rf" (p

lur îM pair).

5. — Inlégration de l'équation du son par des potentiels Rphériques.

Le potentiel sphérique ( - — étant une fonction de

X, y, z, T qui vérifie l'équation linéaire aux dérivées partielles et à coefficients constants

dr'' dr^ dw^ dy^ di^ '

il est évident que sa dérivée par rapport à r,, -j- ( ~, la vérifie. aussi et constitue une seconde intégrale de cette

équation. D'ailleurs , vu (p. 323) les valeurs que prennent, pour T = 0, le potentiel sphérique et ses deux premières dérivées en '/', la première de ces deux intégrales donne

■a^o, ~ = 4:T^p{œ, y., s)h. la limite r = o, tandis que la seconde y donne f = 4 ti ç (>k, 3/, z),-~~ 0. Si donc nous superposons ces deux solutions, après les avoir divisées par 4^7 et avoir remplacé dans la seconde la fonction arbitraire P, ouf)(;»i, yi, 2i)> par une autre fi, ou pi {x-,, y^, z^), il viendra l'intégrale générale de l'équation [s),

1 r-pdi 1 d rpid'!

pi [x, y, z) et p {x, y, z) étant les deux {'onctions de x, y, z qui expriment les valeurs de f et de sa dérivée première en T pour la valeur initiale, r — 0, de la variable indépendante princijJale r.

Imaginons que, dans l'équation (e), tp désigne un certain état physique, ayant une valeur déterminée en chaque point {œ, y, z) de l'espace, et aussi à chaque instant t, dont l'intervalle au commencement du phénomène sera appelé r. On voit que, pour obtenir tpau point te, y, z) de l'espace et à un moment donné, il faudra, après avoir assimilé les valeurs initiales de ç et de sa dérivée en r dans tout l'espace aux densités f>i et p de deux masses fixes, décrire autour du point {x, y, z) comme centre une sphère, d'un rayon r mesuré par le temps écoulé t, et calculer les deux potentiels sphériques correspondants; la somme, divisée par 4 -^^ du second de ces potentiels, et de la dérivée du premier par rapport au temps ou à r, sera la valeur actuelle cherchée de ^ au centre {^, ?/, 2) de la sphère. Ainsi, cette valeur dépend uniquement de ce qu'a été l'état initial dans une couche infiniment mince à la distance r =i tout autour; d'où il suit que l'influence des modificaiiom primitivement réalisées en un point quelconque ne se fait sentir, en tout autre point

dorme, qic'au hout d'un temps égal à la distance de ces deux points et durant un instant infiniment petit. L'ëquatioii (s) exprime donc un mode de propagation où la céléîité est constante, égale à 1, et où la transmission aux diverses distances se fait sans aucune dissémination en avant ni en arrière .

On reconnaît en effet, dans la relation (e), en y mettant t à , la place de r, l'équation classique, dite dît son, qui régit les petits mouvements d'un fluide homogène indéfini, écarté de son état de repos par des compressions ou des vitesses assez modérées pour qu'on paisse, d'une part, y supposer les variations de la pression proportionnelles à celles de la densité, d'autre part, négliger les vitesses effectives des molécules en comparaison de la vitesse même de propagation , choisie comme unité de longueur : o est alors une fonction qui donne respectivement, par ses dérivées premières en. X, y, ^ et if (ou r), les trois composantes m, v, w de la vitesse et la dilatation cubique 9, en chaque point {x, y,z) ou, sensiblement, pour la particule fluide dont«, y, z désignent les coordonnées primitives. Si, en particulier, les mouvements ne sont dus qu'à des dilatations initiales 9 (positives ou négatives), la fonction o^ [x^-, Vi, z^), ayant pour dérivées en Xi, y-i, z^ les composantes initiales de la vitesse, sera nulle dans (Q, tandis que la fonction 2 (a;,, y,, z^ y aura l'expression donnée des valeurs initiales de 6.

L'intégrale (Ç) n'est que la forme concrète et immédiatement utilisable de celle que Poisson a donnée pour l'équation (a) et qu'on trouve dans tous les traités de Mécanique, mais dont on ne .possédait, à ma connaissance, aucune démonstration simple. Ilsuffit, pour le reconnaître, de rapporter la sphère s = 4 tï ^'^ à des coordonnées polaires comptées à partir de son centre (iP, g/, 2), savoir, un azimut 6, variable de zéro à 2 7^, et une hauteur angulaire ^.^ variable

de--.

— -, tels, qu'on ait

»s;a m\ [ti^.

j et »i

■=w-\-r 003|J. oos9 , ^j == y -H )■ cos[i sm6

La formule (s) devient alors

l o iz^ — I ' cos^t'/i). I p(«-i-rcosij,co3fl, y-t-rcos[istiiÔ, ^A-rsiïi^^d^

I- — — I rcosLi-rfu / p,f(B-hrcos|j.cos'l,*M-rcosu.sinfl,ï-!-J'smti](/0: 4it dr J,: Ja '

ce qiii est bien l'intégrale obtenue par Poisson.

On remarquera :

1" Que le premier ternie du second memire de (-fi) est une fonction impaire de r (à cause de son premier facteur r) ; car le résultat des deux intégrations par rapport à S et à [* y reste le même quand on change r en — r, chaque élément y devenant celui qui correspondait d'abord à des valeurs de cos 6, sin 9 et sin [a contraires de celles que l'on considère, ou, autrement dit, qui correspondait, sur la sphère, à l'élément tZw symétrique du premier par rapport au centre, ce qui ne change rien à la somme;

2" Que, par suite , le dernier terme de (-n) se trouve, au contraire, pair en r, comme étant la dérivée d'y,ne fonction pareille à la précédente, ou impaire ;

3° Que chacun de ces deux termes continue d'ailleurs à vérifier l'équation (s) quand on y donne 'Ar~t des valeurs négatives, puisque, au facteur constant près :;: 1, elles ont les mêmes. valeurs que pour r positif et, par suite, les raêmes dérivées secondes en r, égales , par hypothèse , à ia tp 7 s^"f encore le môme facteur ^ 1 ;

4" Enfin, que, dans le cas où ç ne dépendrait pas de z, ce qui réduirait les fonctions o , pi à ne contenir que leurs deux premières variables, on pourrait, à raison de la parité des éléments quand <^ changerait de signe, n'effectuer les

, mais doubler

ensuite le résultat, en réduisant à 2 -r. le dénominateur 4 ic.

4. — Conséquences diverses, quant aux solutions simples naturelles de cette équation et à la persistance , quelle implique, des caractères de l'état initial.

Le fait qu'une transmission de mouvement aux diverses distances se fait sans dissémination en avant et en arrière, quand elle a lieu d'après l'équation (s), entraine une conséquence importante relativement à ce que j 'appelle la solution simple naturelle, c'est-à-dire, à l'expression de f pour le cas où les fonctions arbitraires représentant l'état initialne diffèrent de zéro que dans un seul élément ^ï3 de l'espace. Alors tf s'annule lui-même constamment, tout autour de cet élément c^c; jusqu'à une distance quelconque, si ce n'est à l'intérieur d'une couolie sphérique d'un rayon croissant r ~t, mais d'une épaisseur infiniment petite. La discontinuité initiale def se conserve donc à toute époque; et la solution simple naturelle n'est pas une fonction de œ, y, z, t variant graduellement, comme il arriverait si, au conk-aire, le mouvement se dissémiiiait dans tout l- espace dès que t diffère de zéro.

Une telle circonstance doit, évidemment, ïendrel'emploi de ces sortes de solutions plus délicat et beaucoup moins commode, dans l'étude de phénomènes régis par l'équation (e), qu'il ne l'est dans celle d'autres phénomènes naturels, impliquant dissémination. On peut, par exemple, quand il s'agit de ces derniers, sans y modifier l'expression d'un état physique f en ce qu'il a d'observable, supprimer ou introduire à volonté, dans l'état initial, des inégalités locales quelconques, ne changeant pas toutefois Véi^imoyen à l'intérieur de chaque petite région ; car la dissémination efface en un instant ces inégalités, même énormes et discontinues. Or, c'est ce qui ne serait plus permis dans le cas

de l'équation (î), vu que les inégalités initiales s'y conservent indéfininiQp.t, ou, du moins, ne s'y atténuent, en général, que, dans la mesure même où s'affaiblissent, aux grandes distances, les valeurs de », en entraînant l'extinction graduelle des phénomènes.

Cette conservation des caractères de l'état initial me paraît être d'une importance extrême au point de vue de la philosophie naturelle ; car elle permet d'expliquer comment il se fait que les seules sensations qui nous procurent des connaissances nettes et variées sur les objets extérieurs, les seules même qui nous fournissent un nombre de signes assez grandpour exprimer et fixer nosidées de toute nature, soient celles qui dépendent de la vue ou de l'ouïe, c'est-à-dire des deux sens par lesquels nous percevons des mouvements ondulatoires, soumis à l'équation (e) ou à d'autres analogues. Ces mouvements gardent encore, quand i!s nous arriveat, les particularités que leur avaient imprimées les corps d'où ils partent, et ils restent d'ailleurs assez bien localisés suivant les directions d'où ils émanent. Nous pouvons donc, dans la manière dontils nous affectent, établir entr'eux de nombreuses distinctions (bien que leurs détails nous échappent), et les différencier infiniment plus que ceux que perçoivent nos autres sens, comme sont, par exemple, les mouvements calorifiques transmis à toute la surface de notre corps. Ceux-ci se disséminent, au contraire, dans tous les sens, et se fondent ensemble ; aussi nous apportent-ils des impressions toujours confuses et comme indistinctes, quoique souvent beaucoup plus-fortes qae les précédentes.

On peut même observer que les sensations de son et de lumière, si elles étaient trop intenses, perdraient de leur netteté et, par conséquent, de leur valeur représentative ou expressive. En effet, si les vitesses imprimées aux milieux ambiants (air ou éther) par les corps sonores ou lumineux devenaient comparables aux vitesses de propagation du son ou de la lumière, les équations du mouvement, dans

lesquelles ont été négligés des termes du second ordre de petitesse, n'auraient plus la forme linéaire, et ne conduiraient'plus à la relation (e) dès qu'il faudrait y rétablir ces termes. On verrait donc disparaître non seulement les propriétés résultant de cette relation, mais même celles , beaucoup plus générales, qui tiennent à la forme linéaire, et qui permettent, par exemple, à divers effets, de se composer par voie de simple addition ou superposition, et de se séparer ensuite au besoin ; ce qui constitue évidemment la condition la plus indispensable d'une perception distincte des phénomènes.

5. — Applicalîon aux mouvements d'un fluide indéfini, qu'on vient à raréfler en certains endroits : les déplacements définitifs qu'il éprouve vers ces endroits sont régis par la loi de l'attraction newtonienne.

J'appliquerai d'abord les intégrales (C) au cas des petits mouvements qu'exécute .un fluide indéfini, abandonné à lui-même, sans vitesse initiale, après avoir subi en certains points (iCj, ^i, Zj) des dilatations données 9 ~p {Xi, pi, Zi). Comme on l'a vu (p, 336), les vitesses u, v, pJ, suivant les trois axes, etla dilatation variable Ode la particule ayant les coordonnées primitives («,- ^, z). s'obtiennent alors en prenant les dérivées respectives en x, y,z ^%t (ou t) du potentiel sphérique f=—j ~. Si donc la fonction p (xj , y^ , «,)

est nulle partout à l'infini, ou, autrement dit, si les dilatations primitives n'ont été produites que dans un espace limité entons sens, ^ eiu, v, w, 9 s'annuleront, pour chaque particule ûuide, dès que t-=r atteindra une certaine limite; et le repos y sera définitivement rétabli. Il renaîtra, en premier lieii, aux endroits donnés oii l'équilibre s'était trouvé d'abord rompu.

Les déplacements totaux, suivant chaque axe, éprouvés

par une même molécule (*, y^ z) jusqu'à une époque quelconque i, ont évidemment pour expressions

Et ses déplacements définitifs , mesurant les accroissements qu'il faut joindre aux coordonnées primitives x^y, z pour avoir les cordonnées de la nouvelle situation de repos ■ de la molécule, sont, par suite, les dérivées en x^ y, z du

potentiel ordinaire 1 frfr. En d'autres termes, ils égalent les composantes, suivant les mêmes axes, de l'attraction newtonienne qu'exercerait, sur l'unité de masse de cette molécule, une matière dont la densité en chaque endroit

(^i.î/ij^i) égaleraitle produit, parle facteur —, delà dilatation initiale correspondante p [x^ , y^ , z,). Ainsi , il y tz, vers les vides, commeune sorte d'appel du fluide, se traduisant par des déplacements totaux que régit la loi -newtonienne.

C'est ce qu'on aurait pu prévoir en partant des deux faits : 1" du rétablissement final de l'équilibre jusqu'à des distances quelconques, avec annulation de la dilatation, cubique 9 en tous ces points, et 2" de la simple superposition des déplacements dus à plusieurs vides élémentaires. Car, si l'on se borne au cas d'une raréfaction initiale infiniment petite pi^ra, produite à l'intérieur d'un simple élément de volume d eî, celui-ci sera comme un point par rapport à une splière décrite autour de son centre avec un rayon fini r, en sorte que les déplacements, §, des particules fluides situées à la surface 4 7t r^ de cette sphère se trouveront dirigés, par raison de symétrie, vers son centre, et diminueront finalement son volume d'une quaiitité, d^r^o, égale au vide primitif p(/sî. Ainsi, la valeur définitive de 3 sera bien ■!■■ „ .

Développons maintenant la solution sur un exemple

simple, en traitant le cas où la raréfaction initiale 9 = p du fluide est uniforme, mais n'existe qu'à l'intérieur d'une sphère de rayon R décrite autour de l'origine comme

centre. La fonction» = | - — y est évidemment donnée par les formules (S) [p. 326], après substitution de— à p.

Alors le mouvement se fait, par raison de symétrie, suivant la droite D joignant l'origine à la particule considérée {x, ■//, z); et la vitesse V a la valeur --j-. D'après les trois formules (S) , cette vitesse est nulle en dehors de l'intervalle des deux limites D —\/(RT ^f, lequel comprend ainsi toule Vonde, ou tonte la partie agitéo du fluide; et elle vaut, entre ces limites ,

variant de — —: — ^, à — --■- — ; , lorsque D croit de

R — th-R^ô, ou de t — R à^ + R. Le mouvement se fait donc vers l'origine quand ;^ est <^ R, cas oix l'onde formée s'étend à la distance i en avant et en arrière des points où D = R ; tandis que, tout en s'effectuant encore vers . l'origine à la partie antérieure de l'onde, il a lieu en sens contraire à la partie postérieure, pour t^ R, c'est-à-dire après ([ue, l'onde s'étendant désormais à la distance R en avant et en arrière des points où D = f, le centre 0 = 0, fortement comprimé à l'époque i^=R, a réagi et envoyé tout autour des niouveuïents dans le sens des rayons qui en émanent. Effectivement, la dilatation 9, dérivée do « en r ou i, est, dans toute l'étendue de l'onde, d'après la troisième (S) ,

Cette quantité croit de la queue à la tête, ou quand D

grandit soit de R — t à R-ht, soit àe t — R à ^-i-R;

toujours positive à la tète de l'onde et même partout pour

^ <^ — , elle devient négative à la queue de l'onde (c'est^à-

R dire s' j change en compression) pour t y- ~ , puis, à partir

du moment ^ = R (où la compression ■ a atteint le centre), elle est désormais négative deD=^ — RàD— ^, positive de D = #àD = ^-i-R,en prenant aux deux limites D = ï Ip R des valeurs égales et contraires à celles de la vitesse correspondante V aux mêmes points. L'égalité de 9 à — V ne se soutient pas aux points intermédiaires ; car, la vitesse vaut,

d'après (ti'), — ^ j aux points de l'onde où D = ^ et cii 9 s'annule.

Enfin, dans le même cas où é est y R, il ne reste plus en arrière de l'onde, ou pour D <^ ê — R, aucune trace de la dilatation initiale: car pour D < t — Rou ï) <^ r — R, tout comme en avant de l'onde ou pour D ^ r -h R, c'est la première formule (5) qui convient ; et l'on voit que , différentiée en r ou t, elle donne 9 — o , contrairement à ce qui arrivait, en arrière de l'onde ou pourD <^ R — i, avant l'instant ^ = R , alors que l'expression de tp à y employer était la seconde (o) et donnait 9 = p.

L'espace occupé par le fluide en sus de son volume normal, savoir /6((^ as ou 4 -n: I SD^f^D, qui constitue la

raréfaction totale cause du phénomène, est évidemment

le même à toute époque et égal à sa valeur initiale

-^ 7î R 0 , puisque les déplacements sont nuls , jusqu'à

l'époque t, sur toute la surface d'imo sphère d'un rayon D très grand, pleine de fluide. Mais, après l'époque ^ =R, il résulte de l'excédent de la raréfaction ,

8D^(© = TrpR^(^+|R),

existant de J).= £ à D — t -i- 'R, sur la condensation,

produite au contraire de D = if — R à D = #; et l'on voit q-ue ces condemations et dûatations totales, prises à pari ^ ont un terme indéfiniment grandissant, deV ordre de t.

Enfin, d'après une discussion donnée à la suite des formules (S) [p. 327], et d'après (/i'), une même molécule, définie par sa distance primitive D à l'origine, fait partie de l'onde à toutes les époques comprises entre les deux limites if =R + D,pourD < R, et^=r) :;:R,pour D > R.

Sa vitesse, donnée par (V), grandit donc de — ~h~-] et le déplacement total qu'elle éprouve,

a pou r valeur, suivant que D est <^ R ou > R , — ^ ou — ~ ,

quantités qui expriment bien l'attraction exercée , à la distance D de son centre, par une sphère homogène, ayant le

rayon R et la densité ~ . On remarquera que ce déplacement total est la résultante d^un premier mouvement vers le centre, suivi d'un rebond en-sens inverse.

Le mouvement considéré jouit encore d'une propriété importante, qui subsisterait, du reste, pour tout mode d'ébranlement exactement pareil autour de l'origine et initialement confiné à l'intérieur d'une sphère de rayon R. Dans tous ces cas, l'expression du potentiel sphérique f est, comme on a vu (p. 328), le quotient de/'(r-+-D) — flr — D) par D, /désignant une fonction paire qui se réduit à une constante quand sa variable dépasse R ; et il suit de là que.

4P r {Xf^w-f]d(,

~'\'m-JSf

pour t o\ir ^ R, f{r -¥- D) étant 'constant, le produit D y, accru même de ce qu'il devieiit en y remplaçant f par la dérivée enrov. t d'un potentiel analogue, comme le dernier terme de (î^) , se réduit à une certaine fonction, F, de D — t. nulle eu dehors des limites D — ;! = I^ R. Il en est, par suite, de même du carré D^tp^; d'où il résulte que , pour

î! > R, l'intégrale 4^: 1 &'fdY), ou / 'f rfra étendue à tonsleséiéments6?!ndel'espace,asa valeur, 4 î: / F{«)^rf«j indépendante du temps t. Or l'équation indéfinie -T^—^a ¥=o, multipliée soit par 2-^ (J^îs, soit par y (^?ra, et intégrée dans tout l'espace par nn procédé connu ,* donne , en observant, r, que -—=92, que la somme -L-^ ^ -^ zl- exprime

dî dx^ dif' dé- '

le carré de la vitesse V, et, 3", que f — | équivaut à

^ ' dlj ' ■ ' ' ^ dt'J J

D'après la première (V): ia somme de la demi-force vive ou énergie actuelle de l'onde, représentée proportionnellement par -^/V^f? K, et de l'expression -^/O^rfîB, est invariable. Donc, celle-ci, i/9* d-m, peut être censée exprimer l'énergie potentielle de l'onde; et, comme, dès que ;{est>R, on a/fdzs— const., la seconde (V") i^^^tre que, désormais, /S^cf 33 ==/V^d^. Ainsi, dès que l'onde s'est détachée du centre des ébranlements, son énergie totale constante se partage également entre son énergie actuelle et son énergie potentielle. La même propriété s'observe d'ailleurs dans tous les mouvements vibratoires et ondulatoires.

Dans notre exemple, où, pour t= o, V était nui, de sorte

que l'énergie totale se réduisait d'abord à {-/^^dts— ~ — ,

(po[iri>R), I ( fi^ 475 = ^2 Cn'' dm = ~

Supposons encore que la région où l'on rarélie initialement le fluide soit uu espace plan, d'une certaine étendue en superficie, mais d'une épaisseur, suivant les z, infiniment petite, divisé symétriquement par le plan des xy. Il est clair que les mouvements seront alors symétriques des deux côtés du même plan. Donc, les molécules fluides situées sur ce dernierj et étrangères à la masse primitivement raréfiée (en sorte que la continuité par rapport à la coordonnée normale 2 subsiste dans leur voisinage), glisseront simplement à la surface de ce plan des œy sans le quitter ; et tout se passera comme s'il était une paroi indéfinie, limitant d'un côté le fluide, mais qu'on eût déterminé à certains endroits, dans son voisinage, une légère détente, en tirant très peu au dehoi's une portion (supposée flexible) de cette paroi, pour la remplacer aussitôt après par une paroi nouvelle créée dans le plan même A&sxy. Ainsi, dans ce cas, les petits déplacements définitifs égaleront, pour chaque molécule intérieure, l'attraction qu'exercerait sur l'unité de sa masse une couche mince de matière , étalée sur les deux, faces du plan des ;2^, et qui, pour chaque élément de surface de ce plan, vaudrait le double de la somme

des produits de -j- par cet élément, par les diverses parties

dz d'une petite normale qu'on lui mènerait dans le fluide, et par les dilatations initiales 0 produites aux divers points de celle-ci, ou représentant la proportion de fluide soustraite en ces endroits. Or la somme ainsi évaluée exprime

justement, à part le facteur constant -r- , la quantité de

fluide perdue à travers l'élément considéré du plan des xy^ par suite de l'enlèvenient de la paroi primitive. Si donc nous appelons dg^ le volume fluide qu'a débité l'élément du plan des œy occupant une certaine position {a;,, y,), et r la distance, y /^* -^[x — œ^ -h (y — y^^ de cet élément à une

molécule intérieure quelconque («, y^ z) , les déplacements, définitifs de celle-ci suivant les axes coordonnés vaudront

les trois dérivées en a;, y, ^ de l'intégrale-— / — , éten-

due à tous les éléments du plan des s;y.

Imaginons actuellement que le fluide soit peu compressible, ou transmette très vite le son ; ce qui est le cas d'un liquide. Alors les déplacements se feront d'une manière presque instantanée; et l'onpourra, en renouvelant un grand nombre de fois la paroi sur une même partie du plan des csy , les répéter à de courts intervalles, sans qu'ils cessent de suivre la même loi. Les vitesses avec lesquelles ils se produiront pourront d'ailleurs devenir considérables, tout en restant, comme le suppose notre analyse basée sur l'équation (e), des. fractions insignifiantes de la vitesse de propagation du son. A la limite, ils constitueront un mouvement ininterrompu, et rien n'empêchera de les rapporter à l'unité de temps, c'est^-dîre d'évaluer, par la même formule, leurs vitesses calculées dans l'hypothèse où iis se feraientgraduellement, pourvu qu'onsubstitue pareillement à dq le débit, rapporté aussi à l'unité de temps, de chaque élément du plan des a^: cela revient, en effet, à diviser àla fois, par l'intervalle di de deux soustractions consécutives de fluide, les déplacements définitifs et les débits dq correspondant à chacune d'elles. Alors on aura un liquide contenu par une paroi plane indéfinie percée d'un orifice, et s'écoulant vers cet orifice, supposé alternativement ouvert et fermé un très grand nombre de fois dans un instant perceptible. Les composantes de la vitesse générale d'écoulement, ou abstraction faito de l'oscillaLion doubleproduite par chaque

alternative d'ouverture et de fermeture, seront donc les dérivées en x, y, z de la fonction — / —, dans laquelle dq^ exprimera le volume fluide sorti durant l'unité de temps par un élément rf(r du plan desa;y. En d'autres termes, U y aura, mrs chaque élément de l'orifice, un appel de fluide mtérieur proportionnel au débit actuel moyen de l'élément et inverse du carré de la distance. Or, cette formule est précisément celle que j"ai trouvée'en Î871, soit pour un écoulement continu et généralement non permanent, soit même, par suite, pourFécoulement alternatif considéré ici, mais dans l'hypothèse d'un fluide incompressible coulant vers l'orifice du réservoir à paroi plane indéfinie qui le contient ('). M. de St- Venant en a donné récemment d'intéressantes applications (").

On voit, en résumé : 1° que la loi d'appel, vers les vides, régissant les guides supposés incomp-essibles, s^étend aux fluides cmïtpressihles; 2" que ses efets ont lieu, ou se transmettent, avec la vitesse même de propagation du son dam le fluide; 3" et que des oscillations dépendojnt de l'élasticité peuvent, en certainscas, se superposer au mouvement général d'écoulement ou de translation, mais sans modifier son amplis

Je remarquerai enfin que la même loi d'appel vers les

(♦) Voir plus haut , p. 20 et 2t.

(**) aompies-iès«rf«s:3,10et24avrill882;t.XCIV,p.90^,1004etli39. - MM. de Saint-Venant ot Flamant viennent de publier dans le même Recueil (12 et 19 novembre 1883, t. XGVl!, p. 1027 et 11(©) tin complément de ces recherches, savoir, leur extension, que j'avais indiquée {Emus courantes^ p. 548), au cas d'un vase prismatique, à fond rectangulaire ou hexagonal régulier percé en son centre d'un orifice : le calcul des vitesses aux divers points intérieurs y est rendu pratique par une converaion approchée très simple que j'ai faite , en intégrales définies immédiatement évaluables , des restes de séries doubles ayant leurs divers termes inscrits dans tout autant de divisions similaires d'un plan et décroissants tout autour d'une division centrale, séries peu convergentes, mais qui convergent cependant à la condiKon, impliquée dans le pTOblème physique dont il s'apt , de prendre un nombre sensiblement pareil (et indéfiniment croisant) de termes ou de divisions, de chaque côté des axes de symétrie de la division centrale, laquelle a la forme du fond même du vase.

vides, dans un fluide élastique de dimensions indéfinies, s'observerait encore, s'il y avait initialement, en outre des dilatations supposées, certaines vitesses, teiles, que la fonction ç, pour t= 0, ne cessât pas d'être nulle aux points infinimenl distants de l'origine; car l'expression de -f ne se compliquerait alors que d'un terme pareil au dernier delà formule (s) [p. 335] , dont le produit par dt ou dr, intégré à partir der=o,est-T- I - — et devientnuJ à lalimiter=co, pourvu que, conformément à l'hypothèse faite, pt égale zéro aux points infiniment distants de l'origine. C'est ce qui a lieu quand, le fluide ayant été d'abord en repos, on prend pour origine t= o des temps un instant postérieur, où il y a déjà certaines vitesses, mais où 'a continue à s'annuler aux distances infinies. Donc, les déplacements totaux ultérieurs à un moment quelconque i du rnowcermiit se calculeront, en fonction des dilatations existant à ce moment, d'après la loi des attractions n&mtonimnes, comme si le fluide fartait alors du repos.

En retranchant les valeurs de ces déplacements (estimés suivant les axes) pour l'époque t-^- dt, deleurs valeurs pour l'époque t, puis divisant par dt, on aura évidemment les vitesses effectives des particules fluides à l'époque L Cellesci, changées de signe, se trouveront ainsi évaluées à la manière d'attractions newtonniennes, qui seraient produites par une matière ayant en chaque point (x, y, z) la densité — --J-. C'est ce qu'on aurait pu reconnaître plus directement, c'est-à-dire sans intégrer l'équation indéfinie (e) des petits mouvements, en partant de l'équation classique, dite de continuité du fluide,

dans laquelle a;^ 2/) ^ désignent les coordonnées des divers points de l'espace occupé par le fluide, et p, fonction de X, y, z^ ty la deusité de celui-ci. Si l'on remplace u, v, w par

les-trois dérivées de ■■fQYiCO,y,z, et si, représentant par -^ une

dérivée ooQiplète , T;-i-w-T--+-î'j--i-TO-j-, pnse par rapport an temps ou obtenue en suivant une même particule, on observe que le produit p ( 1 -i- 9 ) , constant pour chaque particule, donne d^ log ^ = — d^\o^{\ ■■*- 0), il viendra

A dMg\\-^^]

Supposons le second membre [valeur de A^^) connu, et admettons, en outre, que u doive s'annuler pour ^z^j^^i: infinis. Cette fonction ç sera, par le fait même, entièrement déterminée, comme on sait; et elle égalera , en vertu du théorème de Poisson, le potentiel d'une masse fictive ayant, en

chaque point {ce, y, z) de l'espace, la densité — ~, .

Or, celle-ci est réductible à — j---j-,y\i que fl est très petit

devant l'unité et que u, v, m sont assez faibles , en comparaison de la vitesse de propagation du son , pour qu'on

puisse négliger leurs produits par vis-à-vis de -%-.

Donc u, V, w-, dérivées partielles de <^ en œ^y.z, égalent bien alors les trois composantes , changées de signe , de l'attraction indiquée [').

Mais si, pour les vitesses u,v,w, ou, ce qui revient au

(*j Je m'aperçois, en parcourant le beau travail de M. Eugenio Beltrami, intitulé Ricerche suUa cinematiea dei ftvidi (1875 ; extrait des tomes I , II, III et V de la série III des Mémoires de l'Académie des Sciences de l'Institut de Sologne), que cette dernière loi se déduirait aisément du théorème de cinématique (dû à Roch) énoncé par M. Beiti'ami au haut de sa page 73 (1") : il suffirait d'obseiTer que l'existence du potentiel des vitesses f annule , dans les expressions de u, v, w {x/, y{, ïi' avec les notations de M. Beltrami), supposées étendues à tout l' e^ace , las pai-ties autres que celles qui dépendent des valem* de la dilatation cubique.

même, pour les déplacemeats udt, vdt, mdt éprouvés pendant un instant dt, la loi qui les fait dépeudre des diminutions simultanées — d^ de la dilatation aux divers points se démontre sans qu'on ait besoin d'intégrer l'équation indéfinie (s), on ne peut pas en dire autant des déplacements totaux / (m, V, w) dt, en tant qu'ils sont fonction

des seules dilatations relatives à l'époque t. En effet , l'intégration des expressions udt^ vdû, wdt donnera , pour ces déplacements définitifs, l'excédent des attractions d'une

masse ayant sa densité exprimée par la fonction-^ à l'époque

/, sur celles d'une autre masse ayant pour densité en tous

les points de l'espace la fonction — àl'époque^=oo. Or, rien

ne prouve que ces dernières attractions soient négligeables, tant qu'on n'a pas effectué l'intégratioQ de l'équation (e) ou, du moins, tant qu'on ignore certaines propriétés de la fonction tf qui s'en déduisent. Pour je démontrer, il faut recourir à des considérations assez délicates , comme on verra dans le numéro suivant [p. 355 et 356].

6. — Extension de la même loi d'appel vers les parties dilatées aux petits mouvements intérieurs des solides élastiques isotropes; intégration des équations de .mouvement de ces corps , dans le cas où, on les suppose indéfinis.

Terminons cette note, relative aux potentiels et à leur emploi dans l'intégration des équations de mouvement des milieux indéfinis, en montrant qu'ils permettent de traiter pour un solide homogène et isotrope, presque aussi simplement que pour un Qaide, la question des mouvements qui s'y produisent à la suite de petits déplacements initiaux quelconques ou de petites vitesses initiales quelconques ; et nous verrons aussi que la loi d'appel vers les vides obtenue tout à l'heure s'observe également chez ces corps, dont les

fluides ne sont qu'un cas particulier, en sorte qu'elle s'étend à tous les milieux élastiques, b.omogèiies et isotropes, de dimensions indéfinies.

Les déplacements suivant les axes, u, v, w, de la particule dont ic, y, z désignent les coordonnées d'état naturel satisferont, comme on sait, à trois équations indéfinies, qu'on peut écrire, sous une forme condensée,

où(ï* exprime le quotient du coefficient \i. de l'élasticité de glissement par la densité primitive constante du solide, A^le quotient, par cette même densité, de la sojnme, X -^ 2 j^, de l'autre coeflicient d'élasticité et du double de celui de gfisseraent, enfin, 9. la dilatation cubique

Les trois équations ft), différentiées en «, y, z et puis ajoutées, donnent d'ailleurs, comme on le sait encore.

et celle-ci, qui rentre dans le type de l'équation du son, fera connaître par son intégration lés dilatations 0 produites à toute époque /, dès qu'on aura évalué pour l'Instant ^ = o, au moyen des données d'état initial concernant w, t), ro,

'^, — , — — , les valeurs de 0 et de sa dérivée predt dt dt ' ^

mière par rapport à i. L'expression générale de 9 aux difl'érents endroits (a?i,yi,^,) de l'espace étant ainsi une certaine fonction connue 6 [x^, y^, ^,, t), imaginons, répandue en tous ces endroits, une matière dont la densité, variable d'un instant à l'autre, égalerait partout le produit de 9 par le facteur constant —, et appelons <^ le potentiel ordinaire

de cette matière pour le point quelconque {x. y, à-dire l'expression

,— C^ix^.y

OÙ clzi est un élément de l'espace, situé en [Xi, yi. ^i), et r

sa distance au point considéré- (a;, y, a). On aura, par le

théorème de Poisson, A^*= — ^{x^y,z, t) ; et comme

un potentiel quelconque sédifférentie également en x, y, z

par la simple substituLion sous le signe/, à la densité, de

sa déiivée par rapport à ^i, y, ou Zx [p. 264], il viendra

aussi, en appelant ^^, sous un signey", l'expression symbo-

lique ^-i--n -t- -.-, puis, unalement, en tenant compte

^ dx\ dy\ d%\ ^ ^ ' ^

de(OetW,

j \ d^ r , dts i dH

Par conséquent, la fonction* satisfait aux deux équations (dont la première pourra faciliter beaucoup son calcul)

Il en résulte immédiatement, en retranchant la preuiière de la seconde multipliée par a^,

relation qui, différentiée &n.x,y, z et jointe à la dernière [x'), montre qu'on satisfait à (i.) et (i') en prenant

è'/ di d^

^ ' (fo ' dy' dt

Ainsi, les dilataùions effectives^ produites dam les diverses parties du corps, peuvent résulter de déplacements égaux et contraires, à chaque vnstanteten. chaque point, à Vattraction mvctonimne qu'exercerait en même temps et au mâme point, sur Vv/nité de masse, une certaine matière, ayant sa densité partout p^oporUomielle à ces dilatations. Par suite, le déplacement o^-ço?.é,qui ramènerait chaque particule dans sa situation d^ état naturel, est représenté en direction et en grandeur par Fattraction dont il s'agit.

Puisque les expressions (x")dew. v, w vérifient les équations indéfinies du mouvement, elles représenteront les véritaHes déplacements si, pour ^ = o, leurs valeurs et leurs dérivées premières en t se confondent avec les déplacements initiaux et avec les vitesses initiales données. Dans le cas contraire, iJ faudra y joindre des termes, U, V, W, qui, pris seuls, exprimeront des déplacements effectués sans changement de densité, ou donnant 8 = 0 ; car, déjà, les

termes précédents y-, rfont 9 partout et constamment

égala ses véritables valeurs. Par suite, U, V,"W, d'après (i), s'obtiendront séparément en intégrant les équations

comprises encore dans le type de celle du son. On voit que la vitesse de propagation, a, de ces nouveaux mouvements est diiférente de celle, A, avec laquelle se propagent les changements de densité-

Quaud les vitesses initiales -r-j ^t' ^r ^oJ^t nulles,

al at al

les dérivées premières en ^de la dilatation 9, du potentiel* et des parties correspondantes {x") de u, v, w s'annulent aussi pour (f = o ; et il en est, par suite, de même de celles de U, V, W. Si, de plus, 9 ne diffère initialement de zéro qu'à l'intérieur de régions limitées, l'équation (i"), multî-

pliée yà-î dvi ^ (l'xdydz et intégrée entre des limites assez écartées pour que 9 ne cesse pas de s'annuler à ces limites, montrera que la dérivée seconde en ifde l'intégrale /Mes étendue à toutl'espace est alors constammentnulle ; ce qui, joint à la nullité initiale de la dérivée première en t de f^d'îs. entraînera l'invariabilité de cette intégrale, ou delà valeur algébrique totale de la masse fictive dont * est le potentiel.

On aurait pu, du reste, le prévoir, en observant que la raréfaction totale /&(?!!:, produite dans l'espace constant oii s'étend le milieu élastique considéré, représente l'excédent du volume qu'il occupe sur celui qu'il occuperait à l'état naturel: elle exprime donc un certain manque total de matière, évalué en volume à la densité d'état naturel, et constitue une intégrale invariable.

Or, si l'on tient compte, en outre, des lois de la propagation indiquées aux n°* 3 et 5 (p. 335 et 344), il résulte de là que la fonction ^ tend vers zéro , aux distances iinies , quand t grandit sans limites.

En effet , la masse fictive dont * désigne le potentiel finira par s'éloigner indéfiniment du point quelconque donné {w, y, z) et par avoir, en outre, toutes ses parties à des distances r du même point sensiblement égales , en grandeur relative, ou conservant entr'elles des différences

non grandissantes : alors les valeurs de — ne différeront ,

pour les divers éléments Q d^. que de quantités de l'ordre

de — ; et la somme / — ne pourra s'écarter du terme

évanouissant que d'une quantité comparable à — ,

laquelle tend aussi vers zéro quoique la somme, j W 6*(^cî, des valeurs absolues de 9 t^ro soit incomparablement supérieure h/>idsielde l'ordre détour, comme on a vu par l'exemple traité au numéro précédent (p. 344). Donc

le potentiel * devient égal à zéro pour ^infmi. Et il le devient même dès que Q s'est déâiiitivement annulé dans une petite région comprenant le point {a;, y, z) ; car la première équation [y!) montre que sa dérivée seconde en ^ y est dès lors nulle , d'où il suit que sa dérivée première en t et même sa val*!ur propre * ne peuvent déjà plus y différer de ce qu'elles sont pour t infini. Ainsi, les termes (/') des déplacements Wj -y, w s'annuleront simultanément avec 9, dès que # dépassera certaines valeurs.

Dans le cas particulier d'un fluide, on a [j. = o, ou « = o ; et les équations (x'") expriment, poiir chaque molécule, un simple mouvement recliligne et uniforme, qui se réduit même au repos quand les vitesses initiales données sont nulles. Si donc l'on convient de prendre alors pour situations (a;, y, 2^) d'état naturel celles où restent fixées les molécules lorsque l'équilibre s'est rétabli, il viendra U= o, V = o, W = 0 ; et les déplacements v,, v, Wy à toute époque, se réduiront bien à leurs parties, («"), que régit la loi newtonienne d'attraction, conformément à ce qu'on a vu dans le numéro précédent.

Observons d'ailleurs, à un point de vue général, que les mouvements liés aux changements de densité, ou régis par les équations {") , (k), (x') et (x"), se font de la même manière que le corps soit solide ou soit fluide; puisqu'ils dépendent exclusivement du coefficient spécifique A^, commun aux solides et aux fluides, et non de l'autre coefficient, a^, spécial aux solides.

NOTE II , SE RAl'PORIANT AU n" 8 , ET OÙ IL EST TRAITÉ , PAR UiSF. MÉTHODE NOUVELLE n'iNIÉGRAirON , 1)E LA PROPAGATION DE LA CHALEUR DAHS LES MILIEUX ATHERMANES , DU MOUVEMENT TRANSVERSAL DES ItAHRES Et DES PLAQUES ÉLASTIQUES INDÉFINIES, ET DBS ONDES QUE L EMERSION d'uN SOLIDE OU UNE IMPULSION COMME CELLE d'uN COUP DE VENÎ FONT NAÎTRE A LA SURFACE d'un LIQUIDE (').

§ r''. — NOUVELLE MÉTHODE POUR INTËQKER DNE CLAMSE HIPORTANTB D EIJUATIONS AUX DÉRIVKES PARTIELLES,