Définition et propriétés du potentiel sphérique

Le potentiel logarithmique à trois variables <J> peut se déduire du potentiel ordinaire ou inverse en multipliant celui-ci par la différentielle, dz, de l'une des coordonnées, et en intégrant alors sans faire varier les autres coordonnées. Mais le potentiel inverse etle potentiel directne pourraientils pas, eux-mêmes, se déduire d'un potentiel encore plus simple, dont le paramètre différentiel A^ jouirait d'une propriété facile à démontrer et qui serait comme la source de celles que présentent les paramètres i^ de ces fonctions? C'est, en effet, ce qui a lieu, comme on va voir

par l'étude du potentiel à quatre variables auquel sera consacrée la note actuelle (*).

Soient: m uûe masse quelconque fixe, dans un espace rapporté à trois axes de coordonnées rectangles as, g/, z; et 0, ou p («1, iji, Zi), la densité de la partie dm = pd^de cette masse qui remplit l'élément de volume dzi occupant la situation {xi, y^, Zi). Imaginons qu'on décrive, d'un point donné [x, y, z) comme centre et avec un rayon donné r, une splière dont c- = 4 j: î"^ désignera la surface , puis qu'on évalue, pour chacun des éléments (^^ de cette surface,

ayant les coordonnées Xi, iji, Zi, l'expression — , et qu'on fasse la somme des valeurs qu'elle prend sur tous les éléments de (7. On obtiendra ainsi l'intégrale double tp= ( ~,

fonction des quatre paramètres x,y,z, r définissant la sphère. C'est cette fonction que j'appellerai \ç> potentiel à quatre variables, oalepotentielsphériqueÇ"). On peut encore,

en désignant par p, la densité moyenne ( p- — de la masse

entons les points de la surface de la splière, lui donner

pour expression f =~=4T.r pi.

Évaluons son paramètre différentiel du second ordre

^î f ~ , on ^ désigne l'expression symbolique

-y-T -+- -r^ -i- -T— . On l'obtiendra sans faire varier ni '/, ni la

//■nû //«a y/*a ^

(*) Cette note a été résumée dans les Compi«s-ltendus de l'Académie dos Sciences (t. XCIV, p. 1465 et i648 ; 29 mai et 19 juin 1882: t.XCV,p.479; U septembre 1882).

(**) Elle rentre bien , à un facteur constant près , dans la définition généi'ale des potentiels, que j'ai donnée à la note du n" 56 de l'Etude précédente (p. 264). En effet, ai on la multiplie par une ligne infiniment petite constante î , le produit

ainsi obtenu exprimera évidemment l intégrale ( - — ,

étendue

toute la matière que comprennent entre elles les deux sphères décrites , a du point (x, y, î) comme centre, avec les rayons r et r -i- s.

grandeur d'aucun des élémenls ds de la sphère, mais en déploçaiit les situations {Xi^ y^, z^) de ceux-ci comme le centre même [x, y, z) et le long de parallèles aux x, aux y, ou aux z. Chaque élément de o, correspondant à un même élément d 5, auTa donc pour son paramètre i^ l'expression

et il viendra, par suite,

Or, si nous considérons l'intégrale y"(iap)(/î5, pour l'espace is compris entre les deux sphères ^^ / décrites, autour de {x, y, z) comme centre, avec deux rayons infiniment peu dilférents '/■ et / = r -1- e, nous aurons, en prenant d'abord dzi 7= s drsjf[\^çi) d s = s/ (^^^) d -s; et la formule précédente de i? f pourra s'écrire

Il suffira donc d'évaluer /(i^ p) f/ s, puis do diviser par r s, pour obtsnir X-f. Mais, d'autre part, chacun des trois termes

composant fi^ p) d^, c'est-à-dire -~ dia^oa -j— ^ (fss, ou

n . ' l ifi

y-^rfïs, s'intègre une fois, quand on y "pose dm=dxidyidzi,

et donne, comme on sait, une intégrale relative à !a surface limite de m, c'est-à-dire ici , aux deux sphères <r et t'.

Représentons par -y- et par -p des dérivées prises, à partir

de chacun de leurs éléments d^ ou di\ le long des prolongements des rayons r et r qui leur sont normaux , en appelant d'ailleurs p', p'j les valeurs de p, oj sur la sphère /; et il viendra, par une suite de déductions presque évidentes,

relation dont l'avant-dernier membre se déduit du précédent en observant que, lorsque r ou / grandissent sans que

X, y. z varient, les rapports — ou— r, considérés sur diverses sphères concentriques le long d'un même rayon r, restent constants. Or, il est évident que le dernier membre de (a), divisé par e = r' — r, exprime la dérivée

dr \ dr J ^ dr \

ij du potentiel considéré 4 -rcr p, aura la valeur

__4-r. d („ypi\^^- d I d.rpi \ d^.rpi ^fPvi")

Xiïi^i,' le paramètre diférentiel A^ et la tUHvée seconde, far rapport au rayon r, dît potentiel spliérîque, sont deux expressions identiguement égales; de sorte qu'on a

'^' Ir^ ~ ~dx^ ^ If '^ 1^'

Observons de plus que, pour 'r = o, ce potentiel s'annule,

(*) G'eat bien ce qu'aurait donné la formule générale (165 qvater) [p. 266] du paramètre Aî d"un potentiel quelconque , en observant : 1" que 5; doit y être remplacé ici par la fonction — , dont 1j As est nul ; 2° que ffxfdsiy désigne ce que noua appelons maintenant tp;; et 3" que l'intégrale à la surface, / tf^" — ( — jd;,

,, . „ /■d./r'd/ /'d.firdi d r , , d/ d f d-.

s écrit actuellement / — ~ — r-— i -^-^ = -73 I /' -rr — ^ / P»"-;'

J dr' r'ï J ar 1^ dr'J . r's drJ r^

expression identique à — ^ — -i = -~ ^ , si (p' exprime ce que devient 'a ou s - — '- quand f devient i-'.

ainsi que sa dérivée seconde en r, tatidis que sa, dérivée première m r se réduit rf 4 t: p te, y , ^). En effet, quand r est très petit, p prend, aux deux extrémités de chaque diamètre 2 r de la sphère, des valeurs dont la moyenne arithmétique ne diffère de la valeur de p au centre que par un terme de l'ordre de-/^ On peut donc, sauf erreur de cet ordre, réduire pi à ? {œ, y, z). Il en résulte pour ç = 4 tt *■ o, l'expression 4 ir *■ p {x, y, z), abstraction faite d'un terme comparable à r'^ et qui n'influe, à la limite t' = o, ni sur y, ni sur les deux premières dérivées de --p en r. Or, cette expression donne bien zéro pour les valeurs cherchées de y et de sa dérivée seconde en :/■, 4 - p (x, y, z) pour sa dérivée première.

Toute fonction de la forme-U =f^ f[r) f dr, où e désigne uneconstante positive infiniment petite, aura son paramètre différentiel \ évidemment égal à ///M(Sï) dr; ce qui permet de poser

Quand la masse on =J o d ta n'occupe qu'un volume de dimensions limitées et ti sa valeur totale, /(^r/p(?T, finie, œ s'annule évidemment pour les valeurs suffisamment grandes de r et la fonction U, en y supposant assez considérable

la limite supérieure, devient l'intégrale j — ^. Elle exprimera donc l'un ou l'autre des deux potentiels ordinaires àtrois variables, inverseet direct, / —et j rdm, siï'onj preiidrespectivement/'[r)=l et /(rj^r^. Dans le premier cas, le dernier membre de (y) donnera pour A^ U l'accroissement

total qu'éprouve la dérivée -j- , quand r y grandit depuis s , où sa valeur est 4 t: p (x, p, z), jusqu'à l'infini, où sa valeur est nulle. On aura donc A^ ( — = — 4^p, conformément

au théorème de Poisson. Dans le second cas. deuK intégrations successives par parties donneront évidemment

et il viendra t^^/rdm =2 j ~; d'où, par suite, à^ l^i^fréw. = — 8 :t p, relation exprimant la propriété principale du potentiel direct (*).

Bornons-nous, comme exemple du calcul d'un potentiel sphérique y, au cas d'une sphère massive homogène, de rayon R, ayant son centre à l'origine. Nous appelleronsDla distance \/ir^ -^ p^ -^ z^, à ce centre, du point [w, y ,z) pour lequel on désire connaître la valeur du potentiel.

(*) Eaitension aux cas d'espaces ayant moins de trois dimensions. — Tous les raisonnements qui précèdent s'étendent sans difficulté aux cas oii les coordonnées ai, j, ... sont on nombre moindre que 3. Si Voni donne , en général, «ne fonction do point j) (x, y, ...)dana un espace à n dimensions (oii n désigne l'un des nooiires 1, 2, 3) et si , cet espace étant rapporté à dea axes rectangulaires des œ, y, ...,ron décrit, autour du point (a;, y, ...) comme centre, une figure i dont tons les éléments dt soient situés à une égala distance r de ce point , la valeur

r as moyenne, pi^ t p — , Ae ■, sur toute son étendue, sera une fonction de a:, y,....

dï di

ot de r , ayant son pai'araeti'e A» ou — -, -h - — ■ -+■ ... évidemment égal à daS âyt

— j (,àii) di. Or cette expression peut s'écrire encore — / (Asr')'^^.SS

désignant l'espace r, r compris entre la figure t et la figure concentrique o' d'un rayon r' = r ^ i infiniment peu supéneur; et, comme on peut prsndre

djs ^ dx\ diji . . . , puis , au moyen d'une intégration, transformer / (ia f) rf as , par la formule (k), en î — ( s -^ 1 , il viendra, si l'on observe finalement que i est proportionnel à r""', la formule fondamentale I d

^ ^''' s dr V dr) pt-i dr\ dri dr'^ r

EU

ient à réquation aux dérivées partielles du second ordre di(?i n—i dpi iP,oj d2,oi rirS T dr '~ 'd^ d^

U'ailieurs, les considérations données après la formule (;3) monti'ent que , pour

La sphère de rayon r, décrite autour de {œ, y, z), fera daus îa masse donnée, de rayon R : 1" une section nnlle, qnand elle Ini sera extérieure, ou qu'on aura, soit D^r-i-R, soit D < r — R (avec r > R) ; 2" une section égale à 4 « î^, quand elle lui sera, au contraire, intérieure, ou qu'on aura D <^ R — r [avecî- <^ R); 3> enfin, pour I) compris entre les deux limites r — R et r -+- R, ou R — r et R -t- r, une section en forme de calotte , dont l'aire vaudra 2 t. r^ (1 — cos a) si st désigne l'angle au centre de son arc générateur, angle opposé à R , dans le triangle ayant pour côtés D ,

r, R, et qui a , par conséquent, le cosinus — ^^-^ — ■. Ainsi, dans le troisième cas, la section vaut -rjr- [R"^— {r— Dj^], D'ailleurs, a , ou ( p— , égale évidemment le produit de la

r très petit. ,H diffère de o(,i, //, ...) par un terme de l'ordre do rî seulement, eu

Cas conditions , en quelque sorte initiales , jointes à l'équation aux dérivées partielles {'"), détermineraient îa fonction pi : ainsi , l'intégrale de (=>") et ('"')

En posant , = ;.i r~ï~, ou sj ^ r ^ ç, l'équation linéaire (y'') se transforme dans celle-ci

£î ln-i){3-») ^ ^ ^, ^ ^ ^ ' dr^ 4rî ^ ûx'^ diJi " "

qui , dans les deax cas « == 1 . n ^ 3 , devient une équation à coafficieiits constants par la disparition de son second terme, et a ainsi pour intégrale générale la

somme d'une expression de la foi-me f^t r~ et de la dérivée en r d'une autre expression analogue. C'est ce qu'on voit de suite dans le cas n = 1 , oii l'on simplement

est ce qui sera développé au n" 3 cî-api'ès pour le cas n = 3. lel que soit n, un potentiel de la forme

U= f f(r)d^^J ,((r)d7!i= j[%yf{r-).dr.

yGoosle

section considérée par — ef par la densité uniforme p de la masse. Il vient donc :

( pour D < )■ — R et pour D > r -i- R; 'f = o ,

( pour D <^ R — r) 'i T= ir.pr ,

(uiUreleslimitesD — \ {B.^-rA

Ces expressions ne dépendent, comme on pouvait le prévoir , que des deux variables ?■ et D = W x^ -^-y^ -*- z^.

Quand, rétant constant, on failcroîtreDdezéro àl'infini, la fonction y varie avec continuité: elle est exprimée.

Oïl s'étondant à toute une masse doniiéo fû m , aura évidommBtit poui' sou pai'amètrj diftëi-entiei dt l'expression / f{/) (J^oi) =rti-, ou bien, vu la formule

(^tO' / fi'') — i" — 1 '*'■ ' c'est-à-dire , en intégrant par parties . ■J^ dr \ dr I

'>'ïi-i,

Or le terme aus limites s'annule évidemment pour r := tx; , ca ;,r=o aus très grandes distances, et il s'annule aussi, vula seconde relaiion («'"), 'a la limite inférieure j'r=i, pourvu que le produit ^(r) j, proportionnel à f(r)r'^*, n'y devienne pas inflni. Il na reste Aonc que le doroier terme , et une nouvelle intégration par parties donne enfin, en appelant î,, la valeur de : pour r =: ! ,

bO À,/>Wi« = .,/■' (.)?(«,», ■■■)-t-J]''nj^{'''Vil"-

Telle est i'expreasion générale du paramètre Aj d'un potentiel de la forme /f(r)dm se rapportant à toute une masse donnée /à nt. On en déduit; i" pour

n=:3(d'oU 7=:47rrS)etpoui'f(r)=:soit—, soit r, les formules is / — = — 4if,

A» /rdm = 2 i —; Z" pour j* =; 2 (d'où j = 2 - r) , et pour / (r) ^ soit log r,

soit r^ log r, les formules du n" 60 (p. 275),

âi/logr.rfm = 27rp, i-i/jï log r.dm = 4/(1 -i-logc)rfw,

d'abordjpar la seconde ou par la première formule (S), suivant que r est <^ R ou ^ R, puis, pur la troisième et, enfin, par la première (3). Pour r <^ R, elle reste d'abord constante, égale à 4 jc p r ; ensuite elle décroît et s'annule. Pour r ^ Rj elle est d'abord nulle, puis grandit, devient maximum à l'instant où D = \, r' — R*, pour décroître et s'annuler ensuite.

La dérivée j^, toujours finie (si ce n'est près de l'origine,

ou pour D = e , quand la différence de r à R est un infiniment petit s), devient donc négative après avoir été nulle ou positive.

Si maintenant on considère un point déterminé (x, y, z), défini par sa distance D à l'origine, et qu'on fasse grandir r de zéro à l'infini, la fonction tp varie encore avec continuité (sauf, pour D = o , à l'instant où r = R) , et elle croît, à partir de zéro , pour décroître et s'annuler ensuite. Suivant que D est < R ou ^ R, elle se trouve représentée d'abord par la seconde ou par la première (S), tant

qu'on a r <^ y/ (R — D)^ ; puis elle l'est par la troisième (S) , entre les limites r = \,' (R T D)^ ; enfin , pour r ^ R -i- D , c'est la première (S) qui l'exprime. Son maximum, évidemment égal à --^■-- . se produit pour r = D : la dérivée -77 ,

positive pour les valeurs de r plus petites que D, est donc négative pour les valeurs de r plus grandes: et elle reste d'ailleurs toujours finie, si ce n'est encore quand D = 0 et r = R, cas où «p passe brusquement de Ja seconde forme (5) à îa première , car l'intervalle où s'emploie la troisième , chargée d'établir la transition entre les autres , s'est réduit à zéro .

On vérifie aisément : 1° Que le potentiel ordinaire I adr,

relatif à la totalité de la sphère massive, prend respectivement, pour D <r R et pour D ^ R. les deux valeurs connues

. 2" Que l'équation, -jj = \f

dépend de X, î/, 2 que parla variableD=\ / «^-i- p^-t-z^,esi bien satisfaite. ,Car l'intégraie de celle-ci, en tenant compte de ce que D f doit s'annuler pour D = 0 , est

oii ii fauf, pour i[ueo et -j- égalent respectivement zéro et 4-p(D'^) à la limita ■/■ = 0 . prendre

abstraction faite d'une constante arbitraire qui s'élimine par soustraction dans Dtp : ici où p est constant pour D C R et nul pour D ^ R . il vient donc

f[T>)=:T. pm (pourDï <Rî)et/-(D)=:-oRî (pour D^ > R^).

Or, ces valeurs de/' (D) conduisent précisément aux trois Connules fS), quandony fait sur D et r les bypotbèses correspondant à chacune des trois formules.

Observons encore que, si l'on ajoute à la niasse sphérique unecoucbe, dedensité p et d'épaisseur ffR, qui l'enveloppe, les accroissements simultanés, ou les différentielles par rapport à R , des expressions (Ô) de f , seront justement les valeurs, aux diverses distances Dde l'origine, du potentiel spbéri([ue relatif à cette couche spbérique 4- pR^f^R. On aura donc, pour celle-ci,

( 2':ipR^R/ , „ . ^ / r \

\ f = L^ entre les limites D = l/' (R ,- r)* ou / = \ (R ::;: 0]^ ,

[9 = 0 (en dehors de ces limites ),

aleurs très simples, indépendantes même de r, mais qui,

mallieurei] sèment, ne se raccordent pas, ou font varier f d'une manière discontinue. Cette circonstance doit rendre leur emploi très délicat.

2. — Son applicalion au calcul de la valeur moyenne , pour un point donné, de la dérivée d'un ordre quelconque d'u^e fonction de point, dérivée prise le long des divers éléments reclilignes se croisant en ce point , et au calcul de la valeur moyenne de la puissance de 'même ordre de la dérivée première de cette fonction.

L'équation fondamentale (PJ, jointe aux deux conditions 9 = 0 et ^ = 4x2 pour r = o, conduit aisément ans valeurs q;ue prennent, à cette limite r = o , toutes les dérivées de f en 7' ; et elle donne par suite, ces dérivées s'y trouvant finies, un développement du potentiel sphérique f , par la formule de Mac-Laurin, convergent pour les valeurs assez peu considérables de r. Si nous différentions en effet deux fois par rapport à r l'équation (fj), il viendra, vu que l'ordre des signes Aj et — peut être interverti , et en tenant finalement compte de cette équation (P) elle-même ,

dr* dr-

Celle-ci , difTérentiée encore deux fois en r, donnera

— =:A,i2i,œ, et, en continuant de même , on aura ^éné-

dr^ ' ' '

ralement

di'>9 , , i^^+'ç , ^ d-i

Faisons enfin, dans ces formules, r .-= o, œ ■= o, ---= i-^^: et il viendra

Le développement de cp, par la série de Mac-Laurin, suivant les puissances de t est donc

'^ "M 2.3 2.3-4.5 ■■" 2.3...(2ffl-i-l) ""J'

Divisé par 4-î' , il donnera , à cause de la formule (p = 4ii:î*pi , la valeur moyenne pj de la fonction p sur toute l'étendue de la sphère de rayon t décrite autour du point [x,y,z) comme centre. On aura donc, du moins pour les valeurs de r assez petites , quelle que soit la fonction continue p des trois coordonnées x, y, z,

Des différentiations successives en r, ou l'identification de cette formule (5') avec le développement de pi par la série de Mac-Laurin suivant les puissances de r, permettent ensuite de poser, quel que soit le nombre entier et positif m.

(ia)^p (si m estpai

Or il a été obs6r\'é [p. 322 ] et il est^ d'ailleurs , presque évident qu'on peut différentier sous le signe/, par rapport à r, l'expression f P — de pi , où <r désigne la surface de la sphère de rayon r, décrite autour de {x, y, z) comme centre, et dv un de ses éléments , limité , quel que soit r. par le même cône de rayons vecteurs émanés de (x,y,z). Donc on a -r^ = I — - — . A la linute r = o , -~ devient évidemment la dérivée m'"' de p, pour le point (aï, y, z), le long d'un élément rectiligne ds ayant' la direction du rayon r (|ui aboutit à l'élément e^t ^ et, par suite, l'expression l ——- -^ n'est autre chose que la valeur moyenne

de cette dérivée -m*™, -j^, prise suivant toutes les droites qui se croisent en(x,y, z). Donc la formule (5") peut s'écrire

[ zéro (pour Si impair),

{J"'j Movenriede~-i-= l \ -

/ i7^ ''^^'^'^ (pourmpBir).

Sous cette forme, elle comprend comme cas particulier celle qui nous a conduit [p. 45 ] à la définition naturelle du paramètre différentiel A^; car il suffit d'y faire m = 2 pour qu'elle donne

M.,.™de — =^.

Mais elle montre de plus que la valeur moyenne de la dérivée d'un ordre pair quelconque, prise en un môme point suivant toutes les directions , s'exprime très simplement au moyen du symbole A^, et qu'elle s'obtient en répétant, l'opération indiquée par ij (*).

(*) Il est aisé de voir ce que deviennent les foi'mules (;'), (ô") et {''"') dans les cas oii le nombre n des cooivlonnées a:, y, ... diffère de 3. L'équation indéfinie (-/') de la note du n" précédent (p. ES4), jointe aux conditions , toujours suLsistantes, f.i = p et — ^ ^ o pour r = o , permet d'y déterminer les coefficienta du liêTeloppement do ,;] suivant les puissances de J' ■ développement évidemment possible pour les valeurs assez petites de r. On trouve ainsi, par une application immédiate de !a méthode ordinaire des coefBciente indéterminés ,

et l'on en déduit, en raisonnant comme il vient d'être fait ,

( zéro [pour m impair).

Moy..nede2- _____ U»-.^:.-.:<«L-l) (,,)!. {p.ur . pei.).

On voit que . si « = 3 , ces formules se réduisent bien aux précédentes (p') et {'■'"). Dans le cas » = 2, la première prend la fonne très simple

'-. =:+ ^ r^-)- ^l^îl ri -1-

et la seconde donne la pronjîèi'e (S>'). qu'on trouvM'a , ci-après, démontrée

On sait que , si (Z,&,c désignent les cosinus directeurs de l'élément rectiligne ds, la formule symbolique de différentiation en ds est

et qu'il en résulte, pour une dérivée m"% — ^, le même

développement symbolique que pour la puissance m^'

d'une dérivée première -— . Si donc on prend, dans chaque

terme de ce développement , la valeur înoyenne du coefficient en a, h, c pour toutes les orientations possibles de la droite ds, l'expression obtenue représentera, à volonté, soit la valeur moyenne d'une dérivée m'""' , soit la valeiir moyenne de la puissance m^"' d'une dérivée première ; et

comme, dans le second cas, l'expression -rrr ->- -rr-'" -tt ' ' '■ ax^ dy^ dz^

signifiera la somme des carrés de trois dérivées premières,

on que A^ devra faire place à A^^, la.foraiule (S'") deviendra

[ zéro [pour m impair),

(-!"■■■) Moyenne de -^ = \ \

\ rl^ip!"" (pour m pair).

Dans le cas particulier m=2, cette formule redonne celle que nous avons obtenue au n" 8 bis [p. 46] pour définir le paramètre différentiel du premier ordre , savoir

Moyeone de ■— — = --— - .

ds^ à

Quand la fonction p ne dépend pas de z, on ne la considère généralement que dans le plan des a?y, et il y a lieu

de chercber les valeurs moyennes de — -^ et de -4—, pour

les éléments ds qui s'y trouvent contenus. Ces valeurs moyennes se déduisent aisément des précédentes, supposées prises pour un point du plan desa^. A cet elîet, considérons,

dans la sphère d'un rayon intiniinent petit r, le demi-fuseau compris, du- côté des z positifs j entre le plan des a^y et deux plans se coupant , suivant le diamètre parallèle à l'ase des z- , sous un angle infiniment petit. Pour fixer les idées, supposons que l'un de ces plans soit orienté suivant les zœ. Alors, pour tous les éléments rectiiignes ds qui, prolongés, aboutissent aux différents points de ce demifuseau, on a, si y désigne leur angle avec l'axe des s,

Multiplions cette expression par l'élément d'aire que découpent, dans le demi-fuseau, deux circonférences parallèles distantes de rd'( et ayant les rayons respectifs r siny, r sin (y -H c^y) , élément proportionnel au produit siii. y(^y;

puis intégrons dey=o à ^:~—^y '•^^ 'ço'wv toute la surface du

demi-fuseau, et, en divisant enfin par cette surface même,

nous verrons que la valeur movenne de - — , dans toute

l'étendue considérée, est le quotient de [ ( ' sin '(d-A —

par / ^siny(?y = l. Autrement dit , et la même chose ayant lieu pour le demi-fuseau situé du côté des z négatifs, la valeur moyenne de l'expression -— -, pour tous les éléments ds qui se projettent sur le plan des xy suivant un même élément recliligne dx de ce plan , est le produit de l'expression analogue, - — , relative à ce dernier élément, par le facteur constant \ %in y (/y. Par suite,

si l'on considère successivement tous les éléments ds et leurs projections sur le plan des xy , on verra que la

moyenne générale de-j^, dans l'espace, a, avec la moyenne

de -y^ dans le plan , le même rapport / ^ sin y (^ y. La

moyenne dans le plan sera donc nnlle pour m impair, comme elle l'est dans l'espace; et, pour m pair, elle vaudra le produit de la moyenne pareille dans l'espace par l'inverse de l'intégrale

c'est-à-dire par -^^ —

{m -+■ 1). Ainsi, les

formules

(S"') et (S") donneront

; (dons le cas de deiii

coordonnées seuleraenl)

\ M.,ennedeg='

, ïéro (pour (TTT"' "^liT '''''' '''''°'

Mimpeip), „..p«r);

j Moyenne de -f- = 1 rfs™

, «m (pon,

■ impair) ,