = a, elle devient

ce qui , vu les expressions définissant M et ir, ne diffère pas de la formule (208).

En résumé, les perturbations très rapidement décroissantes représentées à une première approxmatbn, dam chaque petite partie du contour d'une plaque, par les formules (198), se produisent quand la plaque supporte sur son cylindre con&yumant des couples de torsion quelconques, appelésMpar unité de longueur, graduellement variables le long du contour, en même temps que des couples de flexion négligeables à côté d'eux, et des efforts t?ranchants égaux par unité de longueur à la dérivée, changée de signe, du couple M de torsion le long du contour. Ainsi, lèse forts tranchants -j- neutralisent,

à quelque distance du contour, les coi^ples de torsion M, et, par suite, ceux-ci équivalent à des efforts tranchants égaux et cméi'aires-^. En effet, de pareils efforts tranchants -7-,

supposés appliqués conjointement avec les forces précédentes, ne feront, à cause d'un principe connu de simple superposition, qu'ajouter leurs effets propres, ceux qu'ils obtiendraient s'ils étaient seuls, aux effets insignifiants, purement perturbateurs, exprimés à fort peu près par les formules (198); et, comme il ne subsistera, dans ces conditions, que les couples de torsion M, ceux-ci, quant aux déformations d'ensemble produites, reviendront bien au

même que les efforts tranchants -7-.

11 résulte de ià qu'une réduction consistant à transformer des couples de torsion donnés M en des efforfs tranchants -j- , pour obtenir, par leur réunion à d'autres efforts

tranchants également donnés, ce qu'on peut appeler les efforts tranchants totaux, est parfaitement légitime dans la théorie des plaques. Elle équivaut, il est vrai, à négliger les perturbations locales l'198) : mais ces pertnrbations ne sont sans doute pas plus sensibles que d'autres dont on ne s'inquiète guère ordinairement, telles que celles qui se produisent aux extrémités des tiges, ou celles que causent, au bord d'une plaque sollicité par des forces extérieures, les modes divers suivant lesquels s'y distribuent les tractions parallèles au feuillet moyen, les efforts tranchants et les couples de flexion, dans chaque plan mené, normalement au contour , le long d'une génératrice , ou plutôt entre deux pareils plans consécutifs.

72. — Réduction , opérée par M. Kzrchho/f, de deuay des condîiions aux limites que Poisson avait données dans la théorie des plaques , à une seule condition distincte.

On ne peut donc se refuser à admettre, dans la théorie des plaques, la condition unique aux limites par laquelle M. Kircbhoff en a remplacé deux de Poisson, et qui revient justementànepasdistinguer, quant à leurs effets généraux.

entre des couples de torsion M et des efforts tranchants -7—

Cela permet de faire croître, sur chaque génératrice l'effort tranchant aux dépens des couples de torsion, ou vice-versâ, les couples de torsion aux dépens de l'effort tranchant, jusqu'à ce que leur rapport soit justement celui qui s'observe, pour même effort tranchant total, quand il n'y a pas de perturbations locales, c'ost-à-dire quand les modes simples de déformation qui se produisent à quelque distance

du bord existent jusqu'au bord même. Or, on sait que la fusion des deux- conditions de Poisson dont il s'agit en une seule est nécessairo et suffisante pour que la détermination de ces modes simples devienne un problèmeàla fois possible et déterminé.

Il était aisé, du reste, de se rendre compte, par le principe général énoncé au numéro 67 (p.298), de la possibili té de remplacer les couples de torsion M par des efforts tranchants

— - , à des perturbations locales près ; et c'est ce que j'avais

fait en 1871 {'), sans me douter que MM. William Thomson et Tait m'avaient précédé de quatre ans, dans les numéros 645 à 648 de leur Traité de -philosophie naturelle, publié en 1867 . Divisons, par la pensée, en menant des génératrices équidis tantes, le cyHndre contournant d'une plaque mince en un nombre pair de bandes rectangulaires, ayant leur

longueur, que j'appellerai —, comparable à leur largeur,

ou épaisseur a de la plaque. Une bande double de longueur ds, formée de deux bandes contiguës, -supportera le couple de torsion donné M (^5, qu'on peut se représenter comme formé de deux forces perpendiculaires aux génératrices et comparables à M, si l'on admet que l'unité de longueur soit prise de l'ordre de l'épaisseur a. Une rotation de 90 degrés imprimée à ce couple, dans son plan, permettra de le remplacer, sans changer son moment, par un couple de deux autres forces. M, parallèles aux génératrices, distantes de ds, et appliquées aux deux bords de la bande double : l'une, appliquée au premier bord, dont s — ds désignera l'abscisse courbe, est dirigée du côté des z positifs et peut être censée composée de tractions distribuées d'après une loi continue sur les deux bandes simples que sépare ce bord;rautreforceM,s'exerçant le long du bord d'abscisse s, suivant les z négatifs, peut être de même composée de

(*) Comptes-Rendus de l'Afiidànie des Sciences de Paris , iO avril 1871 ; t. LXXll , p. 449.

tractions distribuées suivant une loi continue sur les deux bandes contiguesàce deuxième bord. Quoique les nouvelles forces dont il s'agit ne soient plus appliquées tout entières à l'intérieur de la bande double considérée, elles ne cessent pas de l'être dans une même région du corps, très f&tiU m tous sens, que les premières ; en sorte que le principe général sur lequel nous nous appuyons est sauvegardé. Or, le coupie appliqué à la bande double suivante donnera de même, sur les deux bandes simples contiguës à son premier bord, d'abscisse s, une traction totale dirigée vers les z positifs,

mais égale à M h — — ds. L'excès de cette force sur celle, M, ^ as

de sens contraire, que supportent déjà les deux mêmes

bandes, est donc un effort tranchant — ^ ds, c'est-à-dire ' ds

-^ par unité de longueur : ce qu'il fallait démontrer.

On voit par là que les couples de torsion ne produisent, sur rensembîe d'une plaquCy que des flexions, tout comme le feraient les efforts tranchants auxquels nous les avons réduits, et que même ils n'obtiennent ces effets que lorsqu'ils sont variables d'un point à l'autre du contour, ou en raison de leur dérivée par rapport as. L'analyse ci-dessus démontre que leurs eif ets propres, c'est-à-dire irréductibles à ceux d'efforts Irancbants, et constitués par ces sortes de torsions qu'expriment les formules (198), se trouvent confinés dons une zone étroite contiguë au contour, zone où se produisent également les perturbations locales, non moins grandes sans doute, dues aux modes d'application divers de ces efforts tranchants, des couples de flexion et des tractions ou pressions tendant b étendre ou à comprimer la plaque.

75. — Réflexion sur la cause probable qui a rendu accessibles les questions traitées dans cette élude.

Les formules (198) de MM. Thomson et Tait ont été un premier pas dans le calcul des perturbations locales. Mais il' ne semble guère probable que ce premier pas doive conduire un jour à évaluer également les autres classes de perturbations locales que présentent les tiges et les plaques, comme il le faudrait pour se rendre réellement compte des phénomènes qui se passent près du contour ou des extrémités de ces corps.

En effet, les formules (198) conviennent, à proprement parler, au cas d'une plaque indéfinie, à bord rectiligne (ou curviligne d''nn rayon de courbure infini), soumise par unité de longueur de son bord à un couple de torsion constant; et de pareils couples ne produisent aucune déformation générale, puisque les formules (198) représentent tous leurs effets, qui s'évanouissent pour œ un peu grand. C'est d'ailleurs ce que démontre le raisonnement synthétique cidessus (p. 315) qui, permet, à des déformations locales près, de convertir de tels couples, constants par unité de longueur, en une série d'efforts tranchants égaux et contraires, s'entredétruisant exactement. De même , les autres problèmes traités dans ce mémoire, soit à propos de la résistance d'un sol indéfini chargé de poids, soit à propos d'un corps de dimensions infinies sollicité en certains points de sa niasse par des forces extérieures, correspondent h des cas où les causes déformatrices n'ont que des effets locaux, à des cas où les déplacements s'annulent à l'infini. Or, il est naturel de penser que les phénomènes se simphfient alors beaucoup, par suite de la disparition des influences propres aux surfaces-limites et qui, autrement, compliqueraient les problèmes, ou, ce qui revient au même, par suite de l'évanouissement des déformations d'ensemble.

Je serais donc portéàpenser que c'est uniquement à cette circonstance simplificatrice, à cette absence de mélanges d'effets généraux et d'effets locaux , que nous devons d'avoir pu intégrer les équations différentielles et d'avoir rencontré des lois abordables. Or elle ne se présenterait plus dans les cas d'efforts trancbants, de couples de flexioUj etc.